7.

 

Funkcje wielu zmiennych: określenie funkcji wielu zmiennych, granica funkcji, ciągłość funkcji, pochodne 
cząstkowe, ekstrema lokalne, ekstrema warunkowe, największa i najmniejsza wartość funkcji. Przykłady 
wykorzystania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych w ekonomii. 

Definicja. Funkcją 

 zmiennych nazywamy funkcję :  → , gdzie  jest podzbiorem przestrzeni 



. 

Zadanie 1. Funkcja dwóch zmiennych dana jest wzorem 

 ,   = 16 − 



− 



. Wyznaczyć dziedzinę funkcji 

. 

Zadanie 2. Niech 

 ,   = 3  + 5. Wiemy, że punkt 



, 



, 



 =  1, 



, 3   należy do wykresu tej funkcji. 

Obliczyć  





. 

Suma, różnica, iloczyn i iloraz (pod warunkiem, że mianownik jest różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. 
Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. 

Zadanie 3.  Czy podane funkcje są funkcjami ciągłymi. Odpowiedź uzasadnij. 

a)

 

: 



→ ,  ,   = 







 

b)

 

: 



→ ,  ,   =

cos



+ 



 

c)

 

: 



→ ,  ,   =

cos −




 !



 "

 

Zadanie 4.  Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji. 

a)

 

 ,   = 







 

b)

 

 ,   =

cos



+ 5  

c)

 

 ,   = ln  %



+   

d)

 

 ,   = %

 &!

 

Zadanie 5.  Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: 

a)

 

 ,   = 



+ 



− 2  + 4 + 5 

b)

 

 ,   = %

)

 + 



 

c)

 

 ,   = 



+ 3 



− 15  − 12 

Zadanie 6.  Wyznacz wartość najmniejszą i największą  funkcji: 

a)

 

 ,   = 2



+ 



−  w kole 



+ 



≤ 1 

b)

 

 ,   = 4



+ 5



−   −  w kwadracie | | ≤ 7, || ≤ 7 

c)

 

 ,   = %

)



)!



 + 2  w 



 

Zadanie 7. Niech funkcją produkcji w pewnym przedsiębiorstwie jest 

Q

KL

=

, gdzie:  Q  – wielkość produkcji, 

,

K L

 – nakłady odpowiednio majątku i siły roboczej. 

1.

 

Zdefiniuj kategorie produktywności przeciętnej i produktywności krańcowej nakładu siły roboczej. 

2.

 

Załóż, że przedsiębiorstwo może przeznaczyć na wynajęcie czynników produkcji 

C  jednostek pieniężnych. 

Wyznacz  największą  możliwą  do  wytworzenia  wielkość  produkcji oraz  nakłady obu  czynników  produkcji 
wiedząc,  że  koszt  wynajęcia  jednostki  majątku  i  jednostki  siły  roboczej  wynosi  odpowiednio  r   i  w . 
Wykonaj stosowne obliczenia dla 

100,

5,

1

C

r

w

=

=

=

. 

Zadanie  8.  Załóż,  że  funkcją  użyteczności  Adama  jest 

1

2

U

X X

=

,  gdzie 

i

X   –  wielkość  spożycia  dobra  i-tego  (

1, 2

i

=

).  Wyprowadź  marshallowskie  funkcje  popytu  konsumpcyjnego  wiedząc,  że  ograniczeniem  budżetowym 

Adama jest 

1

1

2

2

p X

p X

Y

+

=

, gdzie 

i

p  – cena jednostkowa i-tego dobra (zł),  Y  – ilość pieniądza (zł).  

1.

 

Wyznacz wielkości popytu na oba dobra dla 

1

2

5,

2

p

p

=

=

 oraz 

100.

Y

=

 

2.

 

Pokaż o ile zmieni się popyt Adama na i-te dobro z zadania 1, gdy: 

a.

 

cena jednostkowa j-tego dobra (

1, 2

j

=

) zmieni się o 

j

dp , ceteris paribus; 

b.

 

dochód Adama  zmieni się o 

dY , ceteris paribus. 

3.

 

Pokaż o ile zmieni się popyt Adama na i-te dobro z zadania 1, gdy obie ceny jednostkowe oraz jego dochód 
zmienią się t razy.