Analiza Matematyczna
Zestaw D
Zadanie 1
Korzystaj¸
ac z twierdzenia o ci¸
agu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸e uzasadnić
zbieżność ci¸
agu o wyrazie a
n
a
n
= 1 −
1
3
1 −
1
3
2
. . . 1 −
1
3
n
.
Rozwi¸
azanie
Przypomnijmy twierdzenie o ci¸
agu monotonicznym i ograniczonym.
Każdy ci¸
ag monotoniczny i ograniczony ma granic¸e właściw¸
a, czyli jest zbieżny.
Zauważmy, że ci¸
ag (a
n
) jest malej¸
acy, bo
a
n+1
a
n
= 1 −
1
3
n+1
< 1 Pokażemy jeszcze, że
ci¸
ag ten jest ograniczony z dołu przez liczb¸e 0.
a
n
= 1 −
1
3
1 =
1
3
2
. . . 1 −
1
3
n
> 1 −
1
3
n
= (
2
3
)
n
→ 0, gdy n → ∞.
Co mieliśmy wykazać.
Zadanie 2
Prosz¸e sprawdzić, korzystaj¸
ac z definicji pochodnej funkcji w punkcie, czy istnieje po-
chodna funkcji f w punkcie x
0
= 0, jeżeli
f (x) =
x
2
sin 3x
sin 5x
dla 0 < |x| <
π
3
0
dla x = 0
Rozwi¸
azanie
Korzystaj¸
ac z definicji pochodnej prawostronnej funkcji w punkcie
f
0
+
(0) = lim
h→0
+
h
2
sin 3h
sin 5h
− 0
h
= lim
h→0
+
h
sin 3h
3h
sin 5h
5h
3h
5h
= 0 ·
1
1
·
3
5
= 0
Istnieje zatem pochodna funkcji w punkcie x = 0 i jest równa 0.
Zadanie 3
Prosz¸e obliczyć granic¸e
lim
x→0
ln (1 − 2x
3
)
7x
3
Rozwi¸
azanie
lim
x→0
ln (1 − 2x
3
)
7x
3
= lim
x→0
−12
42 + 210x
4
= −
12
42
= −
2
7
Prosz¸e sprawdzić, stosuj¸
ac trzykrotnie reguł¸e markiza de’lHospitala.
1
