127
WYKŁAD Nr 9
CAŁKI NIEOZNACZONE
PODSTAWOWE POJĘCIA I TWIERDZENIA
Def.9.1. (funkcja pierwotna)
Niech F będzie funkcją różniczkowalną. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X,
jeżeli
)
(
)
(
x
f
x
F
=
′
dla
X
x ∈
.
Przykłady funkcji pierwotnych :
a)
Dla funkcji
2
)
(
x
x
f
=
na zbiorze R funkcjami pierwotnymi są m.in. funkcje:
2
3
3
3
1
bo
3
1
)
(
x
x
x
x
F
=
′
=
;
2
3
3
7
3
1
bo
7
3
1
)
(
x
x
x
x
F
=
′
+
+
=
b)
Dla funkcji
2
1
1
)
(
x
x
f
−
=
na przedziale
(
)
1
,
1
−
funkcjami pierwotnymi są m.in. funkcje:
(
)
2
1
1
arcsin
1
bo
arcsin
1
)
(
x
x
x
x
F
−
=
′
+
+
=
;
(
)
2
1
1
arccos
5
bo
arccos
5
)
(
x
x
x
x
F
−
=
′
−
−
=
Tw.9.1. (podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X. Wtedy:
a)
funkcja
R
∈
+
=
C
C
x
F
x
G
gdzie
,
)
(
)
(
, jest funkcją pierwotną funkcji f na X
b)
każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale X można przedstawić w postaci
R
∈
+
C
C
x
F
,
)
(
Def.9.2. (funkcja całkowalna)
Funkcję f, która posiada na pewnym przedziale funkcję pierwotną nazywamy funkcją
całkowalną
(w sensie Newtona) na tym przedziale.
Tw.9.2.
Każda funkcja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Def.9.3. (całka nieoznaczona)
Całką nieoznaczoną
funkcji f na przedziale X nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych, a
oznaczamy przez
∫
dx
x
f
)
(
.
∫
∈
+
=
R
C
C
x
F
dx
x
f
,
)
(
)
(
F
(x) – funkcja pierwotna funkcji f
f
(x) – funkcja podcałkowa
x
– zmienna całkowania
C
– stała całkowania
128
Uwaga: Wykres dowolnej funkcji pierwotnej
)
(x
F
funkcji
)
(x
f
nazywa się krzywą całkową. Danej
funkcji
)
(x
f
odpowiada nieskończenie wiele krzywych całkowych. Wszystkie krzywe całkowe danej
funkcji możemy otrzymać z jednej z nich za pomocą przesunięcia równoległego o wektor równoległy do
osi OY.
Poniższy rysunek przedstawia niektóre krzywe całkowe pewnej funkcji f.
CAŁKI NIEOZNACZONE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
1)
∫
∈
=
R
x
C
dx
,
0
2)
{ }
∫
>
−
∈
+
+
=
+
0
,
1
\
,
1
1
x
C
x
dx
x
R
α
α
α
α
3)
∫
≠
+
=
0
,
ln
1
x
C
x
dx
x
4)
∫
∈
≠
>
+
=
R
x
a
a
C
a
a
dx
a
x
x
,
1
,
0
,
ln
5)
∫
∈
+
=
R
x
C
e
dx
e
x
x
,
6)
∫
∈
+
−
=
R
x
C
x
xdx
,
cos
sin
7)
∫
∈
+
=
R
x
C
x
xdx
,
sin
cos
8)
∫
∈
+
≠
+
=
,
,
2
,
tg
cos
1
2
Z
Z
k
k
x
C
x
dx
x
π
π
- zbiór liczb całkowitych
9)
∫
∈
≠
+
−
=
,
,
ctg
sin
1
2
Z
k
k
x
C
x
dx
x
π
10)
∫
∈
+
=
+
,
arctg
1
1
2
R
x
C
x
dx
x
11)
∫
<
+
=
−
1
,
sin
arc
1
1
2
x
C
x
dx
x
12)
∫
∈
+
=
R
x
C
x
xdx
,
ch
sh
13)
∫
∈
+
=
R
x
C
x
xdx
,
sh
ch
14)
∫
∈
+
=
,
th
ch
1
2
R
x
C
x
dx
x
15)
∫
≠
+
−
=
0
,
cth
sh
1
2
x
C
x
dx
x
y= F
(x)+A
y= F
(x)
y= F
(x)+B
y= F(x)+C
X
x
y
129
Przykłady całek nieoznaczonych:
a)
∫
+
