ZESTAW 11. Funkcje wielu zmiennych – granice i ciągłość oraz pochodne cząstkowe
Zadanie 11.1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji
)
,
(
y
x
f
i przedstawić ją graficznie
a)
2
2
1
)
,
(
y
x
y
x
f
+
=
b)
y
x
y
x
f
+
=
1
)
,
(
c)
)
ln(
1
)
,
(
xy
y
x
f
=
d)
y
x
y
x
f
+
=
1
)
,
(
e)
y
x
y
x
f
+
=
)
,
(
f)
2
)
,
(
2
2
−
+
=
y
x
x
y
x
f
g)
2
2
)
,
(
y
x
y
x
f
−
=
h)
1
)
,
(
2
−
=
x
y
x
f
i)
2
2
4
)
,
(
y
x
y
x
f
−
−
=
j)
3
2
ln
)
,
(
2
−
−
=
x
x
y
y
x
f
k)
y
x
y
x
f
arcsin
)
,
(
=
l)
)
3
2
ln(
1
)
,
(
+
−
=
y
x
y
x
f
Zadanie 11.2. Wykazać, Ŝe nie istnieją następujące granice:
a)
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
lim
y
x
xy
y
x
+
→
b)
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
lim
y
x
x
y
x
+
→
c)
2
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
2
lim
y
x
y
x
y
x
−
+
→
d)
1
lim
2
6
)
1
,
0
(
)
,
(
−
→
y
x
y
x
Zadanie 11.3. Pokazać, Ŝe
a)
1
1
lim
2
)
0
,
1
(
)
,
(
=
+
→
y
x
y
x
b)
0
lim
2
2
3
)
0
,
0
(
)
,
(
=
+
→
y
x
x
y
x
c)
0
lim
2
2
4
4
)
0
,
0
(
)
,
(
=
+
−
→
y
x
y
x
y
x
d)
2
1
)
2
(
1
1
)
2
(
lim
2
2
2
2
)
2
,
0
(
)
,
(
=
−
+
−
+
−
+
→
y
x
y
x
y
x
e)
1
1
e
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
2
2
=
+
−
+
→
y
x
y
x
y
x
Zadanie 11.4. Obliczyć następujące granice:
a)
)
2
(
lim
)
0
,
0
(
)
,
(
y
x
y
x
+
→
b)
)
(
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
y
x
y
x
+
→
c)
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
1
e
lim
2
2
y
x
y
x
y
x
+
−
+
→
d)
y
x
y
x
y
x
+
−
+
→
1
e
lim
)
0
,
0
(
)
,
(
e)
2
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
3
9
lim
y
x
y
x
y
x
+
−
+
+
→
f)
2
2
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
1
ln
)
(
lim
y
x
y
x
y
x
+
+
→
Zadanie 11.5. Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie (0,0)
a)
=
≠
+
=
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
0
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
)
,
(
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
f
b)
=
≠
+
−
=
+
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
1
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
1
e
)
,
(
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
f
y
x
c)
=
≠
+
−
=
+
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
0
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
1
e
)
,
(
4
4
4
4
y
x
y
x
y
x
y
x
f
y
x
d)
=
≠
=
−
−
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
3
)
0
,
0
(
)
,
(
gdy
e
3
6
)
,
(
1
2
y
x
y
x
y
x-
y
x
f
y
x
