Wykład 3: Rozkłady

zmiennych losowych

Biometria i

Biostatystyka

Zmienne losowe



Zmienna losowa jest to funkcja
przyporządkowująca każdemu
zdarzeniu losowemu wartość
liczbową.



Zmienną losową oznacza się
zwykle literami alfabetu greckiego
lub dużymi literami alfabetu
łacińskiego.

Rozkład częstości

Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga

urodzeniowa dziecka będzie w przedziale klasy

2440g?

p=0.0677

Rozkład częstości

Waga urodzeniowa < 3000 g

Jaki procent dzieci?

28.57%

Rozkład częstości

Dokonujemy pomiaru wagi urodzeniowej
dziecka losowo wybranego z nieznanej populacji
i ma ono wagę urodzeniową równą 6000 g.

Czy ta nieznana populacja ma rozkład częstości
taki sam jaka nasza?

Rozkład częstości

P(Birthweight~6000) →
0

Rozkład częstości

Najprawdopodobniej odrzucilibyśmy hipotezę, iż

nieznana populacja ma rozkład taki sam jak

nasza, gdyż prawdopodobieństwo przynależności

do klasy 6000 g jest prawie równe zeru (mniejsze

niż 10

-12

).

Wnioskowalibyśmy, że nieznana populacja ma

prawdopodobnie inną wartość średnią i/albo

wariancję.

Rozkład częstości

Wykorzystaliśmy empiryczny rozkład częstości
do oceny i wnioskowania o przynależności do
naszej populacji. W wielu przypadkach
będziemy się jednak opierać nie na rozkładach
empirycznych, lecz na teoretycznych
założeniach. Często mamy przesłanki, by
założyć iż dane powinny mieć ściśle określony
rozkład częstości. Jeśli nasze przypuszczenia się
nie potwierdzą eksperymentalnie, powinniśmy
ponownie zastanowić się nad tymi założeniami i
wnioskami wyciągniętymi na ich podstawie.

Funkcja rozkładu
prawdopodobieństwa (gęstość
prawdopodobieństwa)

Rozkład teoretyczny częstości nazywamy

funkcją gęstości prawdopodobieństwa.

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej losowej ξ nazywa się
prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na tym, że zmienna przyjmie
jedną wartości należących do pewnego
przedziału. Oznacza się ją zwykle symbolem

)

(

2

1

x

x

P







Gęstość zmiennej losowej
ciągłej

Gęstością prawdopodobieństwa zmiennej
losowej ciągłej nazywa się granicę:

Ich graficzną reprezentację nazywamy
krzywymi gęstości.

)

(

}

{

}

{

lim

0

x

f

x

x

P

x

x

P

x























Dystrybuanta



Dystrybuantą zmiennej losowej ξ
nazywa się prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że
zmienna losowa ξ przyjmie wartość
mniejszą od ustalonej rzeczywistej
wartości x. Zwykle
prawdopodobieństwo to oznacza się w
następujący sposób:

)

(

}

{

x

F

x

P







Funkcje gęstości dyskretnych
zmiennych losowych



Rozkład dwumianowy



Rozkład geometryczny



Rozkład hipergeometryczny



Rozkład Poissona

Rozkład dwumianowy



Załóżmy, że przeprowadzono n
niezależnych eksperymentów lub prób (n
jest znaną liczbą) i w każdej z prób wynik
jest

„sukcesem”

z prawdopodobieństwem

p

a

„porażką”

z prawdopodobieństwem

q=1-p

.



Całkowita liczba sukcesów w n próbach, X,
jest zmienną losową o rozkładzie
dwumianowym o parametrach n i p.

Rozkład dwumianowy

Prawdopodobieństwo, że X=k, oznaczane

jako p(k), można wyliczyć w następujący
sposób:



Konkretna konfiguracja niezależnych k
sukcesów i (n-k) porażek wystąpi z
prawdopodobieństwem



Całkowita liczba takich konfiguracji

k

n

k

p

p



 )

1

(













k

n

k

n

k

k

n

k

p

p

k

n

k

n

p

p

k

n

k

p



























)

1

(

)!

(

!

!

)

1

(

)

(

Rozkład dwumianowy

Wartość średnia to:

p

n

)

x

(

p

x

)

X

(

E

x

n

1

i

i

i













Wariancja:

q

p

n

)

x

(

p

)

x

x

(

)

X

(

Var

s

n

1

i

i

2

i

2

















Rozkład dwupunktowy
(Bernoulliego) z
prawdopodobieństwem sukcesu
p

Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie różne wartości a i b (np.
pojedynczy rzut monetą, n=1). Oznaczmy prawdopodobieństwo
przyjęcia wartości a przez p, a prawdopodobieństwo przyjęcia
wartości b przez q = 1 – p. Kodując zmienną losową w postaci:
‘sukces’ – wartość a – jako 1 a ‘porażka’ – wartość b – jako 0
wyliczamy wartość średnią:

p

p

1

q

0

)

x

(

p

x

)

X

(

E

x

1

0

i

i

i



















natomiast wariancja znaleziona być może jako:

pq

)

q

p

(

pq

p

q

q

p

p

)

p

1

(

q

)

p

0

(

s

2

2

2

2

2

























Rozkład dwumianowy

Wartość średnia i wariancja
rozkładu dwumianowego przy n
próbach to

n-krotność

wartości

średniej i wariancji w pojedynczej
próbie (rozkładu Bernoulliego)

Rozkład dwumianowy

n=10, p=0.5

n=10, p=0.1

Przykład



Choroba Tay-Sachsa jest rzadką chorobą

o podłożu genetycznym ujawniającą się

w wieku niemowlęcym i

wczesnodziecięcym. Jeśli matka i ojciec

są nosicielami mutacji genetycznej Tay-

Sachsa, ich dziecko będzie chore z

prawdopodobieństwem równym 0.25.



