Podstawowe wzory

∫ dx= x C

∫ ctg x=ln∣sin x∣ C

∫

xa1

xa=

 C , a≠−1

∫ dx = tg x C , cos x≠0

a1

cos2 x

∫ dx =ln∣ x∣ C ,x≠0

∫ dx =− ctg x C , sin x≠0

x

sin2 x

∫ ex dx= ex C

∫ dx =arcsin x C , −1 x1

1− x 2

∫

ax

ax dx=

 C

ln a

∫ dx = arctg x C

∫

x 2

cos x dx

1

=sin x C

1

x

∫sin xdx=−cos x C

∫ dx = arctg  C

x 2 a 2 a

a

∫ tg x=−ln∣cos x∣ C

∫ dx

x

=arcsin

 C , ∣ x∣∣ a∣

 a 2− x 2

∣ a∣

∫[ f  x g  x] dx=∫ f  x dx∫ g  x dx

∫[ f  x− g x] dx=∫ f  x dx−∫ g x dx

∫ kf  x dx= k∫ f  x dx Całkowanie przez części

∫ f  x g '  x dx= f  x g  x−∫ f '  x g x dx

∫ xcosx dx=∣ f  x= x f '  x=1 ∣= xsinx−∫1sinx dx= x sin xcos x C

g  x=sin x g '  x =cos x Całkowanie przez podstawienie

∫ f  x dx=∫ f  t '  t dt gdzie x= t 

∫

1

1

1

2x−13 dx=∣2 x−1= t 2d x= dt ∣= ∫ t 3 du= t 4 C= 2 x−14 C

1

2

8

8

d x= dt

2

Kilka dodatkowych wzorów wartych zapamiętania

∫ f '  x dx=ln∣ f  x∣ C ∫ f '  x e f x dx= ef  x C ∫ f '  x dx=arctan f  x C

f  x 

1[ f  x]2

∫ f '  x dx=2 f  x C ∫ f '  xcos f  x dx=sin f  x C

 f  x

Całki trygonometryczne Podstawienie uniwersalne.

x

tan = t ⇒ x=2 arctan t 2

2 dt

2t

1

dx

− t 2

=

sin x=

cos x=

1 t 2

1 t 2

1 t 2

Wzory redukcyjne:

n=±1,±2, ...

∫

1

n

sin n x dx

−1

=− sin n−1 x cos x

∫ sin n−2 x dx

n

n

∫

1

n

cos n x dx

−1

= cos n−1 x sin x

∫ cos n−2 x dx

n

n

Przydatne wzory trygonometryczne:

sin2 xcos2 x=1

cos 2x=cos2 x−sin2 x=2cos2 x−1=1−2 sin2 x 1

cos2 x= cos2x1

2

1

sin2 x=− cos 2x−1

2

sin 2x=2 sin x cos x

Warto pamiętać, że:

∫

1

sin x cos n xdx=−

cos n1 x C

n1

∫

1

cos x sin n xdx=

sin n1 x C

n1

∫

1

sin nx dx=− cos nx C

n

∫

1

cos nx dx= sin nx C

n