=
+
+
=
+
C
x
C
x
dx
x
6
1
5
6
1
5
5
b)
∫
+
=
C
dx
x
x
5
ln
5
5
c)
∫
∫
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
=
−
+
−
−
C
x
C
x
C
x
dx
x
dx
x
4
4
1
5
5
5
4
1
4
1
5
1
d)
∫
∫
+
=
+
=
+
+
=
=
+
C
x
x
C
x
C
x
dx
x
dx
x
5
5
6
1
5
1
5
1
5
6
5
5
6
1
5
1
e)
C
x
C
x
C
x
dx
x
dx
x
+
=
+
=
+
+
−
=
=
∫
∫
+
−
−
5
4
5
4
1
5
1
5
1
5
4
5
5
4
1
5
1
1
Bezpośrednio z Def.9.3. wynikają dwa proste twierdzenia:
Tw.9.3. (o pochodnej całki)
Pochodna całki nieoznaczonej jest równa funkcji podcałkowej tzn.
(
)
)
(
)
(
x
f
dx
x
f
=
′
∫
Tw.9.4. (o całce pochodnej)
Całka nieoznaczona pochodnej funkcji jest sumą tej funkcji i dowolnej stałej tzn.
∫
+
=
′
C
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
Tw.9.5. (o działaniach na całkach nieoznaczonych)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w pewnym przedziale X (tzn. mają funkcje pierwotne na X), to funkcje
,
,
,
f
A
g
f
g
f
⋅
−
+
gdzie A dowolna stała, są całkowalne w X, przy czym dla każdego
X
x ∈
:
1)
[
]
∫
∫
∫
+
=
+
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
2)
[
]
∫
∫
∫
−
=
−
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
3)
∫
∫
=
⋅
dx
x
f
A
dx
x
f
A
)
(
)
(
Tw.9.6. (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne w pewnym przedziale X, to
(∗)
∫
∫
⋅
′
−
⋅
=
′
⋅
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Wzór (∗) nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
Wzór ten wymaga wydzielenia z funkcji pod całką lewej strony czynnika, dla którego funkcja pierwotna
(całka) jest znana.
130
Uzasadnienie wzoru (∗) z Tw.9.6.
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
{wzór na pochodną iloczynu}
[
]
∫
∫
∫
∫
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
czyli
[
]
∫
∫
∫
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ale z drugiej strony
[
]
∫
⋅
=
′
⋅
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
{na podstawie Tw.9.4.}
zatem mamy:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
⋅
=
′
⋅
+
⋅
′
∫
∫
stąd po przeniesieniu
dx
x
g
x
f
∫
⋅
′
)
(
)
(
na drugą stronę otrzymujemy:
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
∫
∫
⋅
′
−
⋅
=
′
⋅
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Przykłady całkowania przez części:
a)
(
)
(
)
∫
∫
∫
=
+
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
=
′
=
′
=
=
⋅
xdx
x
x
dx
x
x
x
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
xdx
x
cos
cos
cos
1
cos
cos
)
(
1
)
(
sin
)
(
)
(
sin
C
x
x
x
+
+
−
=
sin
cos
b)
=
+
−
=
−
=
⋅
−
⋅
=
=
=
′
=
′
=
=
⋅
=
∫
∫
∫
∫
C
x
x
x
dx
x
x
xdx
x
x
x
x
x
g
x
x
f
x
g
x
x
f
xdx
xdx
ln
ln
1
ln
)
(
1
)
(
1
)
(
ln
)
(
ln
1
ln
C
x
x
+
−
=
)
1
(ln
c)
(
)
(
)
∫
∫
∫
=
+
