Egzamin dla Aktuariuszy z 9 grudnia 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1 +
2 +
3
1 +
2 +
3
1 +
2 +
P X
X
X
1 ≤
,
2 ≤
,
3 ≤
3 =
2
2
2
= P( X ≤ X + X , X ≤ X + X , X ≤ X + X
X
∞
1
2
3
2
1
3
3
1
2 )
u
stalone (
0; )
1
WARUNKI: X ≥ X − X , X ≥ X − X , X ≤ X + X
3
1
2
3
2
1
3
1
2
∞ 1
x 1
x + x 2
∞ 1
x + x 2
∫ ∫ ∫ 3 − λ 1 x − λx 2 − λ 3 x λ 1
x
λx 2
λ 3
x
λ e
e
e
dx dx dx
λ e
e
e
dx dx dx
3
2
1 + ∫
∫ 3 − −
−
3
2
1
=
0 0 1
x − x 2
1
x x 2 −
1
x
∞ 1
x
∞
3 − λx
λx
1
λ x
x
1
λ x
x
λx
λx
1
λ x
x
1
1
−
2
− ( 1+ 2 )
− ( 1− 2 )
3 − 1 −
2
− ( 1+ 2 )
− λ( x 2− 1
x )
= ∫
∫ λ e e
− e
+ e
dx
λ e
e
e
e
dx
dx
2 + ∫
−
+
2
1 =
λ
λ
λ
λ
0 0
1
x
∞ 1
x
∞
= ∫ ∫ 2 −2 λx
2
1
−2 λ 1
x
−
λ e
−
2 λx 2
λx 2
λ 1
x
λx 2
λ e
e
dx
λ e
λ e
e
dx
dx
2 + ∫ 2 −2
2 −2
−
−
2
2
1 =
0 0
1
x
∞
= ∫ 2 −2 λx
2
λx
1
λx
1
λ
λx
λx
1
1
−
2
1
−
2
1
−2
2
1
−2 1
− λ 1
x λ e
λ e
e
e
λ e
e
x dx
1
−
−
+
+
−
2
1 =
2 λ
2 λ
2
2 λ
0
∞
= ∫ 2 −2 λx
λ 1
1
1
x λ e
1
=
=
2 2 λ
4
0
1
3
ODP = 1 −
=
4
4
Zadanie 2
φ
a = 2 r sin
2
φ ≅ J ( ;
0 2Π)
φ
2 r sin φ ∈ ( ;
0 Π)
a =
2
2Π − φ
2 r sin
φ ∈ (Π;2Π)
2
Π
2Π
ODP = ∫ 1
φ
φ
2 sin
dφ + ∫ 1
2Π −
2 sin
dφ = 2Π − φ = x =
2Π
2
2Π
2
0
Π
Π
Π
Π
1
φ
1
x
2
1
x
=
− 2cos
+
2
2
4
∫ sin = + − 2cos = + =
Π
2
Π
2
Π
2
0
Π
Π Π Π
0
0
Zadanie 3
Przy załoŜeniu Ŝe µ ≠ 0 bo wtedy istnieje minimum nieobciąŜony → a + 2 a + 3 a + 4 a = 1
1
2
3
4
var( 2
2
2
2
a + a + a + a σ →
1
2
3
4 ) 2
min
2
2
2
2
L = a + a + a + a + λa + 2 λa + 3 λa + 4 λa − λ → min 1
2
3
4
1
2
3
4
1
a 1 =
2 a
λ
1 +
= 0
30
2 a
λ
2 + 2
= 0
a 2 = 1
2 a
λ
3 + 3
= 0
→
15
2 a
λ
a
4 + 4
= 0
3 = 1
10
a
a
a
a
1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 − 1 = 0
a 4 = 2
15
λ
3
− + 2(− λ) + 3− λ + 4(−2 λ) −1 = 0
2
2
1
λ = − 15
2
1
1
1
2
1 + 4 + 9 + 16
30
1
2
σ
Z tego: min =
+
+
+ =
=
=
→ min =
302
152
102
15
302
302
30
30
Zadanie 4
k ≥ 1
P(
P S = N = k P N =
N = k S =
k
3)
( 3
) (
)
=
P( S = )
3
