‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

1. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu:

a) a

n

= (

1

n

, (−1)

n

)

, b) b

n

= (

n

√

n,

1

n

, ln

n

n+1

)

.

2. Uzupeªni¢:

zbiór

ograniczony otwarty domkni¦ty

1

R

2

1

{(x, y) : x

2

+ y

2

< 2}

1

{(x, y) : x

2

+ y

2

6 2}

1

{(x, y) : x

2

+ y

2

> 2}

1

{(x, y) : 1 6 x

2

+ y

2

< 2}

1

{(x, y) : x + y = 1}

3. Wyznaczy¢ i narysowa¢ naturalne dziedziny podanych funkcji. Czy s¡ to zbiory

ograniczone, otwarte, domkni¦te?
a) f(x, y) =

√

x sin y

,

b) f(x, y) = arcsin py −

√

x

,

c)f(x, y) = ln(

√

x +

√

y)

.

4. Obliczy¢ granice, je±li istniej¡:

a) lim

(x,y)→(0,0)

x

x+y

, b) lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

2

+y

2

, c) lim

(x,y)→(0,0)

(xy)

2

x

2

+y

2

,

d) lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y)

, gdze f(x, y) =

sin(xy)

x

, x 6= 0

0

, x = 0

.

5. Znale¹¢ zbiór punktów, w których funkcja f : R

2

−→ R okre±lona wzorem:

f (x, y) =

px

2

+ y

2

, x > 0

2

, x < 0

jest ci¡gªa.

RACHUNEK RӛNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

6. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji:

a) f(x, y) = arccos

x
y

, b) f(x, y, z) = x

y

− z

x

.

7. Obliczy¢ z denicji pochodne cz¡stkowe funkcji:

a) f(x, y) =

3

px

3

− y

3

w punkcie (x

0

, y

0

) = (0, 0)

;

b) f(x, y, z) =

(

x

3

+y

x

2

+y

2

+z

2

, (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0

, (x, y, z) = (0, 0, 0)

w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) = (0, 0, 0)

.

8. Niech

f (x, y) =

(

xy(x

2

−y

2

)

x

2

+y

2

, (x, y) 6= (0, 0)

0

, (x, y) = (0, 0)

.

Zbada¢, czy

∂

2

j

∂x∂y

(0, 0) =

∂

2

j

∂y∂x

(0, 0)

.

1

9. Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ funkcji

a) f(x, y) = x

2

− y

2

w punkcie (x

0

, y

0

) = (1, −2)

;

b) f(x, y) =

(

xy

√

x

2

+y

2

, (x, y) 6= (0, 0)

0

, (x, y) = (0, 0)

w punkcie (x

0

, y

0

) = (0, 0)

.

10. Korzystaj¡c z reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej obliczy¢ pochodne cz¡stkowe

pierwszego rz¦du wzgl¦dem x i y funkcji z: z = f(u, v) = e

uv

, u = ln px

2

+ y

2

,

v = arc tg

x
y

.

11. Obliczy¢ z denicji pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f(x, y) = px

2

+ y

2

w punkcie

(x

0

, y

0

) = (0, 0)

w kierunku wektora ~v = (

1
2

, −

√

3

2

)

.

12. Obliczy¢ gradient i pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f(x, y) = sin x cos y w punkcie

(0, π)

w kierunku ~v = (−

1
2

,

√

3

2

)

.

13. Znale¹¢ ekstrema funkcji

a) f (x, y) = 3x

3

+ 3x

2

y − y

3

− 15x; b) f (x, y) = 3(x − 1)

2

+ 4(y + 2)

2

;

c) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 51x − 24y; d) f (x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy.

14. Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema lokalne:

a) f(x, y) = 2 − p3x

2

+ 4y

2

, b) f(x, y) = x

8

− y

4

.

15. Znale¹¢ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = x

2

+ y

2

− xy + x + y

w

trójk¡cie domkni¦tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 0, y = −x − 3.

16. Znale¹¢ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = 2xy w kole domkni¦tym

D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 1}

.

17. Obliczy¢ pochodn¡ f

0

funkcji y = f(x) danej równaniem y

3

− 4xy + x

2

= 0

.

18. Znale¹¢ ekstrema funkcji uwikªanej

a) y = f(x) danej równaniem y

4

− 8xy − 4y + 8x

2

= 0

;

b) z = f(x, y) danej równaniem 5x

2

+ 5y

2

+ 5z

2

− 2xy − 2xz − 2yz − 72 = 0

.

19. Korzystaj¡c z metody Lagrange'a znale¹¢ punkty, w których funkcja f(x, y) = xy

mo»e mie¢ ekstremum warunkowe przy warunku x

2

+ y

2

= 2

.

2