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
=
′
=
′
=
=
xdx
e
x
e
dx
x
e
x
e
x
x
g
e
x
f
x
x
g
e
x
f
xdx
e
x
x
x
x
x
x
x
cos
cos
cos
cos
cos
)
(
)
(
sin
)
(
)
(
sin
∫
−
+
−
=
=
=
′
=
′
=
=
xdx
e
x
e
x
e
x
x
g
e
x
f
x
x
g
e
x
f
x
x
x
x
x
sin
sin
cos
sin
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
całkując dwukrotnie przez części otrzymaliśmy po prawej stronie nieznaną całkę, w celu jej wyznaczenia
zapisujemy następującą równość:
∫
∫
−
+
−
=
xdx
e
x
e
x
e
xdx
e
x
x
x
x
sin
sin
cos
sin
przenosimy nieznaną
∫
dx
x
e
x
sin
na jedną stronę, wówczas:
x
e
x
e
xdx
e
x
x
x
sin
cos
sin
2
+
−
=
∫
dzieląc przez 2 mamy:
C
x
x
e
xdx
e
x
x
+
+
−
=
∫
)
sin
cos
(
2
1
sin
131
Tw.9.7. (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeśli funkcja
)
(x
g
t =
jest różniczkowalna w przedziale
(
)
d
c
,
oraz
(
)
(
)
b
a
d
c
g
,
,
:
→
, funkcja
)
(t
f
jest
całkowalna w przedziale (a, b),to zachodzi następująca równość
(∗∗)
[
]
∫
∫
=
′
⋅
dt
t
f
dx
x
g
x
g
f
)
(
)
(
)
(
dla
)
(x
g
t =
Wzór (∗∗) nazywamy wzorem na całkowanie przez podstawienie (zamianę zmiennych).
Uwaga: Z Tw.9.7. wynika, że w praktyce możemy korzystać z dwóch wzorów:
(1)
[
]
∫
∫
=
=
′
=
=
′
⋅
dt
t
f
dt
dx
x
g
t
x
g
dx
x
g
x
g
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lub
(2)
[
]
∫
∫
′
⋅
=
′
=
=
=
dt
t
h
t
h
f
dt
t
h
dx
t
h
x
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Który z podanych wzorów zastosujemy, zależeć będzie od funkcji podcałkowej. Należy tutaj kierować się
zasadą, że podstawienie ma całkę upraszczać.
Przykłady całkowania przez podstawienie:
a)
(
)
(
)
C
x
C
t
dt
t
dt
t
dt
dx
dt
dx
t
x
dx
x
+
+
=
+
⋅
=
=
⋅
=
=
=
=
+
=
+
∫
∫
∫
8
8
7
7
7
5
2
16
1
8
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
2
5
2
b)
C
e
C
e
dt
e
dt
dx
x
t
x
dx
x
e
dx
x
e
x
t
t
x
x
+
=
+
=
=
=
+
=
=
+
⋅
=
+
∫
∫
∫
arctg
2
2
arctg
2
arctg
1
1
arctg
1
1
1
c)
∫
∫
∫
∫
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
C
x
C
t
dt
t
dt
t
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
x
x
xdx
cos
ln
ln
1
)
(
1
sin
sin
cos
cos
sin
tg
d)
∫
∫
∫
=
=
⋅
=
=
=
=
=
dt
te
dt
t
e
tdt
dx
t
x
t
x
dx
e
t
t
x
2
2
2
2
{całkujemy przez części pamiętając, że zmienną jest teraz t}
=
[
]
(
)
C
e
e
x
C
e
te
dt
e
te
e
t
g
t
f
e
t
g
t
t
f
x
x
t
t
t
t
t
t
+
−
⋅
=
+
−
=
−
=
=
=
′
=
′
=
∫
2
)
(
2
2
)
(
1
)
(
)
(
)
(
132
CAŁKI WAŻNIEJSZYCH TYPÓW FUNKCJI
Korzystając z metody całkowania przez podstawienie można wyprowadzić następujące wzory:
1.
0
)
(
,
)
(
ln
)
(
)
(
≠
+
=
′
∫
x
f
C
x
f
dx
x
f
x
f
2.
0
)
(
,
)
(
1
)
(
)
(
2
≠
+
−
=
′
∫
x
f
C
x
f
dx
x
f
x
f
3.
{ }
∫
∪
∈
+
+
=
′
⋅
+
0
,
1
)
(
)
(
)
(
1
N
m
C
m
x
f
dx
x
f
x
f
m
m
4.
