156
WYKŁAD Nr 11
CAŁKA OZNACZONA (RIEMANNA)
Niech będzie dana funkcja
)
(x
f
określona, ograniczona na przedziale domkniętym
b
a
,
.
Przedział
b
a
,
dzielimy na n podprzedziałów (niekoniecznie równych) punktami:
n
x
x
x
x
...
,
,
,
2
1
0
,
gdzie
b
x
x
x
x
x
a
n
n
=
<
<
<
<
<
=
−1
2
1
0
...
. Otrzymujemy przedziały częściowe
n
i
x
x
i
i
...,
,
2
,
1
,
,
1
=
−
o długościach odpowiednio
1
−
−
=
∆
i
i
i
x
x
x
.
Punkty
n
x
x
x
...
,
,
2
1
określają pewien podział przedziału
b
a
,
na n podprzedziałów. Podział ten
oznaczamy
n
∆ . Liczbę
{
}
n
i
x
i
n
...,
,
2
,
1
,
max
=
∆
=
δ
nazywamy średnicą podziału
n
∆ . W każdym
z przedziałów
i
i
x
x
,
1
−
obieramy dowolnie punkt
n
i
i
...,
,
2
,
1
,
=
ξ
tzn.
i
i
i
x
x
≤
ξ
≤
−1
, a następnie
obliczamy
)
(
i
f
ξ .
Tworzymy sumę
(*)
∑
=
∆
⋅
ξ
=
∆
⋅
ξ
+
+
∆
⋅
ξ
+
∆
⋅
ξ
=
n
i
i
i
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
S
1
2
2
1
1
)
(
)
(
...
)
(
)
(
Sumę (*) nazywamy sumą całkową Riemanna funkcji
)
(x
f
y
=
na przedziale
b
a
,
odpowiadającą
podziałowi
n
∆ .
i
x
∆
2
x
∆
0
x
a
=
1
x
2
x
...
1
−
i
x
i
x
b
x
n
=
x
...
)
(
n
f
ξ
)
(
i
f
ξ
)
(
2
ξ
f
)
(
1
ξ
f
)
(x
f
y
=
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
i
i
i
ξ
ξ
ξ
ξ
−
−
1
1
3
2
1
1
0
...
...
i
x
∆
y
157
Komentarz:
Każdemu podziałowi przedziału
b
a
,
odpowiada nieskończenie wiele sum całkowych (*),
gdyż punkt
i
ξ w przedziale
i
i
x
x
,
1
−
można wybrać na nieskończenie wiele sposobów. Ponadto każdej
liczbie n odpowiada nieskończenie wiele różnych podziałów przedziału
b
a
,
na n podprzedziałów.
Zatem suma
n
S
zależy nie tylko od funkcji
)
(x
f
, liczby n, ale również od podziału przedziału i wyboru
punktów pośrednich
i
ξ .
Bierzemy, zatem pod uwagę ciąg podziałów
( )
n
∆
przedziału
b
a
,
.
Ciąg
( )
n
∆
nazywamy normalnym ciągiem podziałów przedziału
b
a
,
, jeśli odpowiadający mu ciąg
ś
rednic
( )
n
δ
dąży do zera, tzn.
0
lim
=
δ
∞
→
n
n
.
Każdemu ciągowi podziałów
( )
n
∆
odpowiada, zatem ciąg sum całkowych
( )
n
S
.
Def.11.1. (całka oznaczona)
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów
( )
n
∆
przedziału
b
a
,
odpowiadający mu ciąg sum
całkowych
( )
n
S
jest zbieżny do granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich
i
ξ , to tą
granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji
)
(x
f
na przedziale
b
a
,
, a oznaczamy
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:
∫
∑
=
→
δ
∆
⋅
ξ
=
b
a
n
i
i
i
x
f
dx
x
f
n
1
0
)
(
lim
)
(
Liczba a to dolna granica całkowania, liczba b – górna granica całkowania, przedział
b
a
,
– przedział
całkowania.
Fakt
: Jeśli funkcja
)
(x
f
jest ciągła na
b
a
,
to jest całkowalna na
b
a
,
.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Niech
)
(x
f
y
=
będzie funkcją ciągłą na
b
a
,
i
b
a
x
x
f
,
0
)
(
∈
≥
to
∫
b
a
dx
x
f
)
(
przedstawia pole
obszaru płaskiego D.
