141
WYKŁAD Nr 10
CAŁKI NIEOZNACZONE
– c.d.
Def.10.1. (funkcja wymierna dwóch zmiennych)
Funkcja
)
,
( v
u
R
jest funkcją wymierną dwóch zmiennych u i v, jeżeli jest ilorazem dwóch wielomianów
względem tych zmiennych.
Przykład:
1
6
3
7
2
4
3
)
,
(
2
2
3
+
−
+
−
+
−
=
v
v
u
u
uv
v
u
v
u
R
jest funkcją wymierną zmiennych u i v.
CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
A) Całka postaci
(
)
∫
dx
x
x
R
cos
,
sin
Całki funkcji zbudowanych „wymiernie” (tzn. za pomocą działań arytmetycznych) z
x
sin oraz
x
cos
można sprowadzić do całek funkcji wymiernych za pomocą podstawienia:
t
x
=
2
tg
Wówczas dla
(
)
π
π
−
∈
,
x
mamy:
dt
t
dx
t
x
t
x
2
1
2
arctg
2
arctg
2
+
=
=
=
Funkcje
x
sin ,
x
cos
musimy wyrazić przy pomocy
2
tg
x
=
+
=
+
=
=
=
⋅
=
2
cos
2
sin
1
2
cos
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
1
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
2
2
sin
sin
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
2
tg
1
2
tg
2
t
t
x
x
+
=
+
=
Ostatecznie
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
142
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
⋅
=
2
cos
2
sin
1
2
cos
2
cos
2
sin
1
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
2
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
1
2
tg
1
2
tg
1
t
t
x
x
+
−
=
+
−
=
Ostatecznie
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
Uwaga: Dość często w funkcji podcałkowej pojawia się
x
tg , wówczas
2
1
2
cos
sin
tg
t
t
x
x
x
−
=
=
.
Przykłady:
a)
C
x
C
t
dt
t
dt
t
t
t
t
t
dt
t
t
t
x
dt
t
dx
t
x
x
dx
+
=
+
=
=
+
⋅
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
=
∫
∫
∫
∫
2
tg
ln
ln
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
sin
1
2
2
tg
sin
2
2
2
2
2
2
b)
∫
∫
∫
=
+
⋅
−
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
+
=
+
−
=
+
=
+
=
=
=
+
+
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dt
t
t
t
x
t
t
x
dt
t
dx
t
x
x
x
dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
cos
1
2
sin
1
2
2
tg
cos
sin
1
∫
∫
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
C
x
C
t
t
dt
dt
t
2
tg
1
ln
1
ln
1
2
2
2
Uwaga: Podstawienie
t
x
=
2
tg
nazywamy
UNIWERSALNYM PODSTAWIENIEM
TRYGONOMETRYCZNYM
143
B) Całki postaci
(
)
∫
dx
x
x
x
x
R
cos
sin
,
cos
,
sin
2
2
,
gdzie funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną względem
x
x
2
2
cos
,
sin
oraz
x
x
cos
sin
.
