Egzamin dla Aktuariuszy z 14 października 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
1
P(i) – prawdopodobieństwo, Ŝe od i-tego miejsca seria =
5
2
X
i =
1 g
dy s
eria
0 wpp
16
L – liczba serii = ∑ X
i
i=1
1
16
1
EL = 16 EX
i = 16 ⋅
=
=
25
32
2
Zadanie 2
X = X 0
X ≅ J (
)
1
,
0
i
ODL( X , X 0 = min X 1
, − X
i
)
( i
i )
OD = min{min( X 1
,
1
− X 1),min( X 1,
2
− X 2 ),...,min( X 1,− X
n
n )}
t
1
1
dla t ∈ ,
0
P(min( X 1
,
X
t
..
..
t
1 1 t
t
2
i
− i ) ≤ ) = ∫ + ∫ = + − + =
2
0
−
1 t
1
f
J
min( X −
1
,
X ) ≅
,
0
2
P(min < t) = 1 − P(min > t) = 1 − [ (
2
5
,
0 − )] n
t
=
n
n 1
f
n
t
Y = 2
( 5
,
0
) −
−
0,5
0,5
EY = ∫ tn 2 n ( 5
,
0 − n−1
t)
= 5
,
0 − t = x = ∫ ( 5
,
0 −
n
n−1
x) n 2 x
=
0
0
0,5
5
,
0 n 2 n xn
n 2 n n 1
+
x
n
n 2 n
n
5
,
0 n 1
+
5
,
0 n
5
,
0 n + 5
,
0 − 5
,
0 n
1
1
=
−
= 5
,
0 ⋅ 2
5
,
0
−
= 5
,
0 −
=
=
n
n + 1
n + 1
n + 1
n + 1
2 n + 1
0
Zadanie 3
EZ=0, varZ=1, Z ma rozkład normalny (0,1) Cov(Y+2X,X)=-2+2=0, z tego wynika Ŝe Z i X niezaleŜne i dwuwymiarowy normalny E( 2
Z X )
2
= EZ = 1
1 = E( Z 2 X ) = E( Y 2 X )+ E(4 XY X )+ E(4 X 2 X ) =
= E( 2
Y
X )+ 4 XE( Y X ) 2
+ 4 X = E( 2
Y
X )
2
2
− 8 X + 4 X → E( 2
Y
X )
2
= 1+ 4 X
σ y
Z REGRESJI E( Y X ) = m + ρ
−
= −2
y
( x mx )
X
σ x
Zadanie 4
X ≅ J (
)
1
,
0
i
et
P(ln X ≤ t =
<
= ∫ = → −
≅
i
) P( X et
i
)
et
ln X
wykl )
1
(
i
0
Z - iloczyn rozkł. Jednost.
n
P( Y
2
2
ln
ln
ln 2
ln
ln 2
ln
n ≤ a ) = P( n Z n ≤ a) = P( Z
≤
−
a
n
n
)= P(∑ Xi ≤ a− n )= P(−∑ Xi ≥ n − a)=
u
6 4
4 7
4
4 8
− ∑
2
ln X
n
i −
u
CTG
− x
n ln 2 − ln a − n
n ln 2 − ln a − n
=
1
1
P
≥
= 1− P U
1
e 2 dx
u
0
n ≤
→ −
∫
= ⇔ =
n
n
n
Π
2
−∞
2
n ln 2 − ln a − n spr:
= 0
n
nln2=lna+n
lna=n(ln2-1)
n
n
n(ln 2− )
1
2
2
a = e
=
= → ( D)
en
e
Zadanie 5
2
2
1
Y + Z ≅ wykl
2
−
P(
t
2
2
Y + Z > t) 2
= e
2
1 1
3
X
≅ Γ ,
Γ
2 2
2
X
1
2
−0,5
−0,5
→
≅ B 1
, ≅
x
= 5
,
0 x
2
2
2
X
+ Y + Z
2
1
2
2
1
Y + Z ≅ Γ ,
1
Γ Γ )
1
(
2
2
2
2
a
2
X
2
ODP = P
≤ a =
−0,5
0,5 a
5
,
0 x
x
a
,
0 6
2
2
2
∫
= [ ]0 = =
X + Y + Z
0
Zadanie 6
20
20
2
2
2
E∑( X
X
E
X
X
i −
)
=
∑ i − 20
i=1
i=1
2
2
2
σ
σ
σ
X
N µ
X
N µ
X
X
N µ
µ
1 ≅
,
,
1
2 ≅
,
,
2
1 −
2 ≅
1 −
,
2
10
10
5
E(
