Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
n!
−1
− −
f ( x, y) =
1
−
F r ( x) f ( x) ( ) − ( )
( ) 1 − ( )
≤
rs
[ F y F x ] s r f y [ F y ] n s x y ( r − )
1 !( s − r − )
1 !( n − s)!
x 2
1
F ( x) = ∫
= 1−
x ≥ 1
t 3
x 2
1
n=4
2
2 1
1
2
f ( x, y) = 12
−
x ≤
y x, y > 1
14
3
2
2
3
x x
y y
∞ ∞
2
∞ ∞
ODP = ∫ ∫ x
2 2 1
1
12
−
dydx =
48
1
2
1 dydx
3
3
2
2
∫ ∫
−
+
=
2
4
4
2
2
4
y
x
y
x
y
x y
x
x y
y
1 x
1 x
∞
= ∫ 48 1
96 1
48 1
1
96 1
48 1
1 560 − 672 + 240
1 128
16
−
+
= 16 ⋅ −
+
=
=
=
6
3
4
5
2
7
x 3 x
x 5 x
x 7 x
8
5 8
7 8
8
35
8 35
35
1
Zadanie 2
∞
EM
E
X
X
P N
n
N = ∑
(min( ,...,
(
)
0
n )
=
n=0
dla
n
n 1
+
− t( n+ )
1
n ≥
1 P(min < t) = 1 − P (min > t) = 1 − P
( X > t) = 1 − e
− t( n+ )
1
f
( t) = ( n + )
1 e
min
∞
n
∞
n
1
EM
(
0)
1
N = P N =
+
λ
−
∑
e λ = −
e λ +
λ
−
∑
e λ = n − = m =
1 !
(
)
1 !
n= n
1
+ n
n=
n
1
+
∞
m+1
∞
m+2
−
= λ
e
+ ∑ λ
− λ
−
e
= λ
e
+ 1 ∑ λ
− λ
−
e
= λ
e
+ 1 (
− λ
−
1 − e
−
λ
e
λ
)
m
λ
m
λ
m= (
2)!
(
2)!
0
+
m=0
+
EN = λ
E( M N
E M N N
n P N
n
nE M
N
n P N
n
N
) ∞
∞
= ∑ ( N
= ) ( = ) = ∑ ( N
= ) ( = ) =
n=0
n=1
∞
n
∞
n
= ∑ n λ − λ
−
e
=
λ
1 −
λ
e
− ∑ 1
− λ
−
e
= − λ
e
− 1
1
( − λ −
1 − e
−
λ
e
λ
)
n
n
n
n
λ
n=
1 !
1 !
1
+
n=1
+
−
1
1
1
1
+
λ
− λ
− λ
− λ
− λ
− λ
− λ
− λ
λ 1
−
ODP = 1 − e
− + e + e − λe −1+ e + λe = e + e − = 1−
( λ
1 − e
)
λ
λ
λ
λ
λ
∞
∞ x
n
λ
P( S ≤ x) = ∑ P( S ≤ x N = n) P( N = n) = P( N = 0) + ∑ ∫
n−1 − λt
t
e
dt 1
( − q) n
q =
n
n=
( )
0
n=1
Γ
0
x ∞
n
= P( N = 0) + 1
( − q)∫ ∑ λ
n−1 − λt
n
t
e
q dx
( n
)
1 !
n
0
=1
−
1
4
4
4
2
4
4
4
3
A
∞
m+1
∞
m
A = n −
λ
t
λ q
1 = m = ∑
m − λt
m+1
t e
q
= λq ∑ ( )
− λtq λtq − λt
− λt −
e
e
e
=
1
(
q)
λqe
m
m
m=
!
!
0
m=0
x
ODP = 1 − q + 1
( − q)∫
− λt −
1
(
q
λqe
) dt = ...