Wówczas dla
π
π
−
∈
2
,
2
x
stosujemy podstawienie:
t
x
=
tg
Zatem
dt
t
dx
t
x
2
1
1
arctg
+
=
=
Funkcje
x
x
2
2
cos
,
sin
i
x
x
cos
sin
przedstawiamy korzystając z funkcji
x
tg
x
x
x
2
2
2
cos
sin
tg
=
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tg
1
tg
sin
tg
tg
1
sin
sin
tg
tg
sin
sin
1
tg
sin
cos
tg
sin
+
=
=
+
⋅
−
=
−
⋅
=
⋅
=
Stąd po dokonaniu podstawienia otrzymamy:
2
2
2
1
sin
t
t
x
+
=
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
tg
1
1
tg
1
tg
1
tg
tg
1
sin
cos
+
=
⋅
+
=
⋅
=
czyli
2
2
1
1
cos
t
x
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
tg
1
tg
tg
1
tg
1
tg
tg
1
sin
cos
sin
+
=
⋅
+
=
⋅
=
⋅
czyli
2
1
cos
sin
t
t
x
x
+
=
⋅
Przykład:
∫
∫
=
+
−
+
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
5
1
1
1
1
cos
sin
,
1
sin
1
1
tg
cos
sin
5
sin
t
t
t
t
dt
t
t
t
x
x
t
t
x
dt
t
dx
t
x
x
x
x
dx
144
(
)
∫
∫
−
=
+
⋅
−
+
=
5
1
1
5
1
2
2
2
t
t
dt
dt
t
t
t
t
= {rozkładamy na ułamki proste – patrz Wykład Nr 9}
(
)
=
−
=
+
+
−
≡
−
+
=
−
1
5
0
5
1
5
5
1
A
B
A
Bt
A
At
t
B
t
A
t
t
Stąd
5
1
,
5
1
=
−
=
B
A
Zatem
(
)
∫
∫
∫
+
−
=
+
−
=
+
−
+
−
=
−
+
−
=
−
C
t
C
t
t
C
t
t
t
dt
t
dt
t
t
dt
5
1
ln
5
1
5
ln
5
1
5
ln
5
1
ln
5
1
5
5
1
5
1
5
Wracając do całki
∫
−
x
x
x
dx
cos
sin
5
sin
2
i podstawienia
t
x
=
tg
otrzymujemy:
C
x
C
x
x
x
x
dx
+
−
=
+
−
=
−
∫
ctg
5
1
ln
5
1
tg
5
1
ln
5
1
cos
sin
5
sin
2
.
C) Całki postaci
∫
dx
x
x
n
m
cos
sin
, gdzie
N
∈
n
m
,
, obliczamy różnymi sposobami w zależności
od tego czy m i n są liczbami parzystymi czy nieparzystymi.
Rozpatrujemy cztery przypadki:
1° m – liczba nieparzysta, n – liczba parzysta
(w funkcji podcałkowej sin x występuje w potędze nieparzystej, natomiast cos x w parzystej)
Wówczas stosujemy podstawienie:
t
x
=
cos
Przykład:
(
)
∫
∫
∫
=
−
=
=
−
=
=
⋅
⋅
−
=
=
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
sin
sin
cos
sin
cos
cos
1
sin
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
3
(
)
(
)
(
)
∫
∫
+
+
−
=
+
−
−
=
−
−
=
−
⋅
⋅
−
=
C
x
x
C
t
t
dt
t
t
dt
t
t
5
3
5
3
4
2
2
2
cos
5
1
cos
3
1
5
1
3
1
1
2° m – liczba parzysta, n – liczba nieparzysta
(w funkcji podcałkowej cos x występuje w potędze nieparzystej, natomiast sin x w parzystej)
Wówczas stosujemy podstawienie:
t
x
=
sin
145
Przykład:
∫
∫
+
=
+
=
=
=
=
=
C
x
C
t
dt
t
dt
dx
x
t
x
dx
x
x
3
3
2
2
sin
3
1
3
1
cos
sin
cos
sin
3° m – liczba nieparzysta, n – liczba nieparzysta
Wówczas jedną z funkcji (najlepiej tę, która występuje w niższej potędze) zapisujemy jako iloczyn potęgi
parzystej i pierwszej, a następnie postępujemy zgodnie z 1° lub 2°.
Przykład:
(
)
∫
∫
∫
=
=
=
=
−
⋅
=
=
dt
dx
x
t
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
cos
sin
cos
sin
1
sin
cos
cos
sin
cos
sin
2
2
7
4
7
5
7
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
=
+
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
C
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
12
10
2
8
2
2
1
1
12
10
8
11
9
7
4
2
7
2
2
7
C
x
x
x
+
+
−
=
12
10
8
sin
12
1
sin
5
1
sin
8
1
4° m – liczba parzysta, n – liczba parzysta
Wówczas korzystając z jedynki trygonometrycznej doprowadzamy funkcję podcałkową do funkcji
zależnej tylko od jednej z funkcji: sin x lub cos x, a następnie obliczamy całki korzystając ze WZORÓW
REKURENCYJNYCH (n > 2):
(*)
∫
∫
−
−
−
+
−
=
dx
x
n
n
x
x
n
dx
x
n
n
n
2
1
sin
1
cos
sin
1
sin
(**)
∫
∫
−
−
−
+
=
dx
x
n
n
x
x
n
dx
x
n
n
n
2
1
cos
1
sin
cos
1
cos
Przykład:
(
)
∫
∫
∫
∫
−
=
−
⋅
=
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
4
2
2
2
2
2
sin
sin
sin
1
sin
cos
sin
Zaczynamy od wyznaczenia całki
∫
dx
x
4
sin
korzystając ze wzoru (*), a mianowicie dla
4
=
n
mamy:
∫
∫
+
−
=
43
42
1
1
2
3
4
sin
4
3
cos
sin
4
1
sin
I
dx
x
x
x
dx
x
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
I
2
cos
2
1
2
1
2
cos
1
2
1
2
cos
1
2
1
sin
sin
2
1
2
cos
sin
cos
2
cos
sin
2
2
2
2
2
1
146
1
2
sin
4
1
2
1
C
x
x
+
−
=
.