σ
X − X
=
+ µ − µ
1
)
2
2
2
( 1
)2
2
5
20
E∑ 2
X
σ
µ
σ
µ
σ
µ
µ
i
= 10( 2 + 2 10
20
10
10
1 )+
( 2 + 22)= 2 + 21 + 22
i=1
2
X
X
X
X
X
X
X
X
1 + ... +
10 +
11 + ... +
20
1 + ... +
10 +
11 + ... +
X
E
= E
20 =
20
20
= 1 [10( 2
σ + 2
µ
90 µ
2 100 µ µ
10 σ
µ
90 µ
1 )+
2
1 +
⋅
1
+ ( 2
2
+ 22 )+
2
2 ] =
400
2
2
σ
ˆ
σ
E
=
2
2
2
1
2
2
2
2
α20 σ +10 µ
10 µ
20 σ
100 µ
100 µ
200 µ µ
β
µ
µ
1 +
2 −
( + 1 + 2 +
1
2 )
+
+ ( 1 − 2 ) =
20
5
2
= α[ 2
σ
19 σ +
2
5 µ
5 µ
10 µ µ
β
µ
µ
1 +
2
2 −
1
2 ]
+
2
+ ( 1 − 2 ) =
5
2
β
= σ 19 α + + ( µ − µ
α + β
1
2 )2 5
(
)
5
β
1
9 α +
= 1
1
5
5
→ 19 α − α = 1 → α =
, β = −
18
18
5
α + β = 0
Zadanie 7
1
1
1
1
t
P(
−1
−
− ln X
t
P
e
P X
e
x
x
e
wykl
i <
) 1
=
t
t
1
1
< = ( > − )= ∫
θ
= θ
= 1− θ ≅
X
− θ
θ
t
− t
e
e
− ∑
1
ln X
,
i ≅ Γ n
θ
1 1
1
L
∏ n −
=
θ
X
i
n
θ
i=1
1
ln L = − n ln θ + ∑
−
1 ln X
θ
i
∂ = − n − ∑ 1 ln X = 0
∂
2
i
θ
θ
θ
θ
n + ∑ ln X
∑ln X
i = → θ
i
ˆ
0
= −
θ 2
n
2
+1
1
E( θ 2 − θ
θ ˆ
2
+ θ 2
ˆ )
2
2
n
2
2
θ
= θ − θ
2
+
θ = θ 1 +
−1 =
n
n
n
Zadanie 8
X ≅ Γ( α, β) t
1
t
θ
α
w
α
t
α
α
−
− w
β
t
β
1
β
β
w
1
P X ≤
= P( Xθ ≤ t)
= P X ≤ = ∫
α−
− βx
x
e
= ∫
.. = ∫
θ
e
dw =
θ
θ
Γ( α)
Γ( α)
Γ( α) θ
θ
0
0
0
β α
β α
α
θ
w
t
α−1
−
t
β
− w
= ∫ θ
w
1
θ
1
β
θ
e
=
β
α
θ
w
e
F t
(
) d
l
a
α,
α−1
∫
−
=
Γ
Γ( α) θ
θ
Γ( α)
θ
0
0
t
β
czyli: X ≅ Γ( α, β) → P X ≤
= F t
(
) d
l
a Γ
α,
θ
θ
S ≅ Γ ;
5
( θ)
5
2 a
P S ≤
= F a
Γ
≅ χ
→ a =
→ a ≈
5
(2 )
1
d
l
a
5,
1
( 0)
2
,
3 247
,
1 62
2 θ
2
2 a
P S >
= 1− F a
Γ
≅ χ
→ a =
→ a ≈
5
(2 )
1
d
l
a
5,
1
( 0)
2
2 ,
0 483
1 ,
0 24
2 θ
2
Zadanie 9
H
H
0
1
k −
1
k −
1
1
1
4
4
k=5
OG: H dla k:
H :
do końca
25
48
0
25
1
48
5
5
5
5
do k =25 dalej
H 1 = 70 d la k > 2 5 ∞
H
48
0
do K na pewno k>25
k=25 P
= ,
0 2 → K : x
≥
25
{
2
max
}
5
k −
1
24
48
moc =
4
5
P x
25
9
,
0 75
1 P x
25
1
( E)
1 ( max ≥
) = ∑
≈
= − ( max < )
= −
→
k =
48
48
25
5
5
Zadanie 10
OBLICZENIE STOPNI SWOBODY
n 1 + n
j
2 j
Estymujemy k prawdopodobieństw brzegowych tzn:
= n⋅ j
2
Związane są jednym równaniem ∑ ⋅
n
k-1 niezaleŜnych węzłów
j = WYNIK →
2k-1 elementów tablicy moŜna wybrać poniewaŜ ostatni jako n-COŚ
Z tego wynika: liczba stopni swobody: 2k-1-(k-1)=k