∫
>
+
=
′
0
)
(
,
)
(
2
)
(
)
(
x
f
C
x
f
dx
x
f
x
f
5.
∫
∈
+
=
′
f
x
f
x
f
D
x
C
e
dx
x
f
e
,
)
(
)
(
)
(
Aby uzasadnić te wzory, wystarczy zastosować podstawienie
dt
dx
x
f
t
x
f
=
′
=
)
(
,
)
(
.
Otrzymamy wtedy odpowiednio:
Ad.1.
∫
∫
+
=
+
=
=
′
C
x
f
C
t
dt
t
dx
x
f
x
f
)
(
ln
ln
1
)
(
)
(
Ad.2.
∫
∫
+
−
=
+
−
=
=
′
C
x
f
C
t
dt
t
dx
x
f
x
f
)
(
1
1
1
)
(
)
(
2
2
Ad.3.
∫
∫
+
+
=
+
+
=
=
′
⋅
+
+
C
m
x
f
C
m
t
dt
t
dx
x
f
x
f
m
m
m
m
1
)
(
1
)
(
)
(
1
1
Ad.4.
∫
∫
∫
+
=
+
=
+
=
=
=
′
−
C
x
f
C
t
C
t
dt
t
dt
t
dx
x
f
x
f
)
(
2
2
2
1
1
)
(
)
(
2
1
2
1
Ad.5.
∫
∫
+
=
+
=
=
′
C
e
C
e
dt
e
dx
x
f
e
x
f
t
t
x
f
)
(
)
(
)
(
Przykłady zastosowania tych wzorów:
a)
(
)
C
e
dx
e
e
dx
e
e
x
x
x
x
x
+
+
=
+
′
+
=
+
∫
∫
1
ln
1
1
1
b)
(
)
∫
∫
∫
+
−
=
′
=
=
C
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
ln
1
ln
ln
ln
1
ln
2
2
2
133
c)
(
) (
)
∫
∫
+
=
′
⋅
=
C
x
dx
x
x
xdx
x
6
sin
sin
sin
cos
sin
6
5
5
d)
(
)
C
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
=
+
+
′
+
+
=
+
+
+
∫
∫
7
5
2
2
7
5
2
7
5
2
7
5
2
5
4
2
2
2
2
e)
(
)
∫
∫
∫
+
=
′
⋅
=
⋅
=
C
e
dx
x
e
dx
x
e
dx
x
e
x
x
x
x
tg
tg
2
tg
2
tg
tg
cos
1
cos
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Def.9.4. (funkcja wymierna, funkcja wymierna właściwa i niewłaściwa)
Funkcją wymierną
nazywamy iloraz dwóch wielomianów:
)
(
)
(
)
(
x
M
x
L
x
W
k
n
=
,
gdzie
)
(x
L
n
– wielomian stopnia n,
)
(x
M
k
– wielomian stopnia k.
Gdy
k
n <
(stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku) wtedy
funkcję wymierną nazywamy właściwą, gdy
k
n ≥
– niewłaściwą.
Przykład funkcji wymiernej właściwej i niewłaściwej:
a)
8
3
2
3
5
)
(
2
4
+
+
+
=
x
x
x
x
W
– funkcja wymierna właściwa
b)
6
4
3
)
(
3
7
+
+
+
=
x
x
x
x
x
Q
– funkcja wymierna niewłaściwa.
Uwaga: Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej
właściwej.
Przykład: Funkcję
1
2
)
(
3
+
+
=
x
x
x
P
zapisać w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
Rozwiązanie:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
1
43
42
1
wlasciwa
wymierna
funkcja
2
st.
wielomian
2
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
⋅
+
=
+
+
+
−
⋅
+
=
+
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Uwaga: Można również wydzielić wielomian z licznika przez wielomian z mianownika, a następnie
podaną funkcję przedstawić w wymaganej postaci.
134
Def.9.5. (ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju)
Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju
nazywamy funkcję wymierną właściwą postaci:
(
)
k
b
ax
A
+
,
gdzie
R
N
∈
∈
b
a
A
k
,
,
oraz
Ułamkiem prostym drugiego rodzaju
nazywamy funkcję wymierną właściwą postaci:
(
)
p
c
bx
ax
B
Ax
+
+
+
2
,
gdzie
R
N
∈
∈
c
b
a
B
A
p
,
,
,
,
oraz
, ∆ < 0,
)
4
(
2
ac
b −
=
∆
.
