1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Semestr III Studia Niestacjonarne
Elektrotechnika
Lista Nr 20
CAŁKA POTRÓJNA
Zad.1. Całkę potrójną
∫∫∫
V
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar V jest ograniczony
powierzchniami o równaniach:
a)
12
4
3
2
,
0
,
0
,
0
=
+
+
=
=
=
z
y
x
z
y
x
b)
2
,
1
,
3
2
2
=
−
=
=
+
z
z
y
x
c)
6
,
2
2
2
=
+
=
z
y
x
z
d)
4
,
25
2
2
2
=
=
+
+
z
z
y
x
e)
4
,
2
2
2
2
2
=
+
+
+
=
z
y
x
y
x
z
f)
2
2
2
2
8
,
z
x
y
z
x
y
−
−
=
+
=
Zad.2. Obliczyć
∫∫∫
V
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
, jeżeli:
a)
xy
z
y
x
x
y
V
xyz
z
y
x
f
≤
≤
≥
≥
=
0
,
,
:
,
)
,
,
(
2
2
b)
x
z
y
x
x
V
e
z
y
x
f
z
y
x
−
≤
≤
≤
≤
−
≤
=
+
+
0
,
1
,
0
:
,
)
,
,
(
c)
x
z
x
y
x
V
y
x
z
y
x
f
−
≤
≤
−
≤
+
+
=
2
1
,
4
:
,
)
,
,
(
2
2
2
2
d)
(
)
y
x
z
z
y
x
V
z
y
x
z
y
x
f
−
−
≤
≥
≥
≥
+
+
+
=
1
,
0
,
0
,
0
:
,
1
2
3
1
)
,
,
(
4
e)
0
,
9
:
,
)
,
,
(
2
2
2
≥
−
−
≤
=
z
y
x
z
V
x
z
y
x
f
f)
,
)
,
,
(
2
2
y
x
z
z
y
x
f
+
=
V obszar ograniczony powierzchniami:
2
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
2
2
2
z
y
x
=
+
dla
0
≥
z
położony na zewnątrz walca
4
1
2
2
=
+ y
x
Zad.3. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
a)
0
,
0
,
4
2
3
,
2
3
,
2
=
=
=
+
=
+
=
+
+
z
y
y
x
y
x
z
y
x
b)
2
2
2
,
,
0
,
1
y
x
z
x
y
z
y
+
=
=
=
=
c)
2
2
2
2
2
2
,
y
x
z
y
x
z
−
−
=
+
=
d)
1
,
0
,
2
2
2
=
+
=
=
+
y
z
z
y
y
x
e)
1
,
4
3
12
,
1
4
2
2
=
−
−
=
=
+
z
y
x
z
y
x
f)
y
x
z
z
y
y
x
x
y
x
2
,
0
,
2
,
2
2
2
2
2
+
=
=
=
+
=
+
g)
0
,
0
,
4
,
2
=
=
=
+
=
z
x
z
y
x
y
h)
)
0
,
,
(
0
,
0
,
0
,
,
16
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
=
=
=
+
=
=
+
+
=
+
+
z
y
x
z
y
x
y
x
z
z
y
x
z
y
x
i)
0
,
,
2
2
2
2
2
2
2
>
+
≤
=
+
+
a
y
x
z
a
z
y
x
j)
2
2
2
2
2
,
9
y
x
z
z
y
x
+
=
=
+
+
k)
x
y
x
z
y
x
4
,
16
2
2
2
2
2
=
+
=
+
+
l)
2
2
2
2
8
,
y
x
z
y
x
z
−
−
=
+
=
m)
2
2
2
2
6
,
y
x
z
y
x
z
+
−
=
+
=
Uwaga: Objętość obszaru
3
R
⊂
V
wyraża się wzorem:
∫∫∫
=
V
dV
V
,
gdzie
dxdydz
dV =
jest
elementem objętości
.