Więc po wstawieniu otrzymujemy:
C
x
x
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
+
−
+
+
−
=
−
=
∫
∫
∫
2
sin
4
1
2
1
4
3
cos
sin
4
1
2
sin
4
1
2
1
sin
sin
cos
sin
3
4
2
2
2
Ostatecznie
∫
+
−
+
=
C
x
x
x
x
dx
x
x
2
sin
16
7
8
7
cos
sin
4
1
cos
sin
3
2
2
Uwaga: Oczywiście do każdego z wymienionych typów całek (z punktów B), C)) można stosować
uniwersalne podstawienie trygonometryczne, ale rachunki znacznie się upraszczają przy zastosowaniu
podstawień wymienionych w tych punktach.
Uwaga: W przypadku funkcji podcałkowych
x
x
n
n
ctg
,
tg
, gdzie
2
>
n
można również wyprowadzić
wzory rekurencyjne. Wówczas:
2
ctg
ctg
1
1
ctg
tg
tg
1
1
tg
2
1
2
1
>
−
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
n
dx
x
x
n
dx
x
dx
x
x
n
dx
x
n
n
n
n
n
n
D) Całki postaci:
∫
∫
∫
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
β
α
β
α
β
α
cos
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
Obliczamy je przekształcając iloczyny wyrażeń podcałkowych na odpowiednie sumy korzystając
ze wzorów:
2
cos
2
sin
2
sin
sin
B
A
B
A
B
A
−
+
=
+
→
(
)
B
A
B
A
B
A
sin
sin
2
1
2
cos
2
sin
+
=
−
+
2
cos
2
cos
2
cos
cos
B
A
B
A
B
A
−
+
=
+
→
(
)
B
A
B
A
B
A
cos
cos
2
1
2
cos
2
cos
+
=
−
+
2
sin
2
sin
2
cos
cos
B
A
B
A
B
A
−
+
−
=
−
→
(
)
B
A
B
A
B
A
cos
cos
2
1
2
sin
2
sin
−
−
=
−
+
Przykłady:
a)
(
)
∫
−
−
=
−
+
B
A
B
A
B
A
dx
x
x
cos
cos
2
1
2
sin
2
sin
3
sin
5
sin
Stąd
=
−
=
+
x
B
A
x
B
A
3
2
5
2
czyli
=
−
=
+
x
B
A
x
B
A
6
10
147
Zatem
x
B
x
A
2
,
8
=
=
(
)
∫
∫
∫
∫
+
⋅
−
=
+
−
=
−
−
=
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
8
sin
8
1
2
1
2
cos
2
1
8
cos
2
1
2
cos
8
cos
2
1
3
sin
5
sin
C
x
x
C
x
+
+
−
=
+
⋅
+
2
sin
4
1
8
sin
16
1
2
sin
2
1
2
1
b)
(
)
∫
+
=
−
+
B
A
B
A
B
A
dx
x
x
sin
sin
2
1
2
cos
2
sin
2
cos
3
sin
=
−
=
+
x
B
A
x
B
A
2
2
3
2
czyli
=
−
=
+
x
B
A
x
B
A
4
6
.
