177
WYKŁAD Nr 13
SZEREGI FUNKCYJNE
1. SZEREG FUNKCYJNY I JEGO ZBIEŻNOŚĆ
Def.13.1. (szereg funkcyjny)
Niech będzie dany dowolny ciąg funkcyjny:
),...
(
...
),
(
),
(
),
(
3
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
n
,którego wyrazy są funkcjami
określonymi w pewnym wspólnym przedziale X.
Ciąg sum częściowych
{
}
)
(x
S
n
utworzony z wyrazów danego ciągu funkcyjnego w sposób następujący:
)
(
)
(
1
1
x
f
x
S
=
)
(
)
(
)
(
2
1
2
x
f
x
f
x
S
+
=
..........................................
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
x
S
n
n
+
+
+
+
=
tzn.
∑
=
=
n
k
k
n
x
f
x
S
1
)
(
)
(
.....................................................................
nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy go symbolem :
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
f
.
Uwaga:
Dla każdej wartości
X
∈
0
x
szereg funkcyjny
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
f
przechodzi w szereg liczbowy:
∑
∞
=
+
+
+
=
1
0
3
0
2
0
1
0
...
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
, który może być zbieżny lub rozbieżny.
Def.13.2. (obszar zbieżności)
Zbiór tych wszystkich wartości x, dla których szereg funkcyjny jest zbieżny, nazywamy obszarem
zbieżności
danego szeregu funkcyjnego.
Przykład: Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego:
∑
∞
=
−
1
n
nx
e
.
Rozwiązanie:
Mamy tutaj do czynienia z szeregiem:
...
3
2
1
+
+
+
=
−
−
−
∞
=
−
∑
x
x
x
n
nx
e
e
e
e
Aby rozwiązać postawione zadanie, musimy określić zbiór tych wszystkich wartości x, dla których dany
szereg jest zbieżny.
Zakładamy, więc, że x jest chwilowo pewną ustaloną liczbą i oznaczamy przez
)
(x
f
n
n – ty wyraz tego
szeregu (przy ustalonym x jest on szeregiem liczbowym).
Mamy wtedy:
0
)
(
,
)
(
>
=
−
x
f
e
x
f
n
nx
n
Stosujemy do tego szeregu (przy ustalonym x) znane już kryterium Cauchy’ego (patrz Wykład Nr 12).
Wówczas
x
n
nx
n
n
n
n
e
e
x
f
−
−
∞
→
∞
→
=
= lim
)
(
lim
. Zatem szereg będzie zbieżny, gdy
1
<
− x
e
, natomiast
rozbieżny, gdy
1
>
− x
e
.
178
Mamy zatem:
<
>
>
<
−
−
0
dla
1
0
dla
1
x
e
x
e
x
x
.
Dla
0
=
x
szereg funkcyjny przechodzi w szereg liczbowy: 1+1+1+...+1+..., który jest rozbieżny.
Ostatecznie, stwierdzamy, że obszarem zbieżności szeregu
∑
∞
=
−
1
n
nx
e
jest przedział
(
)
∞
+
,
0
.
Def.13.3. (suma szeregu funkcyjnego)
Sumą szeregu funkcyjnego
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
nazywamy funkcję graniczną
)
(x
S
(o ile taka istnieje dla
X
∈
x
),
do której dąży ciąg sum częściowych
{
}
)
(x
S
n
tego szeregu, gdy
∞
→
n
.
Zapisujemy to następująco:
X
∈
=
=
∞
→
∞
=
∑
x
x
S
x
S
x
S
x
f
n
n
n
n
dla
)
(
lim
)
(
gdzie
),
(
)
(
1
Def.13.4. (zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego)
Szereg
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
nazywamy jednostajnie zbieżnym na zbiorze X do sumy
)
(x
S
⇔
(
)
ε
<
−
>
∀
∈
∀
∃
>
ε
∀
)
(
)
(
0
x
S
x
S
N
n
x
N
n
X
Geometrycznie rzecz biorąc, warunek ten orzeka, że w dowolnie wąskim pasie o szerokości 2ε,
otaczającym wykres funkcji
)
(x
S
y
=
, leżą dla n > N wszystkie wykresy funkcji
)
(x
S
y
n
=
. (patrz
rysunek poniżej)
Rys. 1. Jednostajna zbieżność szeregu
Def.13.5. (zbieżność bezwzględna szeregu funkcyjnego)
Jeżeli szereg
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
jest zbieżny na zbiorze X, a ponadto zbieżny jest na tym zbiorze szereg
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
to
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
nazywamy bezwzględnie zbieżnym na zbiorze X.
