Zestaw 7   Badanie przebiegu zmienności funkcji 
 
  Zadanie 7.1 Znaleźć asymptoty funkcji: 
 

   a) f(x)= 

x

x

−

−

5

7

4

       b) f(x)=

2

1

1

x

−

      c)  f(x)= 

3

2

2

+

x

x

    d)  f(x) = 

4

2

2

3

−

+

x

x

x

   

   e) f(x)= 

1

2

+

x

x

          f)  f(x)= 

9

2

3

−

−

x

x

            g) f(x)= 

x

x

2

2

1

+

+

     

    h)  f(x)= 

x

x 2

1+

           i)  f(x)= 

x

x

sin

                      j) f(x)= 

x

e

x

−

2

 

 
  Zadanie 7.2  Wyznaczyć  przedziały  monotoniczności  funkcji: 
 

  a) f(x)= 2x 3 + 10x- 18       b) f(x)=2x 3 - 9x 2 +12x +2           c) f(x)= 

4

2

+

x

x

   

  d)  f(x)= 

2

2

1

2

3

+

+

x

x

              e) f(x)= xe

x

2

−

        f)  f(x)= x- ln(1+x)       g)  f(x)=(x 2 - 4 )e

x

−

 

 
  Zadanie 7.3 Wyznaczyć  ekstrema funkcji: 
 

   a) f(x)= 2x 3 - 15x 2 + 36x – 14           b)  f(x)= x 4 + 4x – 2       c)  f(x)= x 3  + 3x 2 -9x -2     
 

   d) f(x)= x 4 + 4x 2 - 2                          e)   f(x)= 

4

2

+

x

x

              f)  f(x)= 

4

1

x 4 - 

2

1

x 2  

   g) f(x)= 

(

)

x

x

2

2

1−

                                 h)  f(x)= x -  x               i)  f(x)= e

x + e x

−

 

 

   j) f(x)= 

1

2

4

2

+

+

x

x

                                    k)  f(x)=  

1

2

2

+

x

x

 

 
 Zadanie 7.4 Znaleźć najmniejszą  i  największą wartość  funkcji  w  przedziałach: 
    

a)  f(x)= x 2 - 2x +3 , x∈[-2,5] 
 

b)  f(x)= 2x 3 - 3x 2 -36x- 8, x∈[-3, 6] 
 

   c)  f(x)= -x 3 -3x 2 -9x + 21,    x∈[-4, 2] 
 

   d)  f(x)= -4x 3 +6x 2 +24x -3,    x∈[0, 3] 
 
 

 

  e)  f(x)= 2x 3 +21x 2 +36x -4,    x∈[-2, 1] 
 

 

  f)  f(x)= x- 2 x ,    x∈[0,5] 
 

   g)  f(x)= x 2 lnx,     x∈[1,e] 
 

   h) f(x)= 

2

1

−

+

x

x

   ,     x∈[3, 5] 

 

 

   i)  f(x)= 

4

2

1

2

+

+

x

x

   ,     x∈[-1, 1] 

 

  j)  f(x)= 

2

2

3

2

2

+

−

x

x

   ,     x∈[-1, 1] 

 
  Zadanie 7.5 Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: 
 

a)  f(x)=  4

x

-4x 3 +8x 2                     

 

  b)   f(x)= 3

4

x +7x +1 

 

c)   f(x)= 

4

x -12x 3 +48x 2  

 

d)  f(x)= 5

4

x +2x 3 +x 2  

 

e)  f(x)= -2

4

x -4x +5 

 

f)  f(x)= 

2

2

3

3

3

2

12

4

x

x

x

+

−

 

 

g)  f(x)= 

2

2

+

x

x

 

 

h)  f(x)= xe

x

−

 

 

  i)    f(x)= 

x

x

ln

 

 
Zadanie  7.6  Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić wykresy funkcji: 
 

  a)  f(x)=  x 3 -3x 2 +4                                   b) f(x)= 

(

) (

)

2

2

1

+

−

x

x

 

 

  c)  f(x)= 

2

1 x

x

−

                                           d)  f(x)=  

1

3

−

x

x

    

 

  e)  f(x)= x

1

−

x

                                           f)  f(x)= 

x

x −  

 

  g) f(x)= 

x

x

ln

                                                 h)  f(x)= e

2

x

−

 

 

  i)  f(x)= 

1

+

x

x

e

                                                j)  f(x)= 

1

2

+

x

x

   

 

  k)  f(x)= 

2

5

+

−

x

x

                                              l)  f(x)= x

3

+

x

x

 

 
 

Zadanie 7.7  Uzupełnić komentarze, wypełnić tabelkę i narysować wykres funkcji: 
x∈(- ∞ , 4)  ∪  (4, + ∞ ) 
 

+∞

=

−∞

→

)

(

lim

x

f

x

  

 

0

)

(

4

lim

=

→

−

x

f

x

 

 

+∞

=

→

+

)

(

4

lim

x

f

x

 

 

+∞

=

+∞

→

)

(

lim

x

f

x

 

 

+∞

=

−∞

→

x

x

f

x

)

(

lim

 

 

1

)

(

lim

=

+∞

→

x

x

f

x

 

 

(

)

0

)

(

lim

=

−

+∞

→

x

x

f

x

 

 

3

0

)

(

−

=

⇔

=

x

x

f

 

 

)

,

7

(

)

4

,

2

(

0

)

(

'

+∞

∪

∈

⇔

>

x

x

f

 

 

)

7

,

4

(

)

2

,

(

0

)

(

'

∪

−∞

∈

⇔

<

x

x

f

 

 

7

2

0

)

(

'

=

∨

=

⇔

=

x

x

x

f

 

 

)

,

4

(

)

4

,

(

0

)

(

"

+∞

∪

−∞

∈

⇔

>

x

x

f

 

 
f(2)= -2,  f(7)=9