4 2
λ
− λ
8
3
λ
−
P( S = )
3 =
e
+
e λ
9 2
27 6
P( S = 3 N = )
1 = 0
P( N = 1 S = 3) = 0
P( S = 3 N = 2) 2 1
4
=
2 =
4 2
λ
3 3
9
− λ
P(
e
N = 2 S = 3)
9 2
=
P(
2
S = 3 N = 3)
2
8
= =
P( S = )
3
3
27
8
3
λ
−
... = 0
λ
P(
e
N = 3 S = 3)
27 6
= P( S = )3
8 λ 2
3
−
24
4 2
4 3
4
4
e λ +
λ
−
e λ
λ +
λ
+
λ
ODP = 9 2
27 6
= 9
27
= 9 27 =
4 λ 2
3
−
2 2
4 3
2
4
8
e λ +
λ
− λ
λ
e
+
λ
+
λ
9
81
9
81
9 2
27 6
12 + 4 λ
81
36 + 12 λ
6 λ + 18
λ + 3
=
=
= 2
= 6
27
18 + 4 λ
18 + 4 λ
2 9
( + 2 λ)
2 λ + 9
Zadanie 5
1
1
1
−
= −
20
10
20
2
X
− X ≅
σ
N
;
0
b
o :
20
10
20
X + ... + X
X
+ ... + X
X + ... + X
1
σ
1
10
11
20
1
10
2
1
2
var = var
+
−
=
10
2
σ +
σ 10 =
20
20
10
400
400
20
9 2
S
X , X
n
zl o
d
S
≅ χ )
9
(
10
20
2
σ
P( X
10 − aS ≤ X 20 ≤ X 10 + aS ) = P(− aS ≤ X 20 − X 10 ≤ aS ) =
≅ N (0 )
1
,
6
4
4 7
4
4 8
aS 20
( X 20 − X 10)
20
aS 20
= P −
≤
≤
=
σ
σ
σ
≅ t(9)
6
4
4 7
4
4 8
(
X
− X
20
10 ) 20
,
2 262
= P− a 20 ≤
≤ a 20 → a 20 = ,
2 262 → a =
2
S
20
σ
2
σ
Zadanie 6
1
X =
µ + 5 = ...
1
X
( , )
2
0 ≅ N µ σ
X − wart.czek.
1 1
n
X =
µ + 5 + 5
2
Y
2 2
n − wariancja
1
1 1 1
X =
X
X =
µ + 5 + 5
+ 5
−
5
1 +
n
n
3
2 2 2
2
1
1
Y
= Y
−
1
Y =
σ + 1
1 +
n
n
1
4
4
n = ,
1 ... 1
, 0
1 1
Y =
σ +1 +1
2
X
4 4
0 = µ
Y
1 1 1
0 = σ
Y =
σ +1 +1
+ 1
3
4 4 4
Z tego:
1
1
µ −10
X
µ
n =
+ 5⋅ 21−
=
+10
2 n
2 n
2 n
4
σ −
1
4
1
3
4
Y
σ
n =
+ 1−
=
+
4 n
3
4 n
4 n
3
µ −10
+10 = µ
10
2
4
σ −
4
3 + = σ
410
3
10
10
µ −10 + 2 10 = µ 2
10(1− 210 )
µ =
= 10
1 − 210
4
4 10
10
σ −
+ 4 = σ 4
3
3
4 (1− 410) 4
3
σ =
=
1 − 410
3
Zadanie 7
E( K − K
K
= E K K
10
dr 5
10 )
( 5 10)
K
- ilość orłów w drugiej 5
dr 5
K
10 − X = X
X − E( K
K
= E K K - oczywiste
dr 5
10 )
( 5 10)
X = E(
K
K K
=
5
) 10
10
2
E(
dwum
K
var( K K
=
K −
E K K
=
K −
=
−
= −
=
=
5
10 )
var
var
5
( ( 5 10)
1
1 1
5
10
10
var
var
10
5
10
,
0 625
5
2
4
4 4
4
16
16
Zadanie 8
( x− )12
−
1
e
8
x 2
1
1 x 2
3
1
1
2
2Π 2
− + x− +
1
1