Uwaga: Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.
Przykład rozkładu na ułamki proste (bez obliczania współczynników rozkładu):
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
1
1
2
2
1
3
2
2
2
0
2
2
+
+
+
+
+
+
−
+
−
≡
+
+
+
−
+
<
∆
x
x
E
Dx
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
43
42
1
,
gdzie A,B,C,D,E – nieznane współczynniki rozkładu.
Aby wyliczyć te współczynniki rozkładu postępujemy następująco:
sprowadzamy prawą stronę do wspólnego mianownika,
porządkujemy licznik według potęg zmiennej x ,
porównujemy odpowiednie współczynniki przy kolejnych potęgach x z współczynnikami przy
tych samych potęgach x występujących w liczniku lewej strony,
z otrzymanego układu równań wyliczamy wszystkie nieznane współczynniki rozkładu.
ALGORYTM CAŁKOWANIA FUNKCJI WYMIERNYCH (tj. obliczania całek postaci
∫
dx
x
M
x
L
k
n
)
(
)
(
):
1. Sprawdzamy, czy
k
n ≥
? (stopień wielomianu licznika większy, bądź równy stopniowi mianownika)
Jeśli TAK dzielimy licznik przez mianownik {w wyniku dzielenia otrzymamy wielomian stopnia
(
)
k
n −
oraz resztę, w której stopień wielomianu z licznika jest niższy od stopnia wielomianu
z mianownika}
czyli
k
s
x
M
x
R
x
Q
x
M
x
L
k
s
k
n
k
n
<
+
=
−
gdzie
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
zatem
43
42
1
ej
wlasciw
wymiernej
funkcji
calka
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
∫
∫
∫
+
=
−
dx
x
M
x
R
dx
x
Q
dx
x
M
x
L
k
s
k
n
k
n
Aby obliczyć
∫
dx
x
M
x
L
k
n
)
(
)
(
musimy obliczyć całkę wielomianu oraz całkę funkcji wymiernej właściwej
(patrz punkt 2.).
Jeśli NIE zacznij algorytm od punktu 2.
135
2. Przypadek, gdy
k
s <
(stopień wielomianu w liczniku niższy niż w mianowniku).
Mianownik funkcji wymiernej właściwej
)
(
)
(
x
M
x
R
k
s
rozkładamy na czynniki liniowe oraz kwadratowe
nierozkładalne (tj. o
0
<
∆
).
3. Funkcję wymierną właściwą rozkładamy na ułamki proste (patrz przykład str. 134).
4. Wyznaczamy nieznane współczynniki tego rozkładu.
5. Obliczamy
∫
dx
x
M
x
R
k
s
)
(
)
(
jako sumę całek z otrzymanych ułamków prostych (patrz – CAŁKOWANIE
UŁAMKÓW PROSTYCH).
