Analiza Matematyczna
Zestaw C
Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć granic¸e
lim
x→∞
(2n + 1)
2n + 5
6n+3
Rozwi¸
azanie
lim
x→∞
(2n + 1)
2n + 5
6n+3
= lim
x→∞
h
1 +
−4
2n+5
2n+5
i
3
1 +
−4
2n+5
12
=
(e
−4
)
3
1
= e
−12
Zadanie 2
Prosz¸e dobrać stałe a, b tak, aby funkcja f określona wzorem
f (x) =
ax + b
dla x < −2
|ax
2
+ b|
dla |x| ≤ 2
a log
2
x − bx dla x > 2
była ci¸
agła na R.
Rozwi¸
azanie
Z definicji ci¸
agłości funkcji w punkcie
lim
x→−2
−
(ax + b) = −2a + b, lim
x→−2
+
|ax
2
+ b| = |4a + b|,
lim
x→2
−
|ax
2
+ b) = |4a + b|, lim
x→2
+
(a log
2
x − bx) = a − 2b,
St¸
ad wynika, że
−2a + b = |4a + b| i |4a + b| = a − 2b. Dla 4a + b ≥ 0 otrzymujemy 4a + b = −2a + b i
4a + b = a − 2b. Czyli a = 0 i b = 0.
Dla przypadku 4a + b < 0 otrzymujemy sprzeczność.
Funkcja f (x) ≡ 0 jest ci¸
agła na R.
Zadanie 3
Prosz¸e obliczyć granic¸e
lim
x→0
e
5x
− 1
tan 2x
Rozwi¸
azanie
lim
x→0
e
5x
− 1
tan 2x
= lim
x→0
e
5x
−1
5x
tan 2x
2x
lim
x→0
5x
2x
=
1
1
·
5
2
=
5
2
1