Jeśli taka para ma czworo dzieci, jaka jest

funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

liczby dzieci chorych w rodzinie?

Rozkład dwumianowy

0.31
6

0.42
2

0.21
1

0.04
7

0.00
4



Rozkład geometryczny jest również
konstruowany w oparciu o próby
Bernoulliego, jednak ich liczba jest
nieskończona. W każdej próbie sukces
występuje z prawdopodobieństwem p a
zmienna losowa X określa liczbę całkowitą
prób do osiągnięcia pierwszego sukcesu –
czas oczekiwania na sukces. Aby X=k,
musi być k-1 porażek a potem sukces w k-
tej próbie. Stąd

Rozkład geometryczny

p

p

k

p

k 1

)

1

(

)

(







Rozkład geometryczny

Wartość oczekiwana:

p

X

E

1

)

(



a wariancja:

2

1

)

(

p

p

X

Var





Przykład

Rozkład
hipergeometryczny



Załóżmy, że w słoju znajduje się n kul,
przy czym r jest czarnych a n-r białych.



Zmienna losowa X określa liczbę kul
czarnych spośród m wylosowanych w
jednej próbie (losowanie bez zwracania).
Zatem















































m

n

k

m

r

n

k

r

k

p

k

X

P

)

(

)

(

Rozkład
hipergeometryczny



Wybranie jednej kuli czarnej możliwe jest z
prawdopodobieństwem r/n.



Prawdopodobieństwo wybrania drugiej jest już inne i
wynosi (r-1)/(n-1). Byłoby r/n gdybyśmy losowali ze
zwracaniem.



Rozkład dwumianowy jest poprawnym modelem tylko
dla przypadków losowań ze zwracaniem i/lub
nieskończenie dużych liczności n.

Rozkład
hipergeometryczny

Wartość średnia:

n

r

m

X

E



)

(

Wariancja:











 







n

r

n

r

n

m

n

m

X

Var

1

1

)

(

)

(

Przykład

Załóżmy, iż w pudle jest 100
dyskietek, z których 20 jest
uszkodzonych.
Wybieramy losowo 10 dyskietek.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że
co najwyżej dwie będą uszkodzone?
n=100 r=20 m=10

Przykład

Rozkład Poissona



Rozkład Poissona jest aproksymacją
rozkładu dwumianowego, gdy liczba
prób n jest bardzo duża oraz
prawdopodobieństwo sukcesu w każdej
próbie, oznaczone symbolem p, jest
bardzo małe. Oznaczmy np=λ, wówczas

!

)

(

k

e

k

p

k









Rozkład Poissona



Zazwyczaj uznaje się, że warunki te są spełnione
gdy p<0.1 oraz np<5.



Jeśli tak jest, zmienna będzie miała rozkład
Poissona pod warunkiem, że każde wystąpienie
‘sukcesu’ jest niezależne od pozostałych
‘sukcesów’ – dlatego sprawdzając zgodność z
rozkładem Poissona pośrednio możemy
sprawdzić niezależność prób.

Rozkład Poissona

Wartość oczekiwana:





)

(X

E

Wariancja:





)

(X

Var

Rozkład Poissona

Przykład



Rzucamy kostką 100 razy i zliczamy liczbę
wystąpień dwóch szóstek równocześnie –
zmienna losowa X.



Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy,
przy czym n=100 a p=1/36=0.0278.



Ponieważ n jest duże a p bardzo małe
(np<5), możemy przybliżyć rozkład
dwumianowy rozkładem Poissona z
λ=np=2.78

Przykład

Inny przykład



Załóżmy, iż liczba telefonicznych
zgłoszeń awarii ma rozkład Poissona o
parametrze lambda równym λ=0.5 na
godzinę.



Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie
będzie żadnych zgłoszeń w ciągu 5
godzin?

Inny przykład



Zatem liczba zgłoszeń w przeciągu 5
godzin ma rozkład Poissona z
parametrem ω=5λ=2.5.
Prawdopodobieństwo, iż nie będzie
żadnych zgłoszeń w ciągu 5 godzin
można obliczyć jako

082

.

0

)

0

(

5

.

2









e

k

p

!

)

(

k

e

k

p

k









Rozkłady ciągłych zmiennych
losowych

W przypadku ciągłych

zmiennych losowych rolę

funkcji częstości przejmuje

funkcja gęstości f(x), która ma

następujące właściwości:













1

)

(

and

0

)

(

dx

x

f

x

f









b

a

dx

x

f

b

X

a

P

)

(

)

(

oraz

Rozkłady ciągłych zmiennych
losowych



Rozkład równomierny
(jednostajny)



Rozkład wykładniczy



Rozkład normalny

Funkcja gęstości rozkładu
równomiernego



Dystrybucja, która przyjmuje stałą wartość w
całym zakresie zmienności zmiennej losowej
jest nazywana rozkładem równomiernym.



Ma ona postać























x

b

for

b

x

a

for

a

b

a

x

for

X

P

0

1

0

)

(

Rozkład równomierny













x

dx

x

f

x

X

P

X

F

)

(

)

(

)

(

Dystrybuant
a

Funkcja gęstości rozkładu
wykładniczego



Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym
używana jest najczęściej do opisu czasu
życia maszyn, części czy osób bądź innych
organizmów żywych. Używa się jej również
do opisu czasu oczekiwania do
zrealizowania zamówienia.



Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (pdf)
dla konkretnej wartości parametