Funkcją pierwotną
danej funkcji f(x),
nazywamy taką funkcję F(x), której
pochodna jest równa f(x), tj. gdy:
xX : F’(x) =
f(x)
Definicja
:
Przykład 1.
Funkcja F(x) = sin x jest funkcją
pierwotną
funkcji f(x) = cos x , ponieważ:
Przykład 2.
Funkcja G(x) = x jest funkcją
pierwotną
funkcji g(x) = ,
ponieważ:
2
x
1
F’(x) = (sin x)’ = cos x = f(x)
2
x
1
G’(x) = (
x
)’ = =
g(x)
Twierdzenie
1:
Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną
funkcji f(x) , to:
1
o
funkcja
G(x) = F(x) + c
, cR jest
także funkcją pierwotną funkcji
f(x) ;
2
o
każda funkcja pierwotna funkcji
f(x) da się przedstawić w postaci
F(x) + c
.
Mając jakąkolwiek funkcję pierwotną F(x)
możemy z niej otrzymać każdą inną funkcję
pierwotną przez dodanie stałej.
Wniosek:
Definicja
:
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych
funkcji f(x) nazywamy
całką nieoznaczoną
funkcji f(x)
i oznaczamy symbolem:
dx
x
f
)
(
przy tym
znak
nazywamy symbolem
całki,
f(x) dx
- wyrażeniem
podcałkowym,
f(x)
- funkcją podcałkową.
Mając na uwadze definicję całki
nieoznaczonej oraz ostatnie twierdzenie o
funkcjach pierwotnych otrzymujemy
podstawowy wzór rachunku całkowego:
dx
x
f
)
(
= F(x) + c ,
w którym F(x) jest dowolną ustaloną funkcją
pierwotną funkcji f(x) , c - dowolną stałą,
zwaną tu stałą całkowania.
Podstawowe wzory (1):
Podstawowe wzory (1):
c
dx
0
c
x
dx
1
,
1
1
n
c
n
x
dx
x
n
n
,
ln
1
c
x
dx
x
c
e
dx
e
x
x
1
,
0
,
ln
a
a
c
a
a
dx
a
x
x
Podstawowe wzory (2):
Podstawowe wzory (2):
c
x
dx
x
cos
sin
c
x
x
dx
ctg
sin
2
c
x
dx
x
sin
cos
c
x
x
dx
tg
cos
2
c
x
arc
x
dx
tg
1
2
c
x
arc
x
dx
sin
1
2
Twierdzenie
:
Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną , a k
jest stałą to funkcja
k f(x)
jest również
całkowalna, przy czym dla k0, spełniona
jest równość:
dx
x
f
k
)
(
dx
x
f
k
)
(
Twierdzenie
:
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne ,
to ich suma oraz różnica są również
całkowalne, przy czym:
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
Przykład 1.
Przykład 2.
dx
x
e
x
)
3
(
2
dx
x
dx
e
x
2
3
dx
x
dx
e
x
2
3
c
x
x
e
3
3
3
c
x
e
x
3
dx
x
x 3
2
dx
x
dx
x
x
3
2
dx
x
dx
1
3
2
c
x
x
ln
3
2
dx
x
x
x
3
2
Przykład 1.
dx
x
x
x
15
7
7
2
2
Twierdzenie
:
0
)
(
,
)
(
ln
)
(
)
(
'
x
f
c
x
f
dx
x
f
x
f
c
x
x
15
7
ln
2
Przykład 2.
dx
x
x
cos
sin
dx
x
tg
c
x
cos
ln
1
o
Metoda tożsamościowego
przekształcenia funkcji
podcałkowej;
2
o
Metoda całkowania przez
podstawienie;
3
o
Metoda całkowania przez
części.
Podstawowe metody
Podstawowe metody
całkowania
całkowania
Metoda tożsamościowego
Metoda tożsamościowego
przekształcenia funkcji
przekształcenia funkcji
podcałkowej
podcałkowej
Przykład:
x
x
dx
2
2
cos
sin
dx
x
x
x
x
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
dx
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
cos
sin
sin
dx
x
x
2
2
sin
1
cos
1
x
dx
x
dx
2
2
sin
cos
c
x
x
ctg
tg
Metoda całkowania przez
Metoda całkowania przez
podstawienie
podstawienie
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja t = (x) jest różniczkowalna w
przedziale (, ) i odwzorowuje ten przedział na
przedział (a, b), w którym funkcja f (t) jest
całkowalna, to zachodzi wzór:
dt
t
f
dx
x
x
f
)
(
)
(
'
)]
(
[
Wniosek.
W praktyce możemy korzystać z dwóch wzorów:
dt
t
f
dt
dx
x
g
t
x
g
dx
x
g
x
g
f
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)]
(
[
dt
t
h
t
h
f
dt
t
h
dx
t
h
x
dx
x
f
)
(
'
)]
(
[
)
(
'
)
(
)
(
Przykład 1.
Przykład 2.
dt
dx
dt
dx
t
x
2
1
2
3
2
dx
x
)
3
2
(
cos
dt
t
cos
2
1
c
t
sin
2
1
c
x
)
3
2
(
sin
2
1
dx
x
x
)
tg
tg
(
5
dt
t
t
t
2
5
1
dt
t
dx
t
arc
x
t
x
2
1
1
tg
tg
dt
t
t
t
1
)
1
(
2
4
dt
t
t
t
t
1
)
1
)(
1
(
2
2
2
dt
t
t
)
(
3
dt
t
dt
t
3
c
t
t
2
4
2
4
c
x
x
2
tg
4
tg
2
4
Metoda całkowania przez części
Metoda całkowania przez części
Twierdzeni
e.
Jeżeli funkcje u(x), v(x) mają pochodne
będące funkcjami ciągłymi w pewnym
przedziale X, to na tym przedziale
prawdziwy jest wzór:
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
nazwany wzorem
całkowania przez
części
.
Przykład 1.
x
e
x
v
x
u
x
e
x
v
x
x
u
)
(
1
)
(
'
)
(
'
)
(
dx
e
x
x
dx
e
e
x
x
x
1
c
e
e
x
x
x
Przykład 2.
dx
x
ln
dx
x
ln
1
x
x
v
x
x
u
x
v
x
x
u
)
(
1
)
(
'
1
)
(
'
ln
)
(
dx
x
x
x
x
1
ln
c
x
x
x
ln
•
•
