Egzamin dla Aktuariuszy z 14 października 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
P(i) – prawdopodobieństwo, Ŝe od i-tego miejsca seria =
5
2
1
=
wpp
0
seria
gdy
1
i
X
L – liczba serii =
∑
=
16
1
i
i
X
2
1
32
16
2
1
16
16
5
=
=
⋅
=
=
i
EX
EL
Zadanie 2
0
X
X
=
(
)
(
)
i
i
i
i
X
X
X
X
ODL
J
X
−
=
≅
1
,
min
,
)
1
,
0
(
0
(
)
(
)
(
)
{
}
n
n
X
X
X
X
X
X
OD
−
−
−
=
1
,
min
,...,
1
,
min
,
1
,
min
min
2
2
1
1
dla
∈
2
1
,
0
t
(
)
(
)
∫
∫
−
=
+
−
+
=
+
=
≤
−
t
t
i
i
t
t
t
t
X
X
P
0
1
1
2
1
1
..
..
1
,
min
≅
−
2
1
,
0
)
1
,
min(
J
f
X
X
[
]
=
−
−
=
>
−
=
<
n
t
t
P
t
P
)
5
,
0
(
2
1
)
(min
1
)
(min
1
)
5
,
0
(
2
−
−
=
n
n
Y
t
n
f
∫
∫
=
−
=
=
−
=
−
=
−
−
5
,
0
0
5
,
0
0
1
1
2
)
5
,
0
(
5
,
0
)
5
,
0
(
2
n
n
n
n
x
n
x
x
t
t
tn
EY
1
1
2
1
1
5
,
0
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
2
5
,
0
2
5
,
0
1
2
2
5
,
0
1
5
,
0
0
1
+
=
+
−
+
=
+
−
=
+
−
⋅
=
+
−
=
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Zadanie 3
EZ=0, varZ=1, Z ma rozkład normalny (0,1)
Cov(Y+2X,X)=-2+2=0, z tego wynika Ŝe Z i X niezaleŜne i dwuwymiarowy normalny
( )
1
2
2
=
=
EZ
X
Z
E
( ) ( )
(
)
(
)
=
+
+
=
=
X
X
E
X
XY
E
X
Y
E
X
Z
E
2
2
2
4
4
1
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
8
4
4
X
X
Y
E
X
X
X
Y
E
X
X
Y
XE
X
Y
E
+
=
→
+
−
=
+
+
=
Z REGRESJI
( )
(
)
X
m
x
σ
σ
ρ
m
X
Y
E
x
x
y
y
2
−
=
−
+
=
Zadanie 4
)
1
,
0
(
J
X
i
≅
(
)
(
)
)
1
(
ln
ln
0
wykl
X
e
e
X
P
t
X
P
i
t
e
t
i
i
t
≅
−
→
=
=
<
=
≤
∫
n
Z - iloczyn rozkł. Jednost.
(
)
(
) (
)
(
) (
)
=
−
≥
−
=
−
≤
=
≤
=
≤
=
≤
∑
∑
−
a
n
X
P
n
a
X
P
a
Z
P
a
Z
P
a
Y
P
i
i
n
n
n
n
n
ln
2
ln
ln
2
ln
ln
ln
2
2
∫
∑
∞
−
−
=
⇔
=
Π
−
→
−
−
≤
−
=
−
−
≥
−
−
=
u
x
CTG
u
n
i
u
dx
e
n
n
a
n
U
P
n
n
a
n
n
n
X
P
0
2
1
2
1
1
ln
2
ln
1
ln
2
ln
ln
2
2
4
4 8
4
4 7
6
spr:
0
ln
2
ln
=
−
−
n
n
a
n
nln2=lna+n
lna=n(ln2-1)
)
(
2
2
)
1
2
(ln
D
e
e
e
a
n
n
n
n
→
=
=
=
−
Zadanie 5
≅
+
2
1
2
2
wykl
Z
Y
(
)
2
2
2
t
e
t
Z
Y
P
−
=
>
+
Γ
≅
+
Γ
≅
2
1
,
1
2
1
,
2
1
2
2
2
Z
Y
X
5
,
0
5
,
0
2
2
2
2
5
,
0
)
1
(
2
1
2
3
1
,
2
1
−
−
=
Γ
Γ
Γ
≅
≅
+
+
→
x
x
B
Z
Y
X
X
[ ]
∫
=
=
=
=
≤
+
+
=
−
2
2
0
0
5
,
0
5
,
0
2
2
2
2
2
6
,
0
5
,
0
a
a
a
x
x
a
Z
Y
X
X
P
ODP
Zadanie 10
OBLICZENIE STOPNI SWOBODY
Estymujemy k prawdopodobieństw brzegowych tzn:
j
j
j
n
n
n
⋅
=
+
2
2
1
Związane są jednym równaniem
∑
→
=
⋅
WYNIK
n
j
k-1 niezaleŜnych węzłów
2k-1 elementów tablicy moŜna wybrać poniewaŜ ostatni jako n-COŚ
Z tego wynika: liczba stopni swobody: 2k-1-(k-1)=k