Stąd
x
B
x
A
=
=
,
5
(
)
∫
∫
∫
∫
+
−
−
⋅
=
+
=
+
=
C
x
x
xdx
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
cos
2
1
5
cos
5
1
2
1
sin
2
1
5
sin
2
1
sin
5
sin
2
1
2
cos
3
sin
c)
(
)
∫
+
=
−
+
B
A
B
A
B
A
dx
x
x
cos
cos
2
1
2
cos
2
cos
2
cos
4
cos
=
−
=
+
x
B
A
x
B
A
2
2
4
2
czyli
=
−
=
+
x
B
A
x
B
A
4
8
.
Stąd
x
B
x
A
2
,
6
=
=
(
)
∫
∫
+
+
=
+
⋅
+
⋅
=
+
=
C
x
x
C
x
x
dx
x
x
dx
x
x
2
sin
4
1
6
sin
12
1
2
sin
2
1
2
1
6
sin
6
1
2
1
2
cos
6
cos
2
1
2
cos
4
cos
Uwaga: Często też spotykamy się z całkami typu:
∫
x
x
dx
m
n
cos
sin
,
N
∈
≠
≠
m
n
x
x
,
,
0
cos
,
0
sin
.
Aby rozwiązać całki tego typu postępujemy następująco:
dx
x
x
x
x
dx
m
n
m
n
∫
∫
=
cos
sin
1
cos
sin
,
a następnie w miejsce jedynki występującej w liczniku stosujemy jedynkę trygonometryczną
x
x
2
2
cos
sin
1
+
=
.
148
Przykład:
∫
∫
∫
∫
∫
=
+
=
+
=
=
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
1
cos
sin
∫
∫
+
=
+
=
2
1
2
3
cos
sin
1
cos
1
I
I
dx
x
x
dx
x
.
Obliczamy pierwszą z całek:
4
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
1
cos
1
cos
sin
cos
cos
cos
sin
cos
cos
sin
cos
1
I
I
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
I
+
=
+
=
+
=
+
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Wyznaczamy
3
I
:
∫
∫
=
=
=
dx
x
x
x
dx
x
x
I
3
3
2
3
cos
sin
sin
cos
sin
{całkujemy przez części}
=
=
=
′
=
′
=
=
x
x
g
x
x
f
x
x
x
g
x
x
f
2
3
cos
2
1
)
(
cos
)
(
cos
sin
)
(
sin
)
(
{
C
x
C
t
C
t
dt
t
t
dt
dt
xdx
dt
xdx
t
x
dx
x
x
x
g
+
=
+
=
+
−
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
∫
∫
∫
−
−
2
2
2
3
3
3
cos
2
1
2
1
2
sin
sin
cos
cos
sin
)
(
}
∫
∫
−
=
−
=
−
=
4
2
2
2
2
2
1
cos
2
sin
cos
1
2
1
cos
2
sin
cos
2
cos
cos
2
sin
I
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
.
Obliczamy
4
I
:
=
=
∫
dx
x
I
cos
1
4
{skorzystamy ze wzoru redukcyjnego
+
=
x
x
2
sin
cos
π
oraz przykładu a) ze str. 142}
∫
∫
+
+
=
+
+
=
+
=
=
=
=
+
=
+
=
4
4
4
4
2
tg
ln
2
2
tg
ln
2
tg
ln
sin
1
2
2
sin
1
C
x
C
x
C
u
du
u
du
dx
u
x
dx
x
π
π
π
π
Zatem
3
2
4
2
3
2
3
4
2
tg
ln
2
1
cos
2
sin
2
1
cos
2
sin
cos
sin
C
x
x
x
I
x
x
dx
x
x
I
+
+
−
=
−
=
=
∫
π
Wstawiając wyznaczone całki
4
3
, I
I
do całki
1
I
otrzymujemy:
1
2
1
2
4
3
1
4
2
tg
ln
2
1
cos
2
sin
4
2
tg
ln
4
2
tg
ln
2
1
cos
2
sin
C
x
x
x
C
x
x
x
x
I
I
I
+
+
+
=
+
+
+
+
−
=
+
=
π
π
π
.