ε
+
=
)
(x
S
y
)
(x
S
y
n
=
)
(x
S
y
=
ε
−
=
)
(x
S
y
x
X
y
179
Tw.13.1. (kryterium Weierstrassa)
Jeżeli istnieje taka liczba
N
∈
m
, że dla każdego
m
n
≥
i dla każdego
X
∈
x
spełniona jest nierówność
n
n
a
x
f
≤
)
(
, przy czym szereg
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
a
jest zbieżny, to
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
jest zbieżny na zbiorze X
jednostajnie i bezwzględnie.
Przykład: Wyznaczyć obszar jednostajnej zbieżności szeregu
∑
∞
=1
4
sin
n
n
nx .
Rozwiązanie:
Dla każdego
R
∈
x
zachodzi nierówność
4
4
1
sin
n
n
nx
≤
. Szereg
∑
∞
=
1
4
1
n
n
jest zbieżny (patrz szereg
Dirichleta).
Zatem z kryterium Weierstrassa
∑
∞
=
1
4
sin
n
n
nx jest zbieżny jednostajnie na zbiorze R.
Tw.13.2. (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego „wyraz po wyrazie”)
Jeżeli wyrazy szeregu
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
f
mają ciągłe pochodne
)
(x
f
n
′
na przedziale
b
a
,
, szereg
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
f
jest
zbieżny na tym przedziale, a ponadto szereg
∑
∞
=
′
1
)
(
n
n
x
f
jest jednostajnie zbieżny na
b
a
,
, to dla każdego
b
a
x
,
∈
zachodzi:
∑
∑
∞
=
∞
=
′
=
′
1
1
)
(
)
(
n
n
n
n
x
f
x
f
Tw.13.3. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego „wyraz po wyrazie”)
Jeżeli wyrazy szeregu
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
są całkowalne w sensie Riemanna na przedziale
b
a
,
oraz szereg
∑
∞
=1
)
(
n
n
x
f
jest jednostajnie zbieżny na tym przedziale, to
∑ ∫
∫ ∑
∞
=
∞
=
=
1
1
)
(
)
(
n
b
a
n
b
a
n
n
dx
x
f
dx
x
f
2. SZEREGI POTĘGOWE
Wszystkie definicje i twierdzenia dotyczące szeregów funkcyjnych obowiązują również w przypadku
szeregów potęgowych.
Def.13.6. (szereg potęgowy)
Szereg funkcyjny postaci:
(
)
∑
∞
=
−
1
0
n
n
n
x
x
a
nazywamy szeregiem potęgowym o środku
0
x
.
Liczba x oznacza zmienną rzeczywistą,
0
x
– ustaloną wartość tej zmiennej,
n
a
– współczynniki szeregu
(
R
∈
n
a
).
180
W szczególności dla
0
0
=
x
otrzymamy
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
.
Uwaga:
Definicje i twierdzenia o szeregach potęgowych podaje się zwykle dla szeregu
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
,
ponieważ szereg
(
)
∑
∞
=
−
1
0
n
n
n
x
x
a
można sprowadzić do postaci szeregu
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
przyjmując za
(
)
0
x
x
−
nową zmienną.
Def.13.7. (promień i przedział zbieżności)
Promieniem zbieżności
szeregu potęgowego
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
nazywamy liczbę R > 0, taką, że dla
R
x
<
szereg jest zbieżny, a dla
R
x
>
– rozbieżny.
Przedział
(
)
R
R
,
−
nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego. Jest to największy przedział,
wewnątrz którego szereg potęgowy jest zbieżny (bezwzględnie).
Uwaga:
Jeżeli szereg potęgowy
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
jest zbieżny dla wszystkich x, to przyjmujemy
∞
=
R
, jeżeli
jest on zbieżny tylko dla
0
=
x
, to przyjmujemy
0
=
R
.
Na krańcach przedziału zbieżności szereg może być zbieżny, bądź rozbieżny (należy to sprawdzić
podstawiając za x odpowiednio –R, R oraz badając zbieżność otrzymanych szeregów liczbowych)
Promień zbieżności szeregu potęgowego
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
wyznaczamy stosując jedno z dwóch podanych
poniżej twierdzeń.
