Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.
Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych
Zadanie 1
(
)
=
−
≤
=
+
≤
=
≤
+
X
t
t
Y
P
tY
tX
Y
P
t
Y
X
Y
P
1
∫ ∫
∞ −
−
−
=
=
0
1
0
6
1
25
,
0
6
1
4
1
x
t
t
y
x
dydx
e
e
∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
0
0
25
,
0
1
0
6
1
25
,
0
1
6
1
exp
1
4
1
4
1
dx
x
t
t
e
dx
e
e
x
x
t
t
y
x
t
t
t
t
t
t
t
t
t
−
−
−
=
−
−
−
=
+
−
−
−
=
−
+
−
=
3
)
1
(
3
1
2
6
)
1
(
6
1
4
1
4
6
6
)
1
(
24
1
)
1
(
6
4
1
1
4
4
1
)
(
5
,
0
5
,
0
1
4
,
2
2
,
1
1
6
,
0
3
4
,
0
3
1
)
6
,
0
(
B
F
→
=
−
=
−
=
−
⋅
−
=
Tak
Zadanie 2
Gdy
µ
znane to
(
)
N(0,1)
N
1
N
P
i
;
:
≅
−
=
<
+
−
α
ε
σ
ε
σ
ε
α
α
α
n
X
n
X
P
n
n
Gdy
µ
nieznane i
σ
nieznane:
T
n
Stud
t
n
S
X
t
n
n
=
−
≅
−
−
=
)
1
(
.
1
µ
(
)
α
α
α
−
=
<
1
:
t
T
P
t
i przedział:
−
+
−
−
1
;
1
n
S
t
X
n
S
t
X
n
n
n
n
α
α
U nas:
262
,
2
96
,
1
95
,
0
1
=
=
=
−
α
α
ε
α
t
(
)
∑
=
−
=
+
−
=
10
1
2
10
n
10
10
10
1
S
3
262
,
2
;
3
262
,
2
)
(
i
i
n
n
X
X
S
X
S
X
LOLEK
P
+
−
=
10
96
,
1
;
10
96
,
1
)
(
10
10
σ
σ
X
X
BOLEK
P
1
262
,
2
2
)
(
−
⋅
=
n
S
LOLEK
dl
n
n
BOLEK
dl
σ
96
,
1
2
)
(
⋅
=
1
,
0
96
,
1
2
1
262
,
2
2
=
⋅
≤
−
⋅
⋅
n
n
S
X
P
n
σ
→
≅
=
⋅
≤
⋅
=
⋅
⋅
≤
)
9
(
10
a
1
,
0
262
,
2
96
,
1
3
10
262
,
2
10
96
,
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
χ
σ
σ
σ
n
n
n
S
x
S
P
x
S
P
27
,
1
262
,
2
168
,
4
96
,
1
3
168
,
4
262
,
2
96
,
1
3
2
≈
⋅
⋅
=
→
=
⋅
→
x
x
Zadanie 3
To jest ciąg binarny złożony z n=7 liczb ujemnych i m=8 liczb dodatnich
Ilość takich ciągów
=
+
=
Ω
7
15
2
m
n
Ilość ciągów przy liczbie serii R=2k to
−
−
−
−
=
1
1
1
1
2
k
m
k
n
A
=
2
7
2
6
2
A
143
14
32432400
3175200
7
15
21
15
2
=
=
⋅
⋅
=
Ω
=
A
ODP
Zadanie 4
( )
(
)
( )
(
)
2
1
2
2
1
1
var
σ
ρ
σ
σ
ρ
−
=
−
+
=
Y
X
EY
Y
EX
Y
X
E
i
( )
Y
X
ma rozkład normalny
U nas:
( )
Y
Y
Y
X
E
3
1
1
9
3
1
+
=
+
=
( )
1
2
9
2
3
1
var
2
=
⋅
⋅
−
=
Y
X
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
,
cov
EY
EX
Y
X
E
Y
X
−
=
(
)
(
)
(
)
[
]
Y
X
E
Y
E
Y
Y
X
EE
Y
X
E
2
2
2
2
2
2
=
=
(
)
( )
( )
2
2
2
3
1
1
1
var
+
+
=
+
=
Y
Y
X
E
Y
X
Y
X
E
(
)
+
+
=
+
+
+
=
4
3
2
2
2
2
2
9
1
3
2
2
9
1
3
2
1
1
Y
Y
Y
E
Y
Y
Y
E
Y
X
E
Wiemy:
( )
0
1
2
=
+
k
Y
E
∫
∫
−
+
=
−
+
−
a
a
dx
x
dx
x
25
,
0
0
5
,
0
25
,
0
2
,
0
)
8
4
(
)
8
4
(
[
]
[
]
=
+
+
+
−
−
+
−
−
−
=
−
+
−
+
−
2
2
5
,
0
25
,
0
2
25
,
0
0
2
)
25
,
0
(
4
)
25
,
0
(
4
1
2
)
25
,
0
(
4
)
25
,
0
(
4
4
4
4
4
a
a
a
a
x
x
x
x
a
a
{
}
45
,
0
05
,
0
:
i
45
,
0
2
,
05
,
0
1
2
,
0
2
,
0
4
1
8
>
∧
<
=
=
→
=
→
=
+
+
−
=
x
x
K
a
a
a
a
a
)
3
,
0
(
dla
9
2
3
2
)
(
6
∈
−
=
=
x
x
x
f
dla
θ
∫
∫
≈
−
+
−
=
05
,
0
0
3
45
,
0
76
,
0
9
2
3
2
9
2
3
2
x
x
ODP
Zadanie 6
N=1,2,3
(
) (
)
)
3
(
)
(
3
3
=
=
=
=
=
=
=
S
P
k
N
P
k
N
S
P
S
k
N
P
(
)
4
1
1
3
=
=
=
N
S
P
(
)
4
1
2
4
1
2
1
2
3
=
⋅
=
=
=
N
S
P
(
)
8
1
2
1
2
1
2
1
3
3
=
⋅
⋅
=
=
=
N
S
P
(
)
∑
=
−
−
−
−
=
+
+
=
=
=
=
=
=
3
1
1
1
1
1
48
19
6
1
8
1
2
1
4
1
4
1
)
(
3
)
3
(
k
e
e
e
e
k
N
P
k
N
S
P
S
P
(
)
19
12
19
48
4
1
48
19
4
1
3
1
1
1
=
=
=
=
=
−
−
e
e
S
N
P
(
)
19
6
19
48
8
1
48
19
2
1
4
1
3
2
1
1
=
=
=
=
=
−
−
e
e
S
N
P
(
)
19
1
19
48
48
1
48
19
6
1
8
1
3
3
1
1
=
=
=
=
=
−
−
e
e
S
N
P
(
)
∑
=
=
⋅
+
⋅
+
=
⋅
=
=
=
3
1
19
27
19
1
3
19
6
2
19
12
3
k
k
S
k
N
P
ODP
Zadanie 7
Z danych wynika, że
)
1
,
0
(
i
10
∈
≥
p
θ
A – zdarzenie, że 6 zmiennych większych od 5
(
)
∫
∞
∞
⋅
=
−
=
⋅
⋅
=
2
8
1
8
4
5
5
1
2
8
3
8
3
1
3
1
,...,
θ
θ
θ
θ
d
x
x
f
(
)
2
dla
2
8
2
8
3
1
3
1
,...,
9
8
8
4
5
5
1
>
⋅
=
⋅
⋅
=
θ
θ
θ
θ
θ
x
x
f
∫
∞
→
−
2
9
2
min
8
θ
θ
a
4
czyli
2
>
>
a
a
dla
Szukamy min:
(
)
(
)
∫
∫
∞
=
⋅
−
+
=
−
+
−
a
a
a
f
a
a
a
a
2
6
8
3
9
2
9
2
)
(
2
3
4
2
3
2
8
8
θ
θ
θ
θ
4
4
9
9
4
4
8
4
9
8
4
2
4
2
2
0
2
2
0
2
1
2
)
(
=
=
→
=
→
=
+
−
→
=
+
−
=
′
a
a
a
a
a
a
f
Dla
2
≤
a
Szukamy min:
(
)
∫
∞
→
−
⋅
=
−
2
8
6
9
2
2
2
3
4
8
a
a
θ
θ
min dla a=4
Łącznie minimum jest dla
4
2
4
=
a
Zadanie 9
(
)
∏
=
+
+
=
n
i
i
n
n
x
L
1
1
θ
θ
λ
λ
θ
(
)
∑
=
+
+
−
+
=
n
i
i
x
n
n
L
1
ln
)
1
(
ln
ln
ln
λ
θ
λ
θ
θ
(
)
∑
=
+
−
+
=
∂
∂
n
i
i
x
n
n
L
1
ln
ln
ln
λ
λ
θ
θ
(
) ( )
∑
=
+
+
−
=
∂
∂
n
i
i
x
n
L
1
1
1
ln
λ
θ
λ
θ
λ
2
2
ln
θ
θ
n
L
−
=
∂
∂
(
)
(
)
∑
=
+
+
+
−
=
∂
∂
n
i
i
x
n
L
1
2
2
2
1
1
ln
λ
θ
λ
θ
λ
∑
=
+
−
=
∂
∂
