Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw A1
Zadanie 1
Prosz¸e obliczyć
Z
1
5 + 4 sin x
dx.
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienia: sin x =
2t
1+t
2
, dx =
2
1+t
2
dt, gdzie t = tan x/2.
Otrzymujemy
Z
2
1+t
2
5 +
8t
(1+t
2
)
dt =
2
5
Z
1
(t + 4/5)
2
+ 9/25
dt =
2
3
Z
1
u
2
+ 1
du =
=
2
3
arctan(
5t + 4
3
) + C =
2
3
arctan
5tanx/2 + 4
3
+ C
gdzie zastosowaliśmy podstawienie u =
5t+4
3
.
Zadanie 2
Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f (x) = x sin 4x i g(x) = 0
oraz proste x = 0 i x = π/8.
Rozwi¸
azanie
Pole obszaru
|P (O)| =
Z
π/8
0
x sin 4xdx = −
1
4
Z
π/8
0
x(cos 4x)
0
dx = −
1
4
π/8(cos π/2)+
+
1
4
0 cos 0 +
1
4
Z
π/8
0
1 cos 4xdx = 0 +
1
16
sin π/2 −
1
16
sin 0 =
1
16
.
1
Zadanie 3
Prosz¸e wyznaczyć asymptoty wykresu oraz ekstrema lokalne funkcji
f (x) =
x + 1
√
x
2
+ 1
, x ∈ R
1
.
Rozwi¸
azanie
f (x) =
x + 1
√
x
2
+ 1
=
x(1 + 1/x)
|x|
p1 + 1/x
2
= −1 gdy x → −∞ lub 1 gdy x → +∞
Wykres funkcji f (x) posiada wi¸ec asymptot¸e poziom¸
a lewostronn¸
a y = −1 i asymptot¸e
poziom¸
a prawostronn¸
a y = 1.
Obliczamy pochodn¸
a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).
f
0
(x) =
√
x
2
+ 1 − (x + 1)
2x
2
√
x
2
+1
x
2
+ 1
=
1 − x
p(x
2
+ 1)
3
.
f
0
(x) < 0, gdy x ∈ (1, ∞).
f
0
(x) > 0, gdy x ∈ (−∞, 1).
Funkcja f (x) rośnie na przedziale (−∞, 1) i maleje na (1, ∞). oraz posiada maksimum
lokalne właściwe równe
√
2 w punkcie (1,
√
2).
Zadanie 4
Prosz¸e rozłożyć jednomian J (x) = x
3
w szereg Taylora według pot¸eg (x − a) z reszt¸
a
R
2
i odpowiedzieć od czego zależy liczba c wyst¸epuj¸
aca w ostatnim składniku rozwini¸ecia.
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu drugiego wł¸
acznie funkcji J (x) jej rozwini¸ecia w
szereg Taylora w otoczeniu punktu x
0
= a.
Mamy
J (x) = x
3
= J (a) +
J
0
(a)
1!
(x − a) +
J ”(c)
2!
(x − a)
2
.
St¸
ad
x
3
= a
3
+ 3a
2
(x − a) + 3c(x − a)
2
.
2
(x − a)(x
2
+ ax + a
2
) = 3a
2
(x − a) + 3c(x − a)
2
.
x
2
+ ax + a
2
= 3a
2
+ 3c(x − a)
c =
x
2
+ ax − 2a
2
3(x − a)
=
(x − a)(x + 2a)
3(x − a)
=
x + 2a
3
Liczba c wyst¸epuj¸
aca w reszcie wzoru Taylora zależy od x,a i od rz¸edu pochodnej n (dla
różych n otrzymujemy różne postacie wzoru na c).
3