Tw.13.4. (tw. Cauchy – Hadamarda)
Jeżeli dla szeregu potęgowego
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
istnieje granic:
λ
=
∞
→
n
n
n
a
lim
to promień zbieżności R tego
szeregu wyraża się wzorem:
(
)
∞
=
λ
=
λ
∞
∞
+
∈
λ
λ
=
dla
0
0
dla
,
0
dla
1
R
Tw.13.5. (tw. d’Alemberta)
Jeżeli dla szeregu potęgowego
∑
∞
=
1
n
n
n
x
a
istnieje granica:
λ
=
+
∞
→
n
n
n
a
a
1
lim
to promień zbieżności R tego
szeregu wyraża się wzorem:
(
)
∞
=
λ
=
λ
∞
∞
+
∈
λ
λ
=
dla
0
0
dla
,
0
dla
1
R
181
Przykład: Zbadać zbieżność szeregu potęgowego
∑
∞
=1
2
n
n
n
n
x .
Rozwiązanie:
Obliczamy promień zbieżności korzystając z Tw.2.1. i faktu, że
0
2
>
=
n
a
n
n
( )
2
2
lim
2
lim
2
1
=
=
=
λ
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Stąd
2
1
=
R
.
Zatem dany szereg jest zbieżny bezwzględnie na przedziale
−
2
1
,
2
1
, natomiast jest rozbieżny na
zbiorze
+∞
∪
−
∞
−
,
2
1
2
1
,
. Pozostała do zbadania zbieżność szeregu na krańcach
2
1
i
2
1
−
.
Dla
2
1
=
x
szereg jest szeregiem Dirichleta
∑
∞
=1
1
n
n
o wykładniku
2
1
=
α
, a więc rozbieżnym.
Dla
2
1
−
=
x
szereg jest szeregiem liczbowym naprzemiennym
( )
∑
∞
=
−
1
1
1
n
n
n
, który jest zbieżny
(warunkowo) na mocy kryterium Leibniza (patrz szeregi naprzemienne).
Odpowiedź: Szereg
∑
∞
=1
2
n
n
n
n
x jest zbieżny na przedziale
−
2
1
,
2
1
; zbieżny bezwzględnie na przedziale
−
2
1
,
2
1
, rozbieżny na zbiorze
∞
+
∪
−
∞
−
,
2
1
2
1
,
.
Tw.13.6. (o całkowaniu szeregu potęgowego)
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
, to
∑
∫ ∑
∞
=
+
∞
=
+
=
0
1
0
0
1
n
n
n
x
n
n
n
x
n
a
dt
t
a
Tw.13.7. (o różniczkowaniu szeregu potęgowego)
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
, to
∑
∑
∞
=
−
∞
=
=
′
1
1
0
n
n
n
n
n
n
x
na
x
a
182
Przykład: Określić przedział zbieżności szeregu
∑
∞
=
+
0
)
1
(
n
n
x
n
oraz znaleźć jego sumę.
Rozwiązanie:
W podanym szeregu
1
+
= n
a
n
, zatem
0
>
n
a
. Korzystając np. z Tw.13.5. możemy pominąć moduł
i wówczas mamy:
1
1
2
lim
lim
1
=
+
+
=
=
λ
∞
→
+
∞
→
n
n
a
a
n
n
n
n
. Stąd promień zbieżności
1
=
R
. Szereg jest zbieżny
bezwzględnie dla
(
)
1
,
1
−
∈
x
. Należy zbadać jeszcze zbieżność na „krańcach” przedziału zbieżności, tj.
1
−
=
x
,
1
=
x
.
Dla
1
=
x
otrzymujemy szereg liczbowy
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
⋅
+
0
0
)
1
(
1
)
1
(
n
n
n
n
n
. Szereg ten jest rozbieżny, gdyż nie
jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu, bo
+∞
=
+
=
∞
→
∞
→
)
1
(
lim
lim
n
a
n
n
n
(
0
lim
≠
∞
→
n
n
a
).
Dla
1
−
=
x
otrzymujemy szereg naprzemienny:
( )
∑
∞
=
−
⋅
+
0
1
)
1
(
n
n
n
. W tym przypadku również nie jest
spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu, więc jest on rozbieżny.
