Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
49
,
0
)
\
P(
bo
49
,
0
)
(
7
,
0
)
(
.
=
∩
∩
+
∩
∩
=
=
C
B
A
A
C
B
A
P
A
P
I
Z tego:
21
,
0
5
,
0
6
,
0
7
,
0
)
(
)
(
)
(
21
,
0
)
(
=
⋅
⋅
=
=
∩
∩
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
TAK
II TAK bo:
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
=
⋅
⋅
=
=
∩
∩
→
=
C
P
A
P
C
B
A
P
B
P
III NIE bo:
=
=
∩
∩
=
∩
∩
=
∩
∩
∩
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
C
P
A
P
B
A
P
C
A
P
C
B
A
P
B
A
C
A
P
→
=
)
(
)
(
)
(
2
C
P
B
P
A
P
nzl tylko gdy P(A)=1 lub 0
czyli odpowiedź (D) jest prawidłowa
Zadanie 2
Dla k=1 (c,b) (b,c) (b,b,c) (b,b,b,c) (b,b,b,b,c) (b,b,b,b,b,c)
Z tego:
1716
9
9
9
10
9
11
9
12
4
13
2
=
+
+
+
+
Dla k>1 kilka czarnych i biała
∑
=
=
=
−
+
=
10
2
2
...
5
15
4
14
5
15
1716
k
k
ODP
Zadanie 3
(
)
(
)
M
t
M
Y
X
t
Y
P
X
M
t
M
Y
X
t
X
P
X
=
=
+
≤
=
=
=
+
≤
=
2
1
jednostajny na (0;M) bo
(
) (
)
M
e
µ
e
µ
e
µ
e
µ
LICZ
X
f
X
M
Y
X
f
M
Y
X
X
f
M
x
µ
x
M
µ
x
µ
x
M
µ
1
1
1
1
1
)
(
0
1
)
(
1
1
)
(
1
=
=
=
+
=
=
+
∫
∫
−
−
−
−
−
−
dla
(
)
∫
−
=
−
=
≥
−
≥
−
=
=
+
≤
∈
t
M
t
M
t
M
t
X
M
t
X
P
M
Y
X
t
Y
X
P
M
t
2
1
1
)
,
(
1
)
,
min(
2
;
0
M
f
2
=
Zadanie 7
Dla pierwszej grupy:
(
)
(
)
(
)
x
i
x
x
i
q
Z
P
q
q
Z
P
3
1
3
2
0
q
3
1
3
1
3
1
1
3
2
1
x
−
=
=
+
=
−
+
=
=
dla II grupy:
(
)
(
)
x
i
x
i
q
Z
P
q
Z
P
3
1
3
1
0
3
1
3
2
1
+
=
=
−
=
=
1
n
- ilość 1 dla I grupy =
1
100
Z
2
n
- ilość 1 dla II grupy =
2
100
Z
2
2
1
1
100
100
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
n
x
n
x
n
x
n
x
q
q
q
q
L
−
−
+
−
−
+
=
(
)
(
)
+
−
+
−
+
−
−
+
+
=
x
x
x
x
q
Z
q
Z
q
Z
q
Z
L
3
1
3
1
ln
1
100
3
1
3
2
ln
100
3
1
3
2
ln
1
100
3
1
3
1
ln
100
ln
2
2
1
1
(
)
(
)
−
+
⋅
=
+
−
+
−
−
−
−
−
+
=
∂
∂
x
x
x
x
x
x
x
q
q
q
Z
q
Z
q
Z
q
Z
q
3
1
3
2
3
1
3
1
3
0
3
1
3
1
3
1
1
100
3
1
3
1
3
2
100
3
1
3
1
3
2
1
100
3
1
3
1
3
1
100
2
2
1
1
(
)
(
)
0
3
1
3
1
100
100
100
3
1
3
2
100
100
100
2
1
2
1
=
+
+
−
−
−
−
+
x
x
q
Z
Z
q
Z
Z
(
) (
) (
)
2
1
2
1
2
1
1
2
100
100
100
3
2
100
100
100
3
1
100
100
100
100
100
100
3
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
q
x
−
+
−
+
−
=
−
+
−
−
−
3
100
100
100
3
200
2
1
−
+
−
=
−
Z
Z
q
x
−
→
−
+
=
2
3
;
2
3
;
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
Z
Z
q
x
Zadanie 8
≅
≅
2
2
2
1
2
1
2
;
;
n
σ
µ
N
X
n
σ
µ
N
X
+
=
+
+
+
=
=
2
2
2
2
2
~
var
~
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
n
n
σ
n
σ
n
n
n
n
σ
n
n
n
X
µ
X
E
+
≅
2
;
~
2
1
2
n
n
σ
µ
N
X
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
−
+
=
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
Zadanie 9
∫
∞
+
=
+
=
>
k
f
k
x
k
X
P
1
1
)
1
(
1
)
(
2
0
α
c
f
f
P
f
=
>
0
1
0
(
)
(
)
)
1
(
)
1
(
2
2
1
2
1
1
0
α
c
x
f
P
α
c
x
f
P
f
f
=
≥
+
=
>
+
równość dla kaŜdego k
)
(
)
(
2
0
1
k
X
P
k
X
P
f
f
>
=
>
2
1
1
)
(
1
k
k
X
P
f
+
=
>
2
)
1
(
1
1
)
(
1
k
k
X
P
f
+
−
=
≤
3
)
1
(
2
1
x
f
f
+
=
jak skonstruujemy test najmocniejszy np. dla
{
}
−
<
=
=
1
1
X
K
α
błąd?
Ale chyba jest błąd bo twierdzenie: Ŝe dla najmocniejszego testu
α
β
>
chyba Ŝe
1
0
P
P
=
1
2
>
→
>
α
α
α
niemoŜliwe
więc
1
0
P
P
=
Zadanie 10
(
)
)
2
2
;
1
(
95
,
0
2
2
−
−
≅
=
≤
≤
n
n
N
χ
b
χ
a
P
95
,
0
96
,
1
2
2
1
96
,
1
2
=
≤
−
−
−
≤
−
n
n
χ
P
(
)
∑
−
−
=
−
=
2
2
2
2
2
1
1
)
1
(
X
X
n
S
σ
S
n
χ
i
(
)
(
)
(
)
1
2
2
96
,
1
2
2
96
,
1
1
96
,
1
2
2
1
96
,
1
2
2
2
2
2
−
+
−
−
≥
≥
−
−
−
−
→
≤
−
+
−
−
≤
−
∑
∑
∑
n
n
X
X
σ
n
n
X
X
n
n
σ
X
X
i
i
i
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
96
,
1
1
2
2
96
,
1
1
σ
n
n
X
X
n
n
X
X
R
i
i
−
+
−
−
−
−
−
−
−
=
∑
∑
