Analiza Matematyczna

Kolokwium 2

Zestaw D

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć

Z

x3

√

dx.

1 − x4

Rozwi¸

azanie

√

Stosujemy podstawienie: y =

1 − x4. St¸

ad − 1 ydy = x3dx.

2

Otrzymujemy

Z

x3

1 Z ydy

1 Z

1

1 √

√

dx = −

= −

dy = − y + C = −

1 − x4 + C.

1 − x4

2

y

2

2

2

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x2, g(x) = 1 x2 + 2 .

2

Rozwi¸

azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.

Rozwi¸

azuj¸

ac układ równań y = x2 i y = 1 x2 + 2, otrzymujemy punkty wspólne parabol 2

(−2, 4), (2, 4).

St¸

ad pole obszaru

Z

2 1

Z

2

16

|P (O)| = 2

( x2 + 2 − x2)dx =

(−x2 + 4)dx =

.

2

3

0

0

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji x

f (x) =

.

lnx

1

Rozwi¸

azanie

Dziedzin¸

a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wi¸ekszych od zera i różnych od 1.

Obliczamy pochodn¸

a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

lnx − 1

f 0(x) =

ln2x

.

f 0(x) > 0, gdy x ∈ (e, ∞).

f 0(x) < 0, gdy x ∈ (0, e).

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸

aca na przedziale (0, e)) , i ściśle rosn¸

aca na przedziale (e, ∞) Posiada minimum lokalne właściwe w punkcie (e, e).

Zadanie 4

Prosz¸e napisać wzór Maclaurina z reszt¸

a R4 dla funkcji

f (x) = sin2 3x

Rozwi¸

azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu czwartego wł¸

acznie funkcji f (x) jej rozwini¸ecia w szereg Maclaurina.

Mamy

f (x) = sin2 3x, f (0) = 0; f (1)(x) = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x, f (1)(0) = 0; f (2)(x) = 18 cos 6x, f (2)(0) = 18; f (3)(x) = −108 sin 6x, f (3)(0) = 0; f (4)(c) = −648cos6c, c ∈ [0, x]; St¸

ad

f (x) = sin2 3x = 18x2 − 27 cos(6c)x4

2