Zestaw 7 Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 7.1 Znaleźć asymptoty funkcji: 3

2

4

2

x − 7

1

x

x + x

a) f(x)=

b) f(x)=

c) f(x)=

d) f(x) =

5 − x

2

1

2

− x

2 x + 3

x

− 4

x

x − 3

e) f(x)=

f) f(x)=

g) f(x)=

2

1+ x

+ 2 x

2

x

+1

2

x

− 9

2

1+ x

sin x

2 −

h) f(x)=

i) f(x)=

j) f(x)=

x

x e

x

x

Zadanie 7.2 Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: x

a) f(x)= 2x 3 + 10x- 18 b) f(x)=2x 3 - 9x 2 +12x +2 c) f(x)=

2

x

+ 4

2

3 x

+1

−

−

d) f(x)=

e) f(x)= xe 2 x f) f(x)= x- ln(1+x) g) f(x)=(x 2 - 4 )e x 2

x

+ 2

Zadanie 7.3 Wyznaczyć ekstrema funkcji: a) f(x)= 2x 3 - 15x 2 + 36x – 14 b) f(x)= x 4 + 4x – 2 c) f(x)= x 3 + 3x 2 -9x -2

x

1

1

d) f(x)= x 4 + 4x 2 - 2 e) f(x)=

f) f(x)=

x 4 -

x 2

2

x

+ 4

4

2

(

x)2

1−

−

g) f(x)=

h) f(x)= x - x i) f(x)= e x + e x 2 x

2

x

+ 4

2 x

j) f(x)=

k) f(x)=

2

2

x

+1

x

+1

Zadanie 7.4 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziałach: a) f(x)= x 2 - 2x +3 , x∈[-2,5]

b) f(x)= 2x 3 - 3x 2 -36x- 8, x∈[-3, 6]

c) f(x)= -x 3 -3x 2 -9x + 21, x∈[-4, 2]

d) f(x)= -4x 3 +6x 2 +24x -3, x∈[0, 3]

e) f(x)= 2x 3 +21x 2 +36x -4, x∈[-2, 1]

f) f(x)= x- 2 x , x∈[0,5]

g) f(x)= x 2 lnx, x∈[1,e]

x +1

h) f(x)=

, x∈[3, 5]

x − 2

2

x

+1

i) f(x)=

, x∈[-1, 1]

2

x

+ 4

2

2 x − 3

j) f(x)=

, x∈[-1, 1]

2

x

+ 2

Zadanie 7.5 Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: a) f(x)= 4

x -4x 3 +8x 2

4

b) f(x)= 3 x +7x +1

4

c) f(x)= x -12x 3 +48x 2

4

d) f(x)= 5 x +2x 3 +x 2

4

e) f(x)= -2 x -4x +5

4

3

2

x

2 x

3 x

f) f(x)=

−

+

12

3

2

x

g) f(x)=

2

x

+ 2

−

h) f(x)= xe x

ln x

i) f(x)=

x

Zadanie 7.6 Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić wykresy funkcji:

a) f(x)= x 3 -3x 2 +4 b) f(x)= ( x − )2

1

( x + 2)

x

3

x

c) f(x)=

d) f(x)=

2

1− x

x −1

e) f(x)= x x −1 f) f(x)= x − x ln x

2

−

g) f(x)=

h) f(x)= e x

x

x

e

2 x

i) f(x)=

j) f(x)=

x +1

x +1

x − 5

x

k) f(x)=

l) f(x)= x

x + 2

x + 3

Zadanie 7.7 Uzupełnić komentarze, wypełnić tabelkę i narysować wykres funkcji: x∈(- ∞ , 4) ∪ (4, + ∞ )

f ( ) = +∞

lim

x

x →−∞

f ( x)

0

lim

=

x → 4−

f ( ) = +∞

lim

x

x → +

4

f ( ) = +∞

lim

x

x→+∞

f ( x) = +∞

lim

x

x→−∞

f ( x)

1

lim

=

x

x→+∞

( f ( x) − x) 0

lim

=

x→+∞

f ( x) = 0 ⇔ x = 3

−

f ' ( x) > 0 ⇔ x ∈ ( , 2 )

4 ∪ (7,+∞)

f ' ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, ) 2 ∪ ( ,

4 7)

f ' ( x) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 7

f " ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, ) 4 ∪ ( ,

4 +∞)

f(2)= -2, f(7)=9