Uwaga: Całka funkcji wymiernej jest pewną kombinacją liniową następujących funkcji:
funkcji wymiernej
logarytmu naturalnego funkcji liniowej
logarytmu naturalnego funkcji kwadratowej o ∆ < 0
arkusatangensa funkcji liniowej
CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH
a)
(
)
∫
∫
∫
∫
+
+
=
+
′
+
=
+
=
+
=
+
C
b
ax
a
A
b
ax
dx
b
ax
a
A
b
ax
adx
a
A
b
ax
dx
A
dx
b
ax
A
ln
(patrz str. 132)
b)
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
=
+
⋅
+
−
⋅
=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
+
−
−
C
t
n
a
A
dt
t
a
A
t
dt
a
A
dt
adx
t
b
ax
b
ax
adx
a
A
dx
b
ax
A
n
n
n
n
n
1
1
1
(
)
C
b
ax
n
a
A
n
+
+
⋅
−
−
⋅
=
+
−
1
1
1
, n > 1
c)
∫
∫
∫
∫
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
<
∆
−
=
∆
=
+
+
+
dx
c
bx
ax
A
aB
ax
a
A
dx
c
bx
ax
A
B
x
a
a
A
dx
c
bx
ax
A
B
x
A
ac
b
dx
c
bx
ax
B
Ax
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
4
+
+
+
=
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
+
−
+
=
∫
∫
∫
c
bx
ax
a
A
dx
c
bx
ax
b
A
aB
a
A
dx
c
bx
ax
b
ax
a
A
dx
c
bx
ax
A
aB
b
b
ax
a
A
2
2
2
2
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
∫
+
+
+
c
bx
ax
dx
K
2
, gdzie
−
⋅
=
b
A
aB
a
A
K
2
2
d)
=
∆
−
+
=
∆
−
+
=
∆
−
+
=
+
+
−
=
∆
<
∆
=
+
+
∫
∫
∫
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
4
2
4
2
4
,
0
a
a
b
x
dx
a
a
a
b
x
a
dx
a
a
b
x
a
c
bx
ax
ac
b
c
bx
ax
dx
=
+
∆
−
+
∆
−
=
+
∆
−
⋅
+
∆
−
=
+
∆
−
⋅
+
∆
−
⋅
=
∫
∫
∫
1
2
4
1
2
2
4
1
4
2
4
1
2
2
2
2
2
2
b
ax
dx
a
a
a
b
x
dx
a
a
a
b
x
dx
a
a
136
C
b
ax
C
t
t
dt
a
a
dt
dx
a
t
b
ax
+
∆
−
+
∆
−
=
+
∆
−
∆
−
=
+
∆
−
⋅
∆
−
=
=
∆
−
=
∆
−
+
=
∫
2
arctg
2
arctg
2
1
2
4
2
2
2
.
Przykłady obliczania całek funkcji wymiernych
1)
∫
∫
∫
+
+
=
+
=
+
=
+
C
x
x
dx
x
dx
dx
x
3
2
ln
2
5
3
2
2
2
5
3
2
5
3
2
5
przy założeniu
0
3
2
≠
+
x
Możemy również skorzystać z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie, wówczas:
∫
∫
∫
+
+
=
+
=
=
=
=
=
=
+
=
+
C
x
C
t
t
dt
t
dt
dt
dx
dt
dx
t
x
dx
x
3
2
ln
2
5
ln
2
5
2
5
2
1
5
2
1
2
3
2
3
2
5
2)
∫
+
+
dx
x
x
1
2
2
3
założenie:
0
1
2
≠
+
x
{
k
n =
– stopień licznika = stopień mianownika, zatem dzielimy licznik przez mianownik}
Po wydzieleniu wielomianów otrzymamy:
1
2
1
2
1
2
3
1
2
2
3
+
⋅
+
=
+
+
x
x
x
Stąd:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
+
+
=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
=
+
+
dx
x
dx
dx
x
dx
dx
x
dx
x
x
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
2
3
∫
+
+
+
=
+
+
=
C
x
x
dx
x
x
1
2
ln
4
1
2
3
1
2
2
4
1
2
3
3) Całki typu
∫
+
+
c
bx
ax
dx
2
obliczamy różnie w zależności od wyróżnika (tj.
ac
b
4
2
−
=
∆
)
a)
0
>
∆
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
+
−
−
=
−
=
=
∆
=
+
−
−
∫
∫
∫
3
5
3
5
3
5
15
2
3
,
5
64
15
2
2
2
1
2
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
(
)(
)
3
5
3
5
1
−
+
+
=
−
+
x
B
x
A
x
x
(*)
{funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste}
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
3
5
5
3
3
5
1
−
+
+
+
−
=
−
+
x
x
x
B
x
A
x
x
{sprowadzamy prawą stronę do wspólnego mianownika przy
założeniu:
3
i
5
≠
−
≠
x
x
}
137
(
)
(
)
5
3
1
+
+
−
≡
x
B
x
A
{równość tożsamościowa liczników}
(
)
(
)
B
A
x
B
A
x
5
3
1
0
+
−
+
+
≡
+
⋅
{przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x}
=
+
−
=
+
1
5
3
0
B
A
B
A
Po rozwiązaniu układu otrzymujemy:
8
1
,
8
1
=
−
=
B
A
.