Obliczamy drugą z całek występujących przy wyznaczaniu całki
∫
x
x
dx
3
2
cos
sin
, tj. całki
2
I
:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
+
=
+
=
+
=
=
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
I
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
cos
1
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
1
149
∫
+
+
=
+
=
5
2
4
4
2
tg
ln
sin
cos
I
x
dx
x
x
I
π
, gdzie
∫
=
dx
x
x
I
2
5
sin
cos
{całkujemy przez podstawienie} =
5
5
5
1
2
2
2
5
sin
1
1
1
cos
sin
sin
cos
C
x
C
t
C
t
dt
t
t
dt
dt
dx
x
t
x
dx
x
x
I
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
−
−
.
Uwaga: Przy obliczaniu
5
I
można również skorzystać ze wzoru 2. ze strony 132 Wykładu Nr 9,
a mianowicie:
0
)
(
,
)
(
1
)
(
)
(
2
≠
+
−
=
′
∫
x
f
C
x
f
dx
x
f
x
f
.
Wracając do
2
I
mamy:
2
2
2
sin
1
4
2
tg
ln
cos
sin
1
C
x
x
dx
x
x
I
+
−
+
+
=
=
∫
π
Wracając do całki wyjściowej otrzymujemy:
C
x
x
x
x
x
I
I
x
x
dx
+
−
+
+
+
+
+
=
+
=
∫
sin
1
4
2
tg
ln
4
2
tg
ln
2
1
cos
2
sin
cos
sin
2
2
1
3
2
π
π
Zatem ostatecznie:
C
x
x
x
x
x
x
dx
+
+
+
−
=
∫
4
2
tg
ln
2
3
sin
1
cos
2
sin
cos
sin
2
3
2
π
CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
A) Całkowanie funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego:
1)
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach postaci
n
m
)
,
(
N
∈
n
m
, m, n – liczby względem siebie pierwsze, to wykonujemy podstawienie:
N
t
x
=
gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci
n
m .
Przykład:
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
=
+
−
+
=
+
=
+
=
=
=
=
→
=
=
+
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dx
t
x
t
x
t
x
x
x
dx
2
2
2
2
2
3
5
5
2
3
1
3
2
1
6
3
1
1
1
6
1
6
1
6
6
,
1
[
]
[
]
0
,
arctg
6
arctg
6
1
6
6
6
6
6
2
>
+
−
=
=
=
=
+
−
=
+
−
=
∫
∫
x
C
x
x
x
t
t
x
C
t
t
t
dt
dt
150
2) Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x oraz potęg dwumianu
b
ax
+
o wykładnikach postaci
n
m , czyli mamy do czynienia z całką
(
)
∫
+
dx
b
ax
x
R
n
m
,
,
to wykonujemy podstawienie:
N
t
b
ax
=
+
,
gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci
n
m .
Przykład:
(
)
(
)
∫
∫
∫
=
−
=
⋅
⋅
−
=
=
=
−
=
→
=
+
=
+
⋅
dt
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dx
dt
t
dx
t
x
t
x
dx
x
x
4
8
3
4
3
3
4
4
4
5
2
2
5
2
4
2
5
2
1
5
2
5
2
(
)
(
)
0
5
2
,
5
2
5
2
9
1
5
2
5
2
5
1
5
9
1
4
5
4
9
4
4
5
9
>
+
+
+
−
+
=
+
=
=
+
=
+
⋅
−
=
x
C
x
x
x
t
t
x
C
t
t
3) Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x oraz potęg funkcji homograficznej
(
)
0
,
≠
−
+
+
bc
ad
d
cx
b
ax
o wykładnikach postaci
n
m ,czyli mamy do czynienia z całką
∫
+
+
dx
d
cx
b
ax
x
R
n
m
,
,
to wykonujemy podstawienie:
N
t
d
cx
b
ax
=
+
+
gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci
n
m .
