Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
1/2
Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych
Zadania na ćwiczenia
Przygotuj funkcję wymierną do całkowania:
Zad. 1.
x
x
x
x
3
2
4
1
2
=
Odp.
1
2
1
2
1
x
x
x
x
Zad. 2.
3
5
2
3
4
5
1
4
3
4
x
x
x
x
x
x
Odp.
1
1
1
2
4
2
3
x
x
x
x
Tw. Każdy wielomian W(x) 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.
Tw. Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n różnych pierwiastków.
Tw. Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Tw. Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu
)
(x
W
wtedy i tylko wtedy,
gdy
)
(x
W
jest podzielny przez dwumian
)
(
a
x
.
Wyznaczyć całki:
Zad. 3.
x
a
x
d
1
…
Odp.
C
a
x
|
|
ln
Zad. 4. dla
1
m
,
x
a
x
m
d
)
(
1
…
Odp.
1
dla
1
)
)(
1
(
1
m
C
m
a
x
m
Zad. 5.
x
x
f
x
f
d
)
(
)
(
'
)
('
d
)
(
x
f
t
x
f
t
= …
Odp.
C
x
f
|
)
(
|
ln
Niech trójmian kwadratowy
q
px
x
2
ma wyróżnik
0
4
2
q
p
, czyli
0
)
4
/
(
,
np. zad. 10 na poprzednich ćwiczeniach:
13
4
2
x
x
ma
0
36
13
4
4
2
,
0
9
)
4
/
(
.
Zad. 6.
x
q
px
x
p
x
d
2
2
....
..........
d
2
t
q
px
x
t
=…
Odp.
C
q
px
x
|
|
ln
2
Zad. 7.
x
q
px
x
d
1
2
…
Odp.
C
p
x
4
/
2
/
arctg
4
/
1
Zad. 8.
x
q
px
x
B
Ax
d
2
x
q
px
x
p
A
B
p
x
A
d
2
)
2
(
2
2
x
q
px
x
p
A
B
x
q
px
x
p
x
A
d
1
2
d
2
2
2
2
Zad. 9.
x
x
x
x
d
8
4
1
3
2
16
8
4
)
4
(
2
=
x
x
x
x
d
8
4
....
1
)
4
2
(
2
...
2
…
Zad. 10. Dla
0
,
1
a
n
t
a
t
n
n
d
1
2
2
I
1
2
2
3
2
)
1
(
2
2
1
2
2
2
1
1
n
n
n
a
a
x
n
a
I
t
n
.
Zad. 11.
x
n
q
px
x
B
Ax
d
2
x
n
q
px
x
p
A
B
p
x
A
d
2
)
2
(
2
2
x
n
q
px
x
p
A
B
x
n
q
px
x
p
x
A
d
1
2
d
2
2
2
2
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
2/2
Zadanie domowe
Zaproponuj rozkład na ułamki proste funkcji
Zad. 1.
2
2
2
2
2
4
7
)
(
b
x
a
x
x
x
W
Odp.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
)
(
b
x
H
Gx
b
x
F
Ex
a
x
D
a
x
C
x
B
x
A
b
x
a
x
x
x
W
Wyznacz całki:
Zad. 2.
x
x
x
x
x
x
d
4
4
8
2
4
3
5
Odp. =
x
x
x
x
x
x
d
4
1
1
2
2
2
=
=
C
x
x
x
x
x
2
arctg
2
1
4
ln
2
1
1
ln
2
2
2
2
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Dla całki
x
x
x
R
d
)
cos(
),
sin(
gdzie R oznacza funkcję wymierną:
stosujemy podstawienie
)
2
/
(
tg x
t
,
wtedy:
)
(
arctg
2
t
x
,
2
1
d
2
d
t
t
x
,
2
1
2
)
sin(
t
t
x
,
2
2
1
1
)
cos(
t
t
x
.
W szczególności:
jeśli
)
cos(
),
sin(
x
x
R
jest nieparzystą funkcją sin(x), tzn,
)
cos(
),
sin(
)
cos(
),
sin(
x
x
R
x
x
R
tzn. że całka jest postaci
x
x
x
x
R
d
)
sin(
)
cos(
),
(
sin
~
2
więc stosujemy podstawienie t = cos(x),
jeśli
)
cos(
),
sin(
x
x
R
jest nieparzystą funkcją cos(x) tzn,
)
cos(
),
sin(
)
cos(
),
sin(
x
x
R
x
x
R
tzn. że całka jest postaci
x
x
x
x
R
d
)
cos(
)
(
cos
),
sin(
~
2
więc stosujemy podstawienie t = sin(x),
jeśli
)
cos(
),
sin(
x
x
R
jest parzystą funkcją sin(x) i cos(x) tzn,
)
cos(
),
sin(
)
cos(
),
sin(
x
x
R
x
x
R
tzn. że całka jest postaci
x
x
x
x
R
d
)
(
tg
),
(
cos
),
(
sin
~
2
2
więc stosujemy podstawienie t = tg(x),
wtedy:
)
(
arctg t
x
,
2
1
d
d
t
t
x
,
2
1
)
sin(
t
t
x
,
2
1
1
)
cos(
t
x
.
Wyznacz całkę:
Zad. 3.
x
x
x
x
x
d
)
(
sin
)
(
sin
)
(
cos
)
(
cos
4
2
5
3
…
.Wskazówka Zastosuj podstawienie t = sin(x)
Odp.
C
x
x
x
t
t
t
t
t
t
-t
-t
)
sin(
arctg
6
)
sin(
2
)
sin(
...
d
1
1
d
1
2
1
2
2
2
2
2
2
6
2
.
Zad. 4.
x
x
x
d
)
(
sin
)
(
cos
4
2
… Wsk. Zastosuj podstawienie t = tg(x).
Odp.
C
x
)
(
ctg
)
3
/
1
(
3
.
Ciekawe związki:
'
)
(
tg
)
(
cos
1
1
)
(
tg
2
2
x
x
x
,
'
)
(
ctg
)
(
sin
1
1
)
(
ctg
2
2
x
x
x
.