0
ODP = 1 − q + q(
− λx 1
( − q
1 − e
) )
− λ 1
( − q) x
= 1− qe
Zadanie 4
Musi być: EE( N N
2
= EN
X
)
X
hiper
18
EN
X
= 15⋅
= 9
30
12
EN = 15 ⋅
= 6
2
30
i sprawdzamy:
5
E( )
A = 8 −
6 ≠ 9
36
25
1
E( B) =
− 6 ≠ 9
3
9
25
6
25
2
E( C) =
+ =
+ = 9
3
9
3
3
25
1
E( D) =
+ 6 ≠ 9
3
3
5
E( E) = 8 +
6 ≠ 9
36
czyli odpowiedź C prawidłowa
Zadanie 5
P(
1
S
,
0 S
0
P S
,
0 S
0 θ f ( θ)
8 >
6 =
) = ∫ ( 8 > 6 = )
0
P( S > ,
0 S = 0 θ = P S = 0 θ P X + X > 0 θ = 1
( − θ) 1 − 1
( − θ)
8
6
) ( 6
) ( 1
)
6
2
[
2 ]
P( S = 0 θ) 6
= P X = 0 θ = 1
( − θ)
6
(
)
6
P( X + X > 0 θ = 1− 1
( − θ)
1
)
2
2
LICZ = P( S
,
0 S
0
1
(
θ)
1
(
θ) 12 θ 1
(
θ)
..
8 >
= ) = ∫[ − 6
6
− − 8 ] 2 − =
0
P(
1
1
S
0
P S
0 θ f ( θ)
1
(
θ) 12 θ 1
(
θ)
MIAN
6 =
) = ∫ ( 6 = )
= ∫ − 6
2
−
=
0
0
1
1
LICZ = 1 − θ = t = ∫ ( 6
t − 8
t )12 1
( − 2
t) t = ∫ ( 7
12 t −
9
12 t )(1− 2 t + 2
t ) =
0
0
1
8
9
11
12 1
= ∫ 7
t
t
t
t
12 t −
8
24 t +
9
12 t −
9
12 t +
10
24 t
−
11
12 t
= 12
24
24
12
−
+
−
=
8
9
11
12
0
0
3
8
24
99 −176 + 144 − 66
1
= − +
−1 =
=
2
3
11
66
66
1
1
1
MIAN = ∫ 6
t 12 1
( − 2
t) t = ∫
7
12 t (1− 2 t + 2
t ) = ∫
7
12 t −
8
24 t +
9
12 t =
0
0
0
1
1
2 8
t
24 9
t
12 10
1
=
t
−
+
=
8
9
10
30
0
1
5
ODP =
30 =
66
11
Zadanie 6
6 ( N
np
i −
i )2
2
χ = ∑
np
i=1
i
n=6
6
2
χ = ∑ ( n
n
n
n
i − )2
1
= ∑ 2 i − 2∑ i + 6 = ∑ 2 i − 6
i=1
P( 2
χ > 1 ,
5 0863) = P(∑ 2
n
i
> 2 ,
1 0863)
moŜliwe tylko gdy któreś 6 lub któreś 5
=P(jakaś liczba wypadła 6 razy)+P(jakaś wypadła 5 razy i raz inna)=
wybo}rl iczby
}
mi }
ejsce
liczba
6
6 ⋅ 6 ⋅ 5
1
30
31
=
+
=
+
=
6
6
5
5
5
6
6
6
6
6
Zadanie 7
∂
5
(2 Y βx
x Y
x
i −
i )
5
2
= −∑ x
β
i
= 0 → ∑ i i = ∑ i
∂ β
ε
ε
ε
i=
var
var
var
1
i
i=1
i
i
∑ x Y
i i
var
β =
εi
2
∑ xi
var εi
∂2
2
= −∑.... − 2 xi > → βˆ
0
= β
∂ β 2
var εi
2
5
2
∑ xi = ∑ i = 15
2
2
var εi
i=1 iσ
σ
2
5
ˆ
β = ∑ iY σ
Y
i
= ∑ i = Y
2
iσ
15
i= 15
3
1
1 + 5
2
5
∑
σ
βi + 0
ˆ
15
β ≅ N β;
ˆ
2
β
β
E =
= β
=
= β
15
3 σ
5
15
→
2
2
∑
iσ
σ
15
2
ˆ
ˆ
σ
X = β − β ≅ N
;
0
var
2
β =
=
σ =
15
25 ⋅ 9
25 ⋅ 9
15
P( X < zσ )
zσ 15
= P N <
= 9
,
0 5 → z 15 = 9
,
1 6 → z = 5
,
0 1
σ
Zadanie 8
.