Przykład:
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
=
−
−
−
=
−
=
−
⋅
⋅
−
=
−
=
−
=
=
−
⋅
=
−
=
−
=
−
=
−
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
dt
t
t
dx
t
x
t
x
xt
x
xt
x
t
x
x
dx
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
2
1
1
4
1
2
2
1
2
2
2
2
1
151
∫
∫
∫
=
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
4
3
42
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
I
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
{całkę
1
I
obliczamy korzystając z rozkładu na ułamki proste – patrz Wykład 9, ostatecznie po jej
obliczeniu otrzymamy}
0
2
,
2
1
ln
2
1
ln
2
2
1
ln
2
1
1
ln
2
1
2
2
>
−
+
−
+
+
−
−
−
−
−
=
+
+
+
−
−
+
−
=
x
x
C
x
x
x
x
x
x
C
t
t
t
B) Całkowanie funkcji zawierających w liczniku funkcję liniową, a w mianowniku pierwiastek
kwadratowy z trójmianu kwadratowego
Całki typu:
(
)
∫
≠
+
+
+
0
2
a
c
bx
ax
dx
B
Ax
ALGORYTM OBLICZANIA TEJ CAŁKI
1. Sprawdzamy, czy licznik jest pochodną funkcji podpierwiastkowej?
Jeśli TAK to stosujemy wzór (***)
∫
+
=
′
C
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
2
)
(
)
(
Przykład:
C
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
=
+
+
+
∫
11
3
2
2
11
3
2
3
4
2
2
Jeśli NIE zacznij algorytm od punktu 2.
2. Jeśli licznik nie jest pochodną funkcji podpierwiastkowej, to całkę sprowadzamy do sumy dwóch całek
postaci:
∫
∫
+
+
+
+
+
i
2
2
2
c
bx
ax
dx
dx
c
bx
ax
b
ax
Wynik pierwszej z nich jest natychmiastowy na podstawie wzoru (***).
Drugą z tych całek obliczamy różnie w zależności od znaku współczynnika a przy
2
x
.
Rozpatrujemy dwa przypadki :
1°
0
>
a
Stosujemy PODSTAWIENIE EULERA:
x
a
t
c
bx
ax
−
=
+
+
2
Całkę sprowadzamy do całki funkcji wymiernej.
2°
0
<
a
Trójmian kwadratowy sprowadzamy do postaci kanonicznej
a
a
b
x
a
c
bx
ax
4
2
2
2
∆
−
+
=
+
+
, a
następnie poprzez odpowiednie podstawienie sprowadzamy daną całkę do całki typu
∫
−
2
1 t
dt
.
152
Przykłady:
a)
(
)
∫
=
−
=
′
+
−
=
+
−
+
5
2
19
5
19
5
2
3
2
2
x
x
x
dx
x
x
x
{dzielimy licznik przez pochodną funkcji
podpierwiastkowej, po wydzieleniu otrzymamy:
(
)
2
19
5
2
2
3
2
3
+
−
=
+
x
x
}
(
)
(
)
1
2
2
2
2
2
19
19
5
2
2
3
19
5
2
19
19
5
5
2
2
3
19
5
2
19
5
2
2
3
I
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
x
+
+
−
⋅
=
+
−
+
+
−
−
=
+
−
+
−
=
∫
∫
∫
Obliczamy całkę
1
I
korzystając z podstawienia Eulera:
(
)
(
)
(
)
∫
−
+
−
=
−
−
=
−
=
−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
>
=
=
+
−
=
dt
t
t
t
dx
t
t
x
t
x
t
x
tx
t
x
x
x
t
x
x
a
a
x
x
dx
I
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
5
2
19
5
2
5
2
19
19
5
2
2
19
5
19
5
0
,
1
19
5
=
Stąd
5
2
19
19
5
2
2
−
−
−
=
+
−
t
t
t
x
x
{wstawiamy za x wyrażenie
5
2
19
2
−
−
t
t
}
5
2
19
5
19
5
2
2
−
+
−
=
+
−
t
t
t
x
x
Zatem
(
)
(
)
∫
∫
∫
=
+
−
=
−
=
−
+
−
⋅
+
−
−
=
+
−
1
2
2
2
2
5
2
ln
5
2
2
5
2
19
5
2
19
5
5
2
19
5
C
t
dt
t
dt
t
t
t
t
t
t
x
x
dx
(
)
1
2
1
2
2
2
5
2
19
5
2
ln
5
19
5
2
ln
19
5
19
5
C
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x
t
x
t
x
x
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
+
−
=
−
=
+
−
=
Ostatecznie:
∫
>
+
−
+
−
+
+
−
+
+
−
=
+
−
+
0
19
5
,
5
2
19
5
2
ln
2
19
19
5
3
19
5
2
3
2
2
2
2
x
x
C
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
Uwaga: W przypadku całki
∫
+
+
c
bx
ax
dx
2
, gdzie
0
>
a
możemy funkcję podpierwiastkową zapisać
w postaci kanonicznej i poprzez odpowiednie podstawienie sprowadzić do całki typu:
C
t
t
t
dt
+
±
+
=
±
∫
1
ln
1
2
2
.