Uwaga: Jeśli
0
)
(
≤
x
f
to
∫
−
=
b
a
dx
x
f
D
)
(
.
y
∫
=
b
a
dx
x
f
D
)
(
x
)
(x
f
y
=
a
b
158
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ
Niech funkcje
)
(
i
)
(
x
g
x
f
całkowalne w rozważanych przedziałach.
Wówczas:
1.
∫
∫
−
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
2.
∫
∫
=
⋅
b
a
b
a
dx
x
f
A
dx
x
f
A
)
(
)
(
, gdzie A – dowolna stała
3.
[
]
∫
∫
∫
±
=
±
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
4.
∫
∫
∫
∈
+
=
c
a
b
c
b
a
b
a
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
,
,
)
(
)
(
)
(
Tw.11.1. (twierdzenie Newtona – Leibniza)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
b
a
,
oraz
)
(x
F
jest dowolną funkcją pierwotną funkcji
)
(x
f
na przedziale
b
a
,
to
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a
−
=
=
∫
Przykład:
2
1
2
1
1
6
sin
2
sin
sin
cos
2
6
2
6
=
−
=
π
−
π
=
=
π
π
π
π
∫
x
dx
x
Tw.11.2. (tw. całkowe o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
b
a
,
to istnieje taki punkt
b
a
c
,
∈
, że
∫
−
=
b
a
dx
x
f
a
b
c
f
)
(
1
)
(
Tw.11.3. (tw. o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych)
Jeśli
)
(
i
)
(
x
g
x
f
mają ciągłe pochodne
)
(
),
(
x
g
x
f
′
′
na przedziale
b
a
,
to
∫
∫
⋅
′
−
⋅
=
′
⋅
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Przykład:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
ln
)
(
1
)
(
1
)
(
ln
)
(
ln
2
2
2
2
e
e
e
e
e
x
e
e
dx
x
x
x
x
g
x
x
f
x
g
x
x
f
dx
x
e
e
e
e
e
e
e
e
=
−
−
−
=
−
−
=
−
=
=
=
′
=
′
=
=
∫
∫
159
Tw.11.4. (tw. o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznaczonych)
Jeśli funkcja
)
(x
g
t
=
ma ciągłą pochodną
)
(x
g ′
na przedziale
b
a
,
i przekształca go na zbiór T, na
którym określona jest funkcja ciągła
)
(t
f
, a ponadto
β
=
α
=
)
(
,
)
(
b
g
a
g
, to
[
]
∫
∫
β
α
=
′
⋅
dt
t
f
dx
x
g
x
g
f
b
a
)
(
)
(
)
(
Przykład:
(
)
∫
∫
∫
=
−
−
=
⋅
−
=
−
=
−
⋅
=
−
=
=
−
=
−
=
−
0
1
0
1
0
1
2
1
2
1
0
2
3
1
1
0
3
1
3
2
2
1
2
1
2
1
0
1
1
0
2
1
2
1
1
t
t
dt
t
dt
t
t
x
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
x
x
ZASTOSOWANIE CAŁEK OZNACZONYCH
A) POLE OBSZARU PŁASKIEGO
1. Pole
D
obszaru płaskiego D ograniczonego łukiem krzywej o równaniu
)
(x
f
y
=
,
b
a
x
,
∈
oraz
osią OX wyraża się wzorem:
∫
=
b
a
dx
x
f
D
)
(
Przykład: Obliczyć pole obszaru ograniczonego linią łańcuchową
)
0
(
,
ch
>
=
a
a
x
a
y
, osią OX oraz
prostymi:
a
x
x
=
= ,
0
.
)
(x
f
y
=
x
y
a
b
x
a
x
a
y
ch
=
a
y
0
160
Rozwiązanie:
=
=
∫
dx
a
x
a
D
a
0
ch
{możemy opuścić moduł, gdyż
a
x
,
0
∈
∀
funkcja
a
x
a
x
f
ch
)
(
=
przyjmuje tylko
wartości dodatnie}
∫
∫
∫
=
=
→
=
=
=
=
=
1
0
0
0
ch
1
0
0
1
ch
ch
adt
t
a
a
t
x
adt
dx
dt
dx
a
t
a
x
dx
a
x
a
dx
a
x
a
a
a
=
(
)
e
e
a
e
e
a
a
a
t
a
dt
t
a
2
1
2
1
sh
0
sh
1
sh
sh
ch
2
2
1
2
2
2
1
0
2
1
0
2
−
=
−
=
=
−
=
=
=
−
∫
.