Po wstawieniu współczynników rozkładu do (*) mamy:
(
)(
)
3
1
8
1
5
1
8
1
3
5
1
−
⋅
+
+
⋅
−
=
−
+
x
x
x
x
Zatem
(
)(
)
∫
∫
∫
∫
∫
=
−
−
+
=
−
⋅
+
+
⋅
−
−
=
−
+
−
=
+
−
−
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
3
1
8
1
5
1
8
1
3
1
8
1
5
1
8
1
3
5
1
15
2
2
(
)
C
x
x
C
x
x
+
−
+
=
+
−
−
+
=
3
5
ln
8
1
3
ln
5
ln
8
1
.
b)
0
=
∆
∫
∫
∫
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
+
−
=
=
∆
=
+
−
dt
dx
t
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
dx
2
5
2
5
4
1
2
5
4
2
5
4
25
20
4
2
5
,
0
25
20
4
2
2
2
2
0
2
∫
∫
+
−
−
=
+
−
⋅
=
=
=
−
C
x
C
t
dt
t
t
dt
2
5
4
1
1
4
1
4
1
4
1
2
2
przy założeniu:
2
5
≠
x
c)
0
<
∆
(
)
=
+
−
=
+
−
−
=
∆
=
+
−
∫
9
3
2
27
12
2
72
27
12
2
2
2
2
x
x
x
x
x
dx
{mianownik sprowadzono do postaci kanonicznej
tzn.
a
a
b
x
a
c
bx
ax
4
2
2
2
∆
−
+
=
+
+
, gdzie
ac
b
4
2
−
=
∆
}
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
=
+
⋅
=
+
⋅
=
=
=
−
=
+
−
=
+
−
=
1
9
2
2
2
3
2
9
2
9
2
3
2
1
2
3
2
9
3
2
9
3
2
1
9
3
2
2
2
2
2
t
dt
t
dt
dt
dx
t
x
x
dx
x
dx
(
)
(
)
C
x
x
t
t
x
C
t
+
−
=
−
⋅
=
=
−
=
+
=
3
3
2
arctg
2
3
1
3
3
2
2
3
3
arctg
2
3
1
138
4) Całki typu
∫
≠
+
+
+
0
,
2
a
dx
c
bx
ax
n
mx
{w liczniku funkcji podcałkowej występuje funkcja liniowa, a w mianowniku funkcja kwadratowa}
Sprawdzamy, czy licznik jest pochodną funkcji z mianownika lub jest proporcjonalny do niej:
Jeśli TAK, korzystamy ze wzoru:
∫
+
=
′
C
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
ln
)
(
)
(
Przykład:
a)
(
)
∫
∫
+
+
+
=
+
+
′
+
+
=
+
+
+
C
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
13
5
ln
13
5
13
5
13
5
5
2
2
2
2
2
b)
(
)
∫
∫
∫
+
+
−
=
+
−
′
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
C
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
1
3
2
ln
2
1
3
2
1
3
2
2
1
3
2
)
3
4
(
2
1
3
2
6
8
2
2
2
2
2
Jeśli licznik NIE jest pochodną mianownika, ani nie jest proporcjonalny do niej to:
1. Licznik sprowadzamy do postaci: ⋅
A
(pochodna mianownika) + B, gdzie A, B – odpowiednio dobrane
stałe.
W tym celu postępujemy jak na str. 135 (patrz CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTCH podpunkt c) –
Sposób I
lub
Sposób II:
Obliczamy pochodną mianownika,
Dzielimy licznik przez pochodną mianownika,
Licznik przedstawiamy w wymaganej postaci
2. Daną całkę zapisujemy jako sumę dwóch całek, przy czym w pierwszej z nich licznik będzie pochodną
mianownika, natomiast drugą z całek obliczamy w zależności od znaku ∆ (patrz str. 135 – 136 całki typu
∫
+
+
c
bx
ax
dx
2
).