153
Wyznaczymy teraz całkę
∫
+
−
=
19
5
2
1
x
x
dx
I
korzystając z uwagi ze strony 152:
=
=
⋅
=
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
−
=
∆
>
=
=
+
−
∫
∫
dt
dx
t
x
x
dx
x
x
x
a
a
x
x
dx
2
51
4
51
2
5
4
51
2
5
4
51
2
5
19
5
51
0
,
1
19
5
2
2
2
2
(
)
=
+
+
+
=
+
⋅
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
1
2
2
2
2
1
ln
1
51
2
2
51
1
4
51
2
51
4
51
4
51
2
51
C
t
t
t
dt
t
dt
t
dt
1
2
1
2
1
51
)
5
2
(
51
5
2
ln
1
51
5
2
51
5
2
ln
51
5
2
2
51
2
5
C
x
x
C
x
x
x
t
t
x
+
+
−
+
−
=
+
+
−
+
−
=
−
=
=
−
=
Otrzymamy wynik można doprowadzić do takiej postaci funkcji pierwotnej, jaką uzyskaliśmy
wykorzystując podstawienie Eulera, a mianowicie:
[
]
[
]
=
+
+
−
+
−
=
+
+
−
+
−
=
+
−
∫
1
2
1
2
2
76
20
4
5
2
51
1
ln
51
)
5
2
(
5
2
51
1
ln
19
5
C
x
x
x
C
x
x
x
x
dx
=
+
+
−
+
−
=
1
2
51
19
5
2
5
2
ln
C
x
x
x
{z własności logarytmu:
B
A
B
A
ln
ln
ln
−
=
} =
=
+
−
+
−
+
−
=
1
2
51
ln
19
5
2
5
2
ln
C
x
x
x
{ponieważ
51
ln
jest liczbą, więc
1
51
ln
C
+
−
pełni
rolę nowej stałej całkowania, oznaczmy ją przez
*
1
C
}
*
1
2
19
5
2
5
2
ln
C
x
x
x
+
+
−
+
−
=
.
b)
=
=
⋅
=
−
=
−
−
=
+
−
−
=
+
+
−
=
∆
<
−
=
=
−
+
∫
∫
dt
dx
t
x
x
dx
x
x
x
a
a
x
x
dx
2
5
4
25
2
1
2
1
4
25
4
25
2
1
6
25
0
,
1
6
2
2
2
2
∫
∫
+
−
=
−
=
=
−
=
+
=
−
⋅
=
−
=
C
x
x
t
t
x
C
t
t
dt
t
dt
5
1
2
arcsin
5
1
2
2
5
2
1
arcsin
1
5
2
2
5
4
25
4
25
2
5
2
2
154
C) Metoda współczynników nieoznaczonych
dotyczy całek postaci:
∫
+
+
dx
c
bx
ax
x
W
n
2
)
(
gdzie
)
(x
W
n
- wielomian stopnia n,
0
≠
a
.
