1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne
Semestr II
ELEKTROTECHNIKA
LISTA ZADAŃ Nr 9
CAŁKA NIEOZNACZONA
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI I PRZEZ PODSTAWIENIE
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Zad. 1. Wykorzystując przekształcenia algebraiczne sprowadzić podane całki do całek podstawowych, a
następnie obliczyć je:
a)
(
) (
)
dx
x
x
x
x
1
1
2
2
+
+
⋅
+
−
∫
b)
(
)
∫
−
dx
x
x
3
2
1
c)
(
)
∫
+
dx
x
3
4
2
3
d)
∫
+
−
dx
x
x
x
x
3
4
3
3
2
6
5
4
2
e)
∫
+
+
du
u
u
1
1
3
f)
∫
dx
x
x
x
2
2
sin
cos
2
cos
g)
∫
+
−
dx
x
x
e
x
x
x
3
2
3
h)
∫
+
+
dt
t
t
2
cos
1
cos
1
2
i)
∫
−
dx
e
e
x
x
1
2
j)
∫
dx
e
a
x
x
gdzie a > 0
k)
(
) (
)
dw
w
w
w
1
1
+
−
⋅
+
∫
l)
∫
dx
x
2
tg
m)
(
)
dx
x
x
x
∫
−
+
−
−
38
,
0
8
,
0
2
,
1
5
3
2
n)
∫
−
dx
x
x
x
sin
cos
2
cos
o)
∫
dx
x
2
sin
2
2
Zad.2. Korzystając z metody całkowania przez podstawienie, wyznaczyć całki nieoznaczone:
a)
∫
x
x
dx
ln
b)
∫
+
dx
x
x
2
3
cos
3
tg
c)
∫
+
4
2
7
2x
xdx
d)
∫
dx
x
e
x
cos
sin
e)
∫
dx
x
ctg
f)
∫
−
dx
e
x
x
3
2
g)
dx
x
x
∫
+
2
sin
ctg
1
h)
∫
−
x
x
e
dx
e
2
1
i)
(
)
∫
−
2
3
1
arcsin
x
x
dx
j)
dx
x
x
x
2
4
cos
1
tg
1
tg
∫
⋅
+
k)
∫
⋅
dx
e
x
x
1
2
1
l)
∫
+
dx
x
x
x
ln
ln
1
m)
∫
−
dx
x
a
x
2
2
n)
(
)
∫
+
dx
x
2
5
sh
o)
∫
dx
x
x
cos
sin
7
p)
∫
−
x
x
dx
4
1
2
r)
(
)
∫
dx
x
x
ln
cos
s)
∫
+
8
3
1
x
dx
x
t)
∫
−
π
−
dx
x
2
4
2
cos
u)
dx
x
x
∫
−
⋅
5
5
4
6
1
w)
(
)
∫
−
dx
x
4
5
tg
x)
∫
+
dx
e
e
x
x
6
3
1
y)
∫
+
dx
x
x
2
1
arcctg
ln
z)
∫
dx
x
x
sin
2
a1)
(
)
∫
x
x
x
dx
ln
ln
ln
b1)*
∫
+
x
b
x
a
dx
x
x
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
c1)
∫
−
+
x
x
e
e
dx
d1)
∫
dx
x
x
)
ln(sin
ctg
e1)
∫
+
dx
x
x
7
ln
5
f1)
∫
+
+
dx
x
x
2
)
2
(
ln
5
Zad.3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki:
a)
∫
⋅
dx
x
x
3
b)
∫
dx
x
x
arctg
c)
∫
dx
x
x
3
cos
d)
∫
dx
e
x
x
3
e)
(
)
∫
dx
x
ln
sin
f)
∫
dx
x
e
x
sin
g)
∫
−
dx
x
x
x
2
1
arcsin
h)
∫
dx
x
x
2
cos
i)
(
)
∫
dx
x
x
ln
ln
j)
∫
dx
x
2
arccos
k)
(
)
∫
+
dx
x
x
1
ln
2
l)
∫
dx
x
2
ln
m)
∫
−
dx
e
x
x
2
n)
∫
dx
x
x
cos
ch
o)
∫
dx
x
x
3
sin
5
p)
∫
−
dx
e
x
x
2
3
r)
∫
dx
x
x
2
ln
s)
∫
dx
x
7
arctg
t)
(
)
0
,
cos
2
≠
+
∫
a
dx
b
ax
x
u)
∫
dx
x
x
4
cos
3
w)
(
)
∫
−
+
dx
e
x
x
2
2
1
x)
∫
dx
x
e
x
2
sin
sin
y)
∫
dx
x
2
arcsin
z)*
(
)
∫
+
dx
x
xe
x
3
2
arctg
1
a1)*
(
)
∫
+
+
+
dx
x
x
x
x
2
2
1
1
ln
b1)*
∫
dx
x
arctg
c1)
∫
dx
e
e
x
x
sin
2
d1)
(
)
∫
dx
x
2
arcsin
e1)
∫
dx
x
5
log
f1)
∫
dx
x
x
x
cos
sin
g1)
∫
dx
x
x
2
ln
h1)*
∫
dx
x
e
x
x
sin
2
j1)
∫
+
dx
x
x
2
sin
5
3
UWAGA: W przykładach i), k), p), x) należy w pierwszej kolejności wykonać odpowiednie podstawienie, a
dopiero potem zastosować w/w twierdzenie.