∂
n
i
i
x
n
L
1
1
ln
λ
λ
θ
λ
Z własności ENW
( )
n
n
θ
λ
ˆ
,
ˆ
ma asymptotycznie rozkład normalny ze średnią
( )
θ
λ
,
i
macierzą kowariancji
∂
∂
∂
−
=
−
θ
λ
L
E
I
I
ij
ln
gdzie
2
1
Dla
4
i
1
=
=
θ
λ
mamy:
(
)
+
−
=
∑
2
1
,
1
1
1
5
4
i
x
n
E
I
16
16
2
,
2
n
n
E
I
=
=
(
)
−
+
=
∑
n
x
E
I
i
1
1
2
,
1
[ ]
∫
∞
=
+
+
=
+
0
5
5
4
1
4
1
1
1
1
x
x
X
E
∫
∞
=
+
+
=
+
0
5
2
2
3
2
)
1
(
4
)
1
(
1
1
1
x
x
X
E
n
n
n
I
3
2
5
3
2
4
1
,
1
=
⋅
−
=
n
n
n
I
5
1
5
4
2
,
1
−
=
−
=
→
→
−
→
−
−
=
⋅
⋅
+
+
1
0
0
1
400
0
0
3
2
400
0
5
1
3
2
16
5
1
5
1
3
2
400
2
3
80
10
3
n
II
n
I
II
I
I
II
n
n
n
n
n
n
n
n
n
I
Po tych samych operacjach na macierzy jednostkowej otrzymujemy
=
−
n
n
n
n
I
400
120
120
2
75
1
n
λ
ˆ
→
ma asymptotycznie rozkład
(
)
)
1
,
0
(
ma
75
2
1
czyli
2
75
,
1
N
n
n
N
−
λ
741
,
0
1293
,
0
2
1
75
2
2
2
2
75
75
2
1
ˆ
lim
tablic
z
≈
⋅
−
≈
>
=
>
−
→
∞
→
N
P
n
P
n
n
λ
Zadanie 10
( )
2
ˆ
θ
θ
−
=
E
MSE
(
)
(
)
=
+
−
−
+
+
=
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
b
aX
b
abX
X
a
E
b
aX
E
MSE
2
2
2
2
2
2
2
θ
θ
θ
+
−
−
+
+
=
b
EX
a
b
abEX
EX
a
θ
n
EX
=
(
)
2
2
2
2
2
2
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
n
EX
+
−
=
+
−
=
(
)
=
+
−
−
+
+
+
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
b
n
a
b
abn
n
n
n
a
MSE
(
) (
)
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
b
b
abn
n
a
an
n
a
n
a
A
A
+
−
+
+
+
−
−
=
θ
4
4
4
3
4
4
4
2
1
4
4
4
3
4
4
4
2
1
Chcemy by A1=A2=0
Dla A1=0 mamy
(
)
0
1
2
2
2
=
+
−
−
na
a
n
n
(
)
n
n
n
n
4
4
4
2
2
=
−
−
=
∆
0
,
,
2
1
2
2
2
1
>
−
+
=
−
−
=
a
a
n
n
n
n
a
n
n
n
n
a
ok
A ponieważ
0
0
≥
→
≥
+
b
b
aX
Z A2=0 mamy:
an
n
a
b
2
2
2
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
1
1
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
>
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
)
1
(
2
)
1
(
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
<
+
−
−
+
−
=
−
+
−
−
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
odpada
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
1
4
1
1
1
2
1
)
1
(
2
1
+
=
+
−
−
=
−
−
=
→
n
n
n
n
n
n
ODP
