ZESTAW 5. Granica i ciągłość funkcji Zadanie 5.1. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją) ( x − )
1
2 − x
8 3
x − 1
1
3
a) lim
b) lim
c) lim(
−
)
2
x →1
x − 1
1
3
x →1
−
−
x →
6 2
x − 5 x + 1
1
x
1
x
2
1 + 2 x − 3
x + 13 − 2 x + 1
sin 5 x
d) lim
e) lim
f) lim
x → 4
x − 2
2
x → 3
x − 9
x → 0 sin 3 x
2
x
cos x − 1
1 − cos x
2
x + 1
g) lim
h) lim
i) lim
2
x → 0
x
2
x → 0
x
2
x → ∞ x − 1
1
2
2
j) lim x sin
k) lim ( x + 3 −
x + 1) l) lim ( 1 + x + x − 1 − x + x ) x → ∞
x
x → ∞
x → ∞
+1
2 − 5
2 x +
x
3
3 x −
x
1
1
m) lim
n) lim
o) lim x sin
x → ∞ 2 x + 1
x → ∞ 2 x + 1
x → 0
x
1
2
− x
2 x + 3 x
4 x + 3
p) lim
q) lim
r) lim
3
x +
x →1 x − 1
x → ∞ 3 x + 1
1
x → −∞ 1 − 3
Zadanie 5.2. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x 0 , jeŜeli: 1
1
1
a) f ( x) =
, x = 3 b) f ( x) =
, x = 3 c) f ( x) =
, x = 3
x − 3
0
3
0
− x
0
(3 − x)2
1
x + 1
1
d) f ( x) =
, x = 1 e) f ( x) =
, x = 2 f) f ( x) = 2 x−1 , x = 1
x − 1
0
0
2
0
x − 4
1
1
2
2
x
g) f ( x) = 4 x −4 , x = 2 h) f ( x) = e 4− x , x = 2
− i) f ( x) =
, x = 0
0
0
0
1
1 − e x
Zadanie 5.3. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice 1
x + 1
| x − 1 |
x +
2
sin x
[ ] 1
a) lim
b) lim
c)
1
lim e − x d) lim
e) lim
x
1
→ x −1
3
2
x →1 x − x
x
1
→
x →0 | x |
x → 2 x − 1
Zadanie 5.4. Zbadać ciągłość funkcji f
x+
3 1 +
1 d
la x ≤ 0
2 x −
1 d
la x < 0
a) f ( x) =
b) f ( x) =
x
(2 − x)2 d
la x > 0
2 −
1 d
la x ≥ 0
x
| x + 1 |
d
la x ≠ −
1 x
1
f ( x) =
−
e
d
la x ≠
c)
1 d) f ( x) = 2
x + x
0 dla x = 1
− 1 dla x = −1
1
1
x cos d
la x ≠ 0
sin d
la x ≠ 0
e) f ( x) =
x
f) f ( x) =
x
0 d
la x = 0
0 dla x = 0
Zadanie 5.5. Sprawdzić, czy moŜna dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : Ñ→Ñ była ciągła, jeŜeli
x+
2
2 +
5 d
la x ≤ 0
x−
3 2 +
1 d
la x ≤ 2
a) f ( x) =
b) f ( x) =
( a − x)2 d
la x > 0
a | 2 − x | d
la x > 2
x+
2 1 +
1 d
la x ≤ −1
1 − a − x d
la x < −1
c) f ( x) = ax +
b dla −
1 < x < 1 d) f ( x) = 3 x +
2 dla −
1 ≤ x ≤ 0
(2 − x)2 d
la x ≥ 1
sin bx d
la x > 0
x