Stąd
∑
∞
=
+
0
)
1
(
n
n
x
n
jest zbieżny (bezwzględnie) w przedziale
(
)
1
,
1
−
.
Wyznaczymy teraz sumę tego szeregu.
I sposób: korzystając z Tw.13.7. (o różniczkowaniu szeregu potęgowego).
Jeśli
1
)
(
+
=
n
n
x
x
f
to
n
n
x
n
x
f
)
1
(
)
(
+
=
′
. Korzystając z tego faktu podany szereg możemy zapisać
następująco:
(*)
( )
′
⋅
=
′
=
′
=
+
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
0
0
1
0
1
0
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
n
Szereg
(
)
...
1
2
0
+
+
+
⋅
=
⋅
∑
∞
=
x
x
x
x
x
n
n
jest szeregiem geometrycznym zbieżnym, gdyż
x
q
x
a
=
= ,
, gdzie
1
<
x
(patrz pierwsza część zadania: wyznaczenie przedziału zbieżności).
Suma szeregu geometrycznego wyraża się następująco:
q
a
S
−
=
1
, gdy
1
<
q
.
Zatem w naszym przypadku otrzymujemy:
x
x
x
S
−
=
1
)
(
1
,
1
<
x
. Stąd wracając do (*) mamy:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
0
0
1
1
1
1
1
)
(
)
1
(
x
x
x
x
x
x
x
S
x
x
x
n
n
n
n
n
−
=
−
+
−
=
′
−
=
′
=
′
⋅
=
+
∑
∑
∞
=
∞
=
.
Ostatecznie
∑
∞
=
+
0
)
1
(
n
n
x
n
jest zbieżny dla
(
)
1
,
1
−
∈
x
i wówczas jego suma wynosi
2
)
1
(
1
)
(
x
x
S
−
=
.
II sposób: korzystając z Tw.13.6. (o całkowaniu szeregu potęgowego).
Przyjmijmy oznaczenie:
)
(
)
1
(
0
x
S
x
n
n
n
=
+
∑
∞
=
. Całkując szereg
∑
∞
=
+
0
)
1
(
n
n
x
n
otrzymujemy:
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
0
0
1
0
0
1
0 0
0
0
x
S
x
x
x
x
x
n
t
n
dt
t
n
dt
t
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
x
n
n
=
−
=
⋅
=
=
+
+
=
+
=
+
∑
∑
∑
∑ ∫
∫ ∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
∞
=
183
Suma
)
(
1
x
S
(będąca sumą szeregu geometrycznego) została wyznaczona w wyniku całkowania szeregu
∑
∞
=
+
0
)
1
(
n
n
x
n
. Stąd, aby wyznaczyć sumę tego szeregu należy zróżniczkować sumę powstałą po
scałkowaniu, tj.
)
(
)
(
1
x
S
x
S
′
=
. Otrzymujemy zatem:
(
)
(
)
2
1
0
1
1
1
)
(
)
1
(
)
(
x
x
x
x
S
x
n
x
S
n
n
−
=
′
−
=
′
=
+
=
∑
∞
=
.
Uwaga
: Korzystając z powyższego faktu możemy wyznaczyć np. sumę szeregu liczbowego
∑
∞
=
+
0
2
)
1
(
n
n
n
.
Szereg ten możemy zapisać następująco:
∑
∞
=
⋅
+
0
2
1
)
1
(
n
n
n
. Zatem
2
1
=
x
,
1
<
x
, stąd suma tego szeregu
wynosi
4
4
1
1
2
1
1
1
2
=
=
−
=
S
.
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI SZEREGÓW POTĘGOWYCH
1)
Szereg potęgowy
∑
∞
=1
n
n
n
x
a
jest bezwzględnie i jednoznacznie zbieżny wewnątrz przedziału
zbieżności, a jego suma jest funkcją ciągłą w tym przedziale.
2)
Szereg potęgowy i szereg pochodnych jego wyrazów mają te same promienie zbieżności, a więc
i te same przedziały zbieżności.
3)
Szereg potęgowy można różniczkować „wyraz po wyrazie” wewnątrz przedziału zbieżności
dowolną ilość razy, przy czym k – ta pochodna sumy danego szeregu potęgowego równa się
sumie szeregu k – tych pochodnych dla każdego x, należącego do wnętrza przedziału zbieżności.
