FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

 

Zad.1. Wyznaczyć dziedzinę oraz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji: 

a) 

 

y

x

y

x

f



,

 

 

 

 

b) 

 

y

x

y

x

f



,

 

 

 

c) 

 

y

xe

y

x

f





,

 

 

 

 

d) 

 

y

x

xy

arctg

y

x

f







1

,

 

 

 

e) 

 

x

y

e

y

x

f

sin

,



 

 

 

 

f) 

 

y

e

y

x

f

xy

ln

,



 

Zad.2. Dla danych funkcji wyznaczyć dziedzinę oraz wskazane pochodne cząstkowe: 

a) 

 

2

3

,

x y

f x y

x e





,     

y

x

f

2



   

 

b) 

 

y

x

e

x

y

x

f





3

,

,    

y

x

f







3

4

 

c) 

 

















2

cos

2

,

2

y

x

y

x

f

,  



























x

f

y

f

y

  d) 

 

2

arcsin

,

x

y

y

e

y

x

f

x







,    

xy

f



 

Zad.3. (E, 2 pkt.) Sprawdzić, czy: 

a) 

 





y

x

y

e

y

x

f

x

sin

cos

,





 spełnia równanie 

x

y

f

y

x

f















2

2

, 

b) 

 

y

x

arctg

y

x

f



,

 spełnia równanie 

2

3

2

3

y

x

f

x

y

f















 

c) 





ln

x

y

z

e

e





 spełnia równanie 

2

2

2

2

2

2

z

z

z

x

y

x y













 







 





 

d) 

x

y

x

z

sin



 spełnia równanie 

z

y

z

y

x

z

x













2

2

 

e) 

xy

e

y

x

f



)

,

(

 spełnia równanie 

x

y

f

y

x

f















2

2

 

Zad.4. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:  

a) 

 

1

2

3

2

,

2

2













y

x

y

xy

x

y

x

f

 

b) 

 

3

,

2





y

x

xe

y

x

f

 

c) 

 

2

4

ln

3

ln

,

y

xy

y

x

y

x

f









   

d) 

 





2

2

2

,

y

x

e

y

x

f

y

x







 

e) 

  







2

2

2

4

1

3

,









y

x

y

x

f

 

 

f) 

 

xy

y

x

y

x

f







27

27

,

 

g) 

 

1

1

,

2









x

x

y

y

x

f

 

 

 

h) 

 

y

x

y

x

xy

y

x

f

ln

2

ln

2

,