Ostatecznie:
0
,
2
1
2
2
>
−
=
a
e
e
a
D
.
2. Jeśli funkcja
)
(x
f
y
=
ciągła na przedziale
b
a
,
dana jest parametrycznie:
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
=
=
, gdzie
β
α
∈
,
t
, przy czym
b
x
a
x
=
β
=
α
)
(
,
)
(
, funkcje
)
(
),
(
t
y
t
x
oraz dodatnia pochodna
)
(t
x′
są ciągłe na
przedziale
β
α,
to pole figury płaskiej ograniczonej tą krzywą i osią odciętych wyraża się wzorem:
∫
β
α
′
⋅
=
dt
t
x
t
y
D
)
(
)
(
Jeśli
)
(t
x′
jest ujemna (tzn.
)
(t
x
jest funkcją malejącą) to
∫
β
α
′
⋅
−
=
dt
t
x
t
y
D
)
(
)
(
3. Jeśli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych:
2
1
,
),
(
ϕ
ϕ
∈
ϕ
ϕ
= r
r
, przy czym
)
(
ϕ
r
jest
ciągła w
2
1
,
ϕ
ϕ
i nieujemna oraz
π
≤
ϕ
−
ϕ
2
1
2
to pole wycinka AOB ograniczonego łukiem krzywej
AB
i dwoma promieniami wodzącymi OA i OB odpowiednio o równaniach
1
ϕ
=
ϕ
,
2
ϕ
=
ϕ
wyraża się
wzorem:
[
]
∫
=
2
1
2
)
(
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
r
D
ϕ
B
A
O
1
ϕ
2
ϕ
161
B) DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ
1. Długość łuku L krzywej danej równaniem
)
(x
f
y
=
, gdzie
b
a
x
,
∈
, funkcja
)
(x
f
ma ciągłą
pochodną w
b
a
,
określona jest wzorem:
[
]
dx
x
f
L
b
a
∫
′
+
=
2
)
(
1
Wyrażenie
[
]
dx
x
f
dL
2
)
(
1
′
+
=
nazywamy różniczką długości łuku krzywej
)
(x
f
y
=
.
2. Długość łuku krzywej danej równaniami parametrycznymi:
β
α
∈
=
=
,
)
(
)
(
t
t
y
y
t
x
x
, gdy funkcje
)
(
),
(
t
y
t
x
mają ciągłe pochodne
β
α,
, które nie znikają jednocześnie w żadnym punkcie tego przedziału
tzn.
[
]
[
]
0
)
(
)
(
2
2
>
′
+
′
t
y
t
x
, wyraża się wzorem:
[
]
[
]
dt
t
y
t
x
L
∫
β
α
′
+
′
=
2
2
)
(
)
(
Wyrażenie
[
]
[
]
dt
t
y
t
x
dL
2
2
)
(
)
(
′
+
′
=
nazywamy różniczką długości łuku krzywej danej parametrycznie.
3. Długość łuku krzywej określonej równaniem biegunowym:
2
1
,
),
(
ϕ
ϕ
∈
ϕ
ϕ
= r
r
, gdy
)
(
ϕ
r
ma ciągłą
pochodną w
2
1
,
ϕ
ϕ
wyraża się wzorem:
[
]
[
]
ϕ
ϕ
′
+
ϕ
=
∫
ϕ
ϕ
d
r
r
L
2
1
2
2
)
(
)
(
Wyrażenie
[
]
[
]
ϕ
ϕ
′
+
ϕ
=
d
r
r
dL
2
2
)
(
)
(
nazywamy różniczką długości łuku krzywej danej równaniem
biegunowym.
Przykład: Obliczyć długość łuku krzywej danej równaniem
3
4
,
4
3
,
6
∈
ϕ
ϕ
=
r
.
Rozwiązanie:
Obliczamy:
[
]
2
2
36
)
(
ϕ
=
ϕ
r
oraz
2
6
)
(
ϕ
−
=
ϕ
′
r
, stąd
[
]
4
2
36
)
(
ϕ
=
ϕ
′
r
.