4)
Szereg potęgowy można całkować „wyraz po wyrazie” w każdym przedziale
b
a
,
zawartym
całkowicie wewnątrz przedziału zbieżności.
SZEREG TAYLORA I MACLAURINA
Tw.13.8. (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora)
Jeżeli funkcja
)
(x
f
posiada pochodne wszystkich rzędów w pewnym otoczeniu
(
)
δ
,
0
x
Q
oraz dla
każdego
0
x
x
≠
z tego otoczenia spełniony jest warunek:
0
)
(
lim
=
∞
→
x
R
n
n
,
gdzie
( )
( ) (
)
(
)
(
)
1
,
0
,
,
!
0
0
0
∈
Θ
−
Θ
+
=
ξ
−
ξ
=
x
x
x
x
x
n
f
R
n
n
n
jest resztą wzoru Taylora, to
( )
( )
(
)
∑
∞
=
−
=
0
0
0
!
)
(
n
n
n
x
x
n
x
f
x
f
dla każdego
(
)
δ
∈
,
0
x
Q
x
Samą równość (*)
( )
( )
(
)
∑
∞
=
−
=
0
0
0
!
)
(
n
n
n
x
x
n
x
f
x
f
nazywamy rozwinięciem funkcji
)
(x
f
na
(
)
δ
,
0
x
Q
w szereg Taylora.
184
Def.13.8. (szereg Taylora i Maclaurina)
Szereg
( )
( )
(
)
∑
∞
=
−
0
0
0
!
n
n
n
x
x
n
x
f
nazywamy szeregiem Taylora funkcji
)
(x
f
na otoczeniu punktu
0
x
.
Jeżeli
0
0
=
x
to szereg Taylora nazywamy szeregiem Maclaurina, a równość (*) – rozwinięciem funkcji
w szereg Maclaurina.
Tw.13.9. (o jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy)
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest na pewnym otoczeniu punktu
0
x
sumą szeregu potęgowego
(
)
∑
∞
=
−
=
0
0
)
(
n
n
n
x
x
a
x
f
to
( )
( )
...
,
2
,
1
,
0
dla
!
0
=
=
n
n
x
f
a
n
n
Def.13.9. (iloczyn szeregów potęgowych)
Iloczynem dwóch szeregów potęgowych
:
∑
∞
=
0
n
n
n
x
a
oraz
∑
∞
=
0
n
n
n
x
b
nazywamy szereg potęgowy postaci
∑
∞
=
0
n
n
n
x
c
,
gdzie
,
0
0
0
b
a
c
=
(
)
,
0
1
1
0
1
b
a
b
a
c
+
=
(
)
,
0
2
1
1
2
0
2
b
a
b
a
b
a
c
+
+
=
...............................................,
(
)
0
1
1
0
...
b
a
b
a
b
a
c
n
n
n
n
+
+
+
=
−
dla x leżących wewnątrz przedziału zbieżności szeregów
∑
∞
=
0
n
n
n
x
a
i
∑
∞
=
0
n
n
n
x
b
.
Uwaga
: Praktycznie wymnażamy szeregi potęgowe w ten sposób, że mnożymy każdy wyraz jednego z
tych szeregów przez kolejne wyrazy drugiego szeregu, następnie grupujemy wyrazy posiadające takie
same wykładniki. Np.
2
c
jest współczynnikiem przy
2
x
wyrazu szeregu
∑
∞
=
0
n
n
n
x
c
.
Uwaga
: W zastosowaniach, przy rozwijaniu funkcji w szereg Maclaurina, najczęściej (o ile to możliwe)
pomijamy metodę bezpośrednią, tzn. stosowanie wzoru z Tw.13.8. Metoda ta wymaga, bowiem
obliczania pochodnych wysokich rzędów (prowadzi to często do skomplikowanych rachunków) oraz
wykazania, że reszta
)
(x
R
n
dąży do zera, gdy
∞
→
n
(co przedstawia nieraz poważne trudności).
Niekiedy trudności te mogą być pominięte przez zastosowanie Tw.13.9. Twierdzenie to orzeka, że
otrzymane w jakikolwiek sposób rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy o środku zero jest rozwinięciem
funkcji w szereg Maclaurina. Dla uniknięcia procesu wyznaczania pochodnych n – tego rzędu
wykorzystuje się gotowe rozwinięcia funkcji elementarnych oraz dodawanie, odejmowanie, mnożenie,
różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych.