8
4
8
2
x + x−
8
4
8
P
0
> t = P e
> t = P e
> t =
2
x
−
1
2
2
e 2
2Π
3
2
1
1
= P x + x − > ln(2 t) = P(3 2
x + 2 x −1 − 8ln(2 t) > 0)
8
4
8
2
4
-2 jest pierwiastkiem z Vieta → −
= 2
− + x → x = b =
3
3
4
P x >
l
u
b x < 2
− = 5
,
0 − ,
0 40824 + 5
,
0
− 07725 ≈ 1,
0 1 czyli odpowiedź (E) prawidłowa
3
Zadanie 9
P( X
X
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
n ≥ 3
n− <
=
n ≥
n− =
n− =
n− <
+
n ≥
n− =
n− =
n− <
1
)3 (
3
2
1
) (
2
1
1
)3 (
3
1
)1 (
1
1
1
)3
+ P(
P Y
P X
P Y
P X
X
X
P X
X
n ≥
3
2
3
1
3
n
n 1
n
n 1
n−1 = 0) (
n−1 = 0
n−1 <
) ( ≥ ) ( − = ) ( ≥ ) ( − = )
3 =
P( X
P X
n−1
)
+
< 3
( n−1 )
+
< 3
P( Y
P X
P X
n ≥
)3 ( n− = 0
n− =
1
)
(
,
1 0
,
2
1
)
+
P(
=
P Y
P Y
n ≥
=
n ≥
X
P X
n− <
n− <
1
)3
( 1 ) (
)3 (
)3
3
P(
9
P X
k
n 1 =
X
X
P X
X
P X
X
P Y
P Y
n < 3
n−
3
3
3
3
3
...
0
0
1 ≥
)= ( n < n−1 = ) ( n−1 = n−1 ≥ )+ = ( n = ) ( −
)
∑
=
n =
P X
k =
3
3
( n−1 ≥ )
(
)
P( X
P X
X
P X
P X
X
P X
n ≥
)3 = ( n ≥ 3 n−1 < )3 ( n−1 < )3+ ( n ≥ 3 n−1 ≥ )3 ( n−1 ≥ )3 =
= P( Y
P X
P Y
P X
P X
P X
P X
n ≥ 3)
(
7
1
n−1 < 3) + (1 −
( n = 0) ( n−1 ≥ 3) =
( n−1 < 3)+ ( n−1 ≥ 3)−
( n−1 ≥ 3) =
10
10
7
=
P( X
P X
P X
n− <
+
n− ≥
=
+
n− ≥
1
) 9
3
(
3
1
) 7 2 (
3
1
)
10
10
10
10
7
2
7
2
8
7
7 10
7
X
n =
+
X n− → x =
+
x →
x =
→ x =
=
1
10
10
10
10
10
10
10 8
8
Zadanie 10
P( )
A − P( A ∩ B) > 0
( C ∩ B)\ ( C ∩ ) A
P( B) − P( A ∩ B) > 0 BO: ( C ∩ B) \ ( C ∩ A ∩ C ∩ B) P( A ∩ B) > 0
Z nierówności z treści zadania:
P( A ∩ C) + P( B ∩ C) − P( A ∩ B ∩ C) P( A ∩ C)
>
b
o P( )
A + P( B) − P( A ∩ B) > 0
P( A ∪ B)
P( )
A
Z TEGO:
P( A ∩ C)
P( B ∩ C) − P( A ∩ B ∩ C) > P( A ∪ B) − P( A ∩ C) P( )
A
P( A ∩ C) P( A∪ B) − P( A∩ C) P( C B − A) P( C ∩ B) − P( A ∩ B ∩
=
C) > P( )
A
>
P( B) − P( A ∩ B) P( B) − P( A ∩ B) P( A ∩ C) P( A ∪ B) − P( ) A P( A ∩ C)
P( A ∩ C)( P( B) − P( A ∩ B))
>
=
= P C A
P( )
A ( P( B) − P( A ∩ B)) P( )
A ( P( B) − P( A ∩ B)) (
)