1 H : θ >
1 t ∈ (
)
1
,
0
t > 1 → 0
1
P
(max
θ =
> t) = 1
,
0 25
1
7
7
6
6
t =
K : max >
8
8
3
2
1
α
1
1
α + β = α, β ≤
8
8
6
max > 1 − α
.
2 H : θ < 1
1
P (max
θ
< t) = 1,
0 25
1
1
6
6
t =
K : max <
8
3
2
1
8
β
6
max <
β
6
6
6
1-
6
α
β
α + β −1
1 d
. l
a θ >
1 m
oc = 1 -
+
= 1+
θ
∀ m
o
c taka s
ama
6
θ
θ
θ
2. oba rosną
6
6
a =
β , b = 1 − α
1
1
6
.
1 θ <
to wtedy trzeba max 6
6
β =
8
8
7
jeśli
6
θ >
to tak samo, bo prawy przedział ma niŜsze prawdopodobieństwo 8
Z tego:
1
2
β = , α = 0 → K : max > l 1 ub m
ax <
8
2
czyli odpowiedź (B) prawidłowa
Zadanie 9
− λ
P( Z = )
1 = P( X < )
1 = 1 − e
2
− λ
− λ
− λ
2
− λ
P( Z = 2) = P 1
( < X < 2) = 1 − e
−1+ e = e − e
...
...
−( k− )
1 λ
− kλ
P( Z = k) = e
− e
n
−( Zi − )
L = ∏
1 λ
−
e
− Z λ
e i = ∏( − Z λ
e
( λe − )1 = ( e − ) n λ
− λ∑ Z
1 e
i
i
= ( e − ) n
λ
− λS
1 e
i=1
ln L = n ln( eλ − ) 1 − λS
∂
ne λ
ne λ − Se λ + S
=
− S = 0 →
= 0 → eλ ( n − S) = − S
λ
∂
e λ −1
e λ −1
S
e λ =
S − n
S
1
λ = ln
= ln
S − n
n
1 −
S
n
λˆ = − ln1 −
S
Zadanie 10
E( W
E W W
P W
E W W
P W
n ) =
( n n− <
n− <
+
n
n− >
n− >
1
)1 ( 1 )1 (
1
)1 ( 1 )1
E(
α
W W
n
n− < )
= 4
1
1
1 =
=
=
1
v = 1
4 −1
3
E(
α
W W
n
n− > )
= 3
1
1
1 =
=
=
1
v = 1
3 −1
2
.
1 P( W
P W
W
P W
P W
W
P W
n <
)1 = ( n <1 n− < n− <
+
n <
n− >
n− >
1
)1 ( 1 )1 (
1
1
)1 ( 1 )1
.
2 P( W
P W
W
P W
P W
W
P W
n >
)1 = ( n >1 n− < n− <
+
n >
n− >
n− >
1
)1 ( 1 )1 (
1
1
)1 ( 1 )1
3
1
1
1. p
p
q
n = 1
−
n + 1
−
1
−
n 1
−
1 + 1
2
4
3
1
1
2. q
p
q
n =
n
+
1
−
n 1
−
2
2
15
7
1
7
pn =
pn− + qn−
p =
q
1
1
16
8
lim 1
6
8
→
a
l
e p
+ q = 1
1
1
7
1
qn =
pn− + qn−
q =
p
1
1
16
8
8
16
Z tego:
1
7
14
1
p =
1
( − p) → p =
, q =
16
8
15
15
+
lim E( W
n )
1 14
1 1
14
1
28
3
31
=
+
=
+
=
=
3 15
2 15
45
30
90
90