Wstawiamy do wzoru i otrzymujemy:
ϕ
+
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
∫
∫
∫
d
d
d
L
3
4
4
3
2
2
3
4
4
3
4
2
3
4
4
3
4
2
1
1
6
1
36
36
36
=
{wykorzystujemy wzór:
(
)
C
d
+
+
+
+
+
−
=
+
∫
1
ln
1
1
1
1
2
2
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
} =
162
(
)
2
3
ln
2
5
2
ln
3
5
3
ln
4
5
6
4
5
4
3
ln
4
5
3
4
3
5
3
4
ln
3
5
4
3
6
1
4
3
4
3
ln
1
4
3
3
4
1
3
4
3
4
ln
1
3
4
4
3
6
1
ln
1
1
6
2
2
2
2
3
4
4
3
2
2
+
=
−
+
+
−
=
+
−
⋅
+
+
+
⋅
−
=
=
+
+
−
+
+
+
+
+
+
−
=
=
+
+
+
+
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Ostatecznie otrzymujemy:
2
3
ln
2
5
+
=
L
.
C) OBJĘTOŚĆ BRYŁ OBROTOWYCH
1. Jeśli funkcja
)
(x
f
y
=
ciągła i nieujemna na przedziale
b
a
,
to objętość bryły powstałej przez obrót
dookoła osi OX obszaru ograniczonego tą krzywą, prostymi
b
x
a
x
=
= ,
oraz osią OX określona jest
wzorem:
∫
π
=
b
a
dx
x
f
V
)
(
2
2. Jeśli funkcja dana jest parametrycznie:
β
α
∈
=
=
,
),
(
),
(
t
t
y
y
t
x
x
, to objętość bryły obrotowej
wyraża się wzorem:
[
]
0
)
(
,
)
(
)
(
2
≥
′
′
⋅
π
=
∫
β
α
t
x
dt
t
x
t
y
V
[
]
0
)
(
,
)
(
)
(
2
≤
′
′
⋅
π
−
=
∫
β
α
t
x
dt
t
x
t
y
V
Przykład: Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi OX cykloidy danej równaniem:
(
)
(
)
π
2
,
0
,
cos
1
2
,
sin
2
∈
−
=
−
=
t
t
y
t
t
x
.
)
(x
f
y
=
x
y
a
b
163
Rozwiązanie:
Obliczamy
)
cos
1
(
2
)
(
t
t
x
−
=
′
. Zatem
0
)
(
2
,
0
≥
′
π
∈
∀
t
x
t
.
(
)
[
]
=
−
+
−
=
=
−
+
−
=
−
=
=
−
⋅
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
0
2
0
2
0
3
2
2
0
2
0
3
2
2
0
3
2
0
2
cos
cos
3
cos
3
8
)
cos
cos
3
cos
3
1
(
8
)
cos
1
(
8
)
cos
1
(
2
cos
1
2
dt
t
dt
t
dt
t
dt
dt
t
t
t
dt
t
dt
t
t
V
=
⋅
−
+
+
−
=
∫
π
π
π
π
π
2
0
2
2
0
2
0
2
0
cos
cos
2
sin
4
1
2
1
3
sin
3
8
dt
t
t
t
t
t
t
(**)
Obliczamy całkę:
(
)
(
)
0
sin
3
1
sin
2
cos
sin
cos
2
cos
sin
1
2
cos
sin
1
cos
cos
0
3
0
0
2
0
0
2
2
0
2
2
0
2
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
t
t
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
Zatem wracając do całki wyjściowej mamy: (**)
(
)
2
40
0
3
0
2
8
π
=
−
π
+
−
π
π
=
Ostatecznie objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi OX cykloidy wynosi
2
40
π
.