Przykład:
a)
(
)
=
−
=
′
+
−
=
+
−
−
∫
7
2
12
7
12
7
2
2
2
x
x
x
dx
x
x
x
{ Sposób I } =
(
)
∫
=
+
−
−
dx
x
x
x
12
7
2
2
2
1
2
=
+
−
+
+
−
−
=
+
−
−
+
−
=
+
−
−
=
∫
∫
∫
∫
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
12
7
3
2
1
12
7
7
2
2
1
12
7
4
7
7
2
2
1
12
7
4
2
2
1
2
2
2
2
∫
∫
+
−
+
+
−
−
=
dx
x
x
dx
x
x
x
12
7
1
2
3
12
7
7
2
2
1
2
2
Uwaga: Korzystając ze Sposobu II postępujemy, jak następuje:
139
(
)
=
−
=
′
+
−
=
+
−
−
∫
7
2
12
7
12
7
2
2
2
x
x
x
dx
x
x
x
{dzielimy licznik przez pochodną mianownika}
Wówczas:
2
7
2
1
)
7
2
(
)
2
(
+
−
=
−
÷
−
x
x
x
2
3
stąd
(
)
2
3
7
2
2
1
2
+
−
=
−
x
x
zatem
(
)
∫
∫
∫
∫
+
−
+
+
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
−
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
12
7
1
2
3
12
7
7
2
2
1
12
7
2
3
7
2
2
1
12
7
2
2
2
2
2
Niezależnie z którego sposobu korzystamy dochodzimy do tej samej postaci całki, a mianowicie:
=
+
−
+
+
−
−
=
+
−
−
∫
∫
∫
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
12
7
1
2
3
12
7
7
2
2
1
12
7
2
2
2
2
,
2
3
12
7
ln
2
1
1
2
I
x
x
+
+
−
=
gdzie
∫
+
−
=
12
7
2
1
x
x
dx
I
(
)(
)
(
)(
)
∫
∫
=
−
−
=
−
−
=
+
−
=
=
=
∆
=
+
−
=
4
3
4
3
12
7
4
,
3
1
12
7
2
2
1
2
1
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
I
(*)
(
)(
)
4
3
4
3
1
−
+
−
=
−
−
x
B
x
A
x
x
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
4
3
3
4
4
3
1
−
−
−
+
−
=
−
−
x
x
x
B
x
A
x
x
(
)
(
)
B
A
x
B
A
3
4
1
−
−
+
+
≡
=
−
−
=
+
1
3
4
0
B
A
B
A
Stąd
1
,
1
=
−
=
B
A
(
)(
)
4
1
3
1
4
3
1
−
+
−
−
=
−
−
x
x
x
x
wracając do (*) mamy:
(
)(
)
∫
∫
∫
∫
+
−
−
=
+
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
1
1
3
4
ln
4
ln
3
ln
4
3
4
1
3
1
4
3
C
x
x
C
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
140
Ostatecznie
C
x
x
x
x
dx
x
x
x
+
−
−
+
+
−
=
+
−
−
∫
3
4
ln
2
3
12
7
ln
2
1
12
7
2
2
2
b)
(
)
∫
+
=
′
+
+
=
+
+
−
3
2
4
3
4
3
3
4
2
2
x
x
x
dx
x
x
x
{Sposób II} dzielimy licznik przez pochodną mianownika:
(
) (
)
6
4
2
3
2
3
4
−
−
=
+
÷
−
x
x
x
_____________
9
−
Zatem
(
)
9
3
2
2
3
4
−
+
=
−
x
x
Stąd
(
)
∫
∫
∫
∫
−
+
+
=
+
+
−
+
+
+
=
+
+
−
+
=
+
+
−
1
2
2
2
2
2
9
4
3
ln
2
4
3
9
4
3
3
2
2
4
3
9
3
2
2
4
3
3
4
I
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
∫
∫
=
=
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
−
=
∆
=
+
+
=
dt
dx
t
x
x
dx
x
x
x
x
x
dx
I
2
7
4
7
2
3
4
7
2
3
4
7
2
3
4
3
7
4
3
2
2
2
2
1
1
1
2
2
7
3
2
arctg
7
7
2
7
3
2
2
7
2
3
arctg
7
7
2
1
7
4
2
7
4
7
4
7
2
7
C
x
x
t
t
x
C
t
t
dt
t
dt
+
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
⋅
=
+
=
∫
∫
Ostatecznie
C
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
⋅
−
+
+
=
+
+
−
∫
7
3
2
arctg
7
7
2
9
4
3
ln
2
4
3
3
4
2
2