ALGORYTM OBLICZANIA CAŁKI
1. Całkę przedstawiamy w postaci:
∫
∫
+
+
+
+
+
⋅
=
+
+
−
c
bx
ax
dx
K
c
bx
ax
x
Q
dx
c
bx
ax
x
W
n
n
2
2
1
2
)
(
)
(
(****)
gdzie
)
(
1
x
Q
n
−
- wielomian stopnia n – 1 w POSTACI OGÓLNEJ, K – stała
2. Wyrażenie (****) różniczkujemy stronami:
[
]
c
bx
ax
K
c
bx
ax
b
ax
x
Q
c
bx
ax
x
Q
c
bx
ax
x
W
n
n
n
+
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
⋅
′
=
+
+
−
−
2
2
1
2
1
2
2
2
)
(
)
(
)
(
3. Mnożymy obustronnie przez
c
bx
ax
+
+
2
:
[
]
(
)
K
b
ax
x
Q
c
bx
ax
x
Q
x
W
n
n
n
+
+
⋅
+
+
+
⋅
′
≡
−
−
2
2
)
(
)
(
)
(
1
2
1
(*****)
4. Prawą stronę równości (*****) porządkujemy względem potęg x, przyrównujemy współczynniki przy
odpowiednich potęgach x występujące po lewej i prawej stronie równości, wyznaczamy nieznane
współczynniki oraz obliczamy całkę
∫
+
+
c
bx
ax
dx
2
.
Przykład
∫
=
−
+
⋅
dx
x
x
x
2
6
{mnożymy i dzielimy przez
2
6
x
x
−
+
, by sprowadzić do całki postaci
∫
+
+
−
dx
x
x
x
W
6
)
(
2
3
}
czyli mamy do czynienia z całką:
∫
+
+
−
+
+
−
dx
x
x
x
x
x
6
6
2
2
3
Zatem
∫
∫
+
+
−
+
+
+
−
⋅
=
+
+
−
+
+
−
6
6
)
(
6
6
2
2
2
2
2
3
x
x
dx
K
x
x
x
Q
dx
x
x
x
x
x
(
)
∫
∫
+
+
−
+
+
+
−
⋅
+
+
=
+
+
−
+
+
−
6
6
6
6
2
2
2
2
2
3
x
x
dx
K
x
x
C
Bx
Ax
dx
x
x
x
x
x
(1)
155
(1) różniczkujemy stronami:
(
)
(
)
6
6
2
1
2
6
2
6
6
2
2
2
2
2
2
3
+
+
−
+
+
+
−
+
−
⋅
+
+
+
+
+
−
⋅
+
=
+
+
−
+
+
−
x
x
K
x
x
x
C
Bx
Ax
x
x
B
Ax
x
x
x
x
x
mnożymy obustronnie przez
6
2
+
+
−
x
x
(
)
(
) (
)
2
2
1
2
6
2
6
2
2
2
3
⋅
+
+
−
⋅
+
+
+
+
+
−
⋅
+
≡
+
+
−
K
x
C
Bx
Ax
x
x
B
Ax
x
x
x
(
)
(
) (
)
(
)
K
x
C
Bx
Ax
x
x
B
Ax
x
x
x
2
1
2
6
2
4
12
2
2
2
2
2
3
+
+
−
⋅
+
+
+
+
+
−
⋅
+
≡
+
+
−
po wymnożeniu i pogrupowaniu względem potęg x prawej strony mamy:
(
)
(
)
(
)
K
C
B
x
C
B
A
x
B
A
Ax
x
x
x
2
12
2
3
24
4
5
6
12
2
2
2
3
2
3
+
+
+
−
+
+
−
+
−
≡
+
+
−
stąd otrzymujemy układ równań:
=
+
+
=
−
+
=
−
−
=
−
0
2
12
12
2
3
24
2
4
5
2
6
K
C
B
C
B
A
B
A
A
po rozwiązaniu układu otrzymujemy:
=
−
=
−
=
=
16
25
8
17
12
1
3
1
K
C
B
A
wyliczone wartości A, B, C, K wstawiamy do (1):
∫
∫
+
+
−
+
+
+
−
⋅
−
−
=
+
+
−
+
+
−
6
16
25
6
8
17
12
1
3
1
6
6
2
2
2
2
2
3
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
Ponieważ
∫
+
−
=
+
+
−
1
2
5
1
2
arcsin
6
C
x
x
x
dx
{patrz przykład b) ze strony 153}
Stąd:
C
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
+
−
+
+
+
−
⋅
−
−
=
+
+
−
+
+
−
∫
5
1
2
arcsin
16
25
6
8
17
12
1
3
1
6
6
2
2
2
2
3