D) POLE POWIERZCHNI OBROTOWEJ
1. Pole powierzchni obrotowej (będącej powierzchnią boczną bryły powstałej przez obrót wokół osi OX
obszaru ograniczonego krzywą
)
(x
f
y
=
, prostymi
b
x
a
x
=
= ,
oraz osią OX określona jest wzorem:
[
]
0
)
(
,
)
(
1
)
(
2
2
≥
′
+
=
∫
x
f
dx
x
f
x
f
S
b
a
π
2. Pole powierzchni obrotowej, jeśli krzywa dana jest parametrycznie wyraża się wzorem:
[
]
[
]
dt
t
y
t
x
t
y
S
∫
′
+
′
=
β
α
π
2
2
)
(
)
(
)
(
2
x
4
π
2
π
4
y
164
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
Def.11.2. (całka niewłaściwa I – go rodzaju – w obszarze nieograniczonym)
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w
∞
+
,
a
oraz istnieje skończona granica:
∫
β
+∞
→
β
a
dx
x
f
)
(
lim
to granicę tę
nazywamy całką niewłaściwą na
∞
+
,
a
i oznaczamy
∫
∫
β
+∞
→
β
+∞
=
a
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
Jeśli
∫
β
+∞
→
β
a
dx
x
f
)
(
lim
jest niewłaściwa lub nie istnieje to mówimy że
∫
+∞
a
dx
x
f
)
(
jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy:
•
całkę niewłaściwą I – go rodzaju na
b
,
∞
−
:
∫
∫
α
−∞
→
α
∞
−
=
b
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
•
całkę niewłaściwą I – go rodzaju na
∞
+
∞
− ,
:
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+
=
c
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
(
)
∞
+
∞
−
∈
,
c
Przykład:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
β
+∞
→
β
α
−∞
→
α
+∞
∞
−
+∞
∞
−
0
2
0
2
0
2
0
2
2
1
1
lim
1
1
lim
1
1
1
1
1
1
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
(
)
(
)
π
=
π
+
π
−
−
=
−
β
+
α
−
=
+
=
+∞
→
β
−∞
→
α
β
+∞
→
β
α
−∞
→
α
2
2
0
arctg
lim
arctg
0
lim
arctg
lim
arctg
lim
0
0
x
x
Wniosek:
∫
+∞
∞
−
+
dx
x
2
1
1
jest zbieżna.
Def.11.3. (całka niewłaściwa II – go rodzaju – z funkcji nieograniczonej)
Jeżeli funkcja
)
(x
f
jest ciągła w
)
b
a
,
,
±∞
=
−
→
)
(
lim
x
f
b
x
oraz istnieje skończona granica:
∫
ε
−
→
ε
+
b
a
dx
x
f
)
(
lim
0
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą II – go rodzaju i oznaczamy
∫
∫
ε
−
→
ε
+
=
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
0
Punkt b jest punktem osobliwym funkcji.
y
a
b
x
)
(x
f
y
=
165
Analogicznie definiujemy całkę z funkcji ciągłej w przedziale
(
b
a
,
∫
∫
ε
+
→
ε
+
=
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
0
Gdy punkt osobliwy
c
leży wewnątrz przedziału
b
a
,
to całkę niewłaściwą definiujemy następująco:
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Przykład: Zbadać zbieżność całek: a)
∫
−
1
0
2
1
dx
x
x
b)
(
)
∫
−
2
0
2
1
x
dx
.
Rozwiązanie:
a)
∫
−
1
0
2
1
dx
x
x
Wyznaczamy dziedzinę funkcji podcałkowej:
0
1
2
>
− x
Zatem
0
)
1
)(
1
(
>
+
−
x
x
Dziedzina funkcji podcałkowej:
(
)
1
,
1
−
∈
x
Funkcja podcałkowa
2
1
)
(
x
x
x
f
−
=
jest ciągła w
)
1
,
0
oraz
+∞
=
=
−
+
→
−
0
1
1
lim
2
1
x
x
x
(
)
(
)
1
1
0
1
1
1
lim
1
2
2
1
lim
1
2
2
1
lim
1
lim
1
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
=
−
−
=
−
−
−
−
=
=
−
⋅
−
=
−
−
−
=
−
=
−
+
+
+
+
→
−
→
−
→
−
→
∫
∫
∫
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
Wniosek: Całka
∫
−
1
0
2
1
dx
x
x
jest zbieżna.
b)
(
)
∫
−
2
0
2
1
x
dx
Dziedzina funkcji podcałkowej:
0
1
≠
−
x
czyli
1
≠
x
.
Zatem punkt
1
=
x
jest punktem osobliwym funkcji podcałkowej, punkt ten leży wewnątrz przedziału
2
,
0
oraz
(
)
∞
=
=
−
→
0
1
1
1
lim
2
1
x
x
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+∞
=
∞
+
+∞
=
+
−
+
−
+
−
−
=
−
−
+
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
+
+
+
+
+
→
→
+
→
−
→
+
→
−
→
∫
∫
∫
∫
∫
2
0
1
0
2
1
0
1
0
0
2
1
2
0
1
0
2
0
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1
1
1
lim
1
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
Wniosek:
(
)
∫
−
2
0
2
1
x
dx
jest rozbieżna.
x
1
−
1
+