ANALIZA MATEMATYCZNA, 2001/2002, KOLOKWIUM II, 16 stycznia 2002

1. (5+5 pkt) Oblicz granicę funkcji f punkcie x lub wykaż, że takiej granicy nie ma, gdy o

(a) f  x  x   x  x , xo = -1

2 n

x

1

(b) f  x  lim

, x

2

o = 1

n

n

x

1

2. (10 pkt) Zbadaj, dla jakich wartości a, b jest ciągła funkcja f, gdy

 a 1

(  x)



gdy

x  0



2

f  x   ax 1

gdy 0  x  1



b

gdy

1  x



x



3. (10 pkt) Niech f będzie funkcją ciągłą w R, której jedynymi punktami stałymi są a i b (a < b). Wykaż, że dla dowolnych , x y  ,

 a, f  x x f  y y 0.

4. (10 pkt) Niech f :

,

0

[ )  R będzie funkcją ciągłą. Wykaż, że jeśli istnieje skończona granica lim f  x , to f jest ograniczona na przedziale , 0

[ ) .

x

 1 

5. (10 pkt) Oblicz lim E

, gdy f  x  sin2   .

x  f 

x

 x 