Zad.4. Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:
a)
∫
+
+
dx
x
x
x
10
6
2
b)
∫
+
−
+
dx
x
x
x
2
2
2
1
3
2
c)
∫
+
−
−
dx
x
x
x
1
4
4
3
2
d)
∫
+
−
−
dx
x
x
x
7
5
2
5
4
2
e)
∫
+
−
+
+
dx
x
x
x
x
5
6
5
6
2
2
f)
∫
+
+
+
+
dx
x
x
x
x
25
6
20
7
2
2
2
g)
(
)(
)
∫
+
−
2
2
2
1
4 x
x
dx
h)
∫
+
+
4
3
3
x
x
dx
i)
∫
+
dx
x
x
6
3
27
2
6
j)
(
)
∫
+
+
dx
x
x
x
2
2
5
1
k)
∫
+
−
+
−
+
−
dx
x
x
x
x
x
x
2
3
5
20
21
10
2
2
2
3
4
l)
∫
−
dx
x
x
1
3
3
m)
∫
−
64
4
x
dx
n)
∫
+
−
−
dx
x
x
x
x
5
2
15
7
2
3
o)
∫
+
+
+
+
−
dx
x
x
x
x
x
16
8
8
5
2
2
4
2
3
p)*
∫
+
64
4
x
dx
r)
(
)
dx
x
x
x
x
∫
−
+
+
2
2
2
3
1
2
s)
(
)
dx
x
x
x
∫
+
+
+
2
2
6
1
1
t)
∫
+
−
+
−
+
−
dx
x
x
x
x
x
x
x
4
5
4
9
3
2
3
5
2
3
4
8
u)
∫
−
8
3
x
dx
w)
∫
−
+
−
+
dx
x
x
x
x
1
1
2
3
4
x)
(
)
∫
−
2
4
1
x
dx
y)
∫
−
−
+
dx
x
x
x
x
4
8
3
4
5
z)
∫
+
+
−
dx
x
x
x
8
6
6
2
4
3
Zad.5. Obliczyć następujące całki nieoznaczone:
a)
dx
x
x
∫
+
sin
4
1
cos
b)
(
)
∫
+
−
4
2
2
8
2
x
x
dx
x
c)
∫
dx
x
x
sin
2
d)*
∫
≠
>
+
1
,
0
,
1
a
a
a
dx
x
e)
∫
dx
x
x
x
3
2
cos
sin
f)
∫
dx
x
x
2
tg
g)
∫
dx
e
x
h)
(
)
dx
x
x
∫
−
4
2
1
i)
(
)
∫
+
dx
x
2
1
ctg
j)
dx
x
x
3
8
7
5
1 −
∫
k)
∫
dx
x
x
ch
l)
∫
−
⋅
dx
x
x
3
m)
∫
−
−
−
dx
x
x
x
6
1
6
2
n)
∫
x
x
dx
5
ln
o)
∫
dx
x
2
cos
p)
∫
π
dx
x
cos
r)
∫
+
x
dx
x
2
sin
4
1
cos
s)
∫
+
+
+
dx
x
x
x
5
2
2
2
4
2
t)
∫
dx
x
e
x
3
2
sin
u)
∫
−
+
dx
x
x
2
1
1
w)
∫
dx
x
e
x
2
cos
3
x)
(
)
∫
+
+
dx
x
x
2
1
ln
y)
∫
dx
x
x
cos
z)
∫
+
+
12
12
3
9
2
x
x
dx