Przykład: Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
x
x
f
ch
)
(
=
.
Rozwiązanie:
Z definicji funkcji kosinus hiperboliczny mamy:
(
)
x
x
e
e
x
−
+
=
2
1
ch
.
185
Wiedząc, że
∑
∞
=
=
0
!
n
n
x
n
x
e
dla każdego
R
∈
x
, (rozwinięcie 1 ze strony 218) otrzymujemy kolejno:
...
!
)
1
2
(
!
)
2
(
...
!
3
!
2
1
1
2
2
3
2
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
k
x
k
x
x
x
x
e
k
k
x
...
!
)
1
2
(
!
)
2
(
...
!
3
!
2
1
1
2
2
3
2
+
+
−
+
+
−
+
−
=
+
−
k
x
k
x
x
x
x
e
k
k
x
{ w rozwinięciu
x
e
zamiast x wstawiamy –x }
Stąd dodając stronami otrzymamy:
...
!
)
2
(
2
...
!
4
2
!
2
2
2
2
4
2
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
=
+
−
k
x
x
x
e
e
k
x
x
czyli
(
)
∑
∞
=
−
≡
+
+
+
+
+
=
+
0
2
2
4
2
!
)
2
(
...
!
)
2
(
...
!
4
!
2
1
2
1
n
n
k
x
x
n
x
k
x
x
x
e
e
Ostatecznie:
∑
∞
=
=
0
2
!
)
2
(
ch
n
n
n
x
x
dla każdego
R
∈
x
.
186
WZORY
PRZEDSTAWIAJĄCE
ROZWINIĘCIA
PODSTAWOWYCH
FUNKCJI
ELEMENTARNYCH W SZEREG MACLAURINA
1)
...
!
3
!
2
1
!
3
2
0
+
+
+
+
≡
=
∑
∞
=
x
x
x
n
x
e
n
n
x
dla każdego
R
∈
x
2)
( )
...
!
5
!
3
!
)
1
2
(
1
sin
5
3
0
1
2
+
+
−
≡
+
−
=
∑
∞
=
+
x
x
x
n
x
x
n
n
n
dla każdego
R
∈
x
3)
( )
...
!
4
!
2
1
!
)
2
(
1
cos
4
2
0
2
−
+
−
≡
−
=
∑
∞
=
x
x
n
x
x
n
n
n
dla każdego
R
∈
x
4)
(
)
( )
...
3
2
1
1
ln
3
2
1
1
−
+
−
≡
−
=
+
∑
∞
=
−
x
x
x
n
x
x
n
n
n
dla
(
1
,
1
−
∈
x
5)
(
)
(
)
∑
∞
=
α
+
−
α
α
+
α
+
≡
α
=
+
0
2
...
!
2
1
1
1
n
n
x
x
x
n
x
dla każdego
R
∈
x
, gdy
...
,
2
,
1
,
0
=
α
dla
(
)
1
,
1
−
∈
x
, gdy
1
−
≤
α
dla
(
1
,
1
−
∈
x
, gdy
0
1
<
α
<
−
dla
1
,
1
−
∈
x
, gdy
0
>
α
,
gdzie
(
) (
) (
)
=
∈
+
−
α
−
α
−
α
α
=
α
0
dla
1
dla
!
1
...
2
1
n
n
n
n
n
N
6)
...
1
1
1
3
2
0
+
+
+
+
≡
=
−
∑
∞
=
x
x
x
x
x
n
n
dla
(
)
1
,
1
−
∈
x
7)
...
7
5
3
1
2
)
1
(
arctg
7
5
3
1
2
0
+
−
+
−
≡
+
−
=
+
∞
=
∑
x
x
x
x
x
n
x
n
n
n
dla
1
,
1
−
∈
x
8)
...
!
)
1
2
(
...
!
5
!
3
!
)
1
2
(
sh
1
2
5
3
0
1
2
+
+
+
+
+
+
≡
+
=
+
∞
=
+
∑
k
x
x
x
x
n
x
x
k
n
n
dla każdego
R
∈
x
9)
...
!
)
2
(
...
!
4
!
2
1
!
)
2
(
ch
2
4
2
0
2
+
+
+
+
+
≡
=
∑
∞
=
k
x
x
x
n
x
x
k
n
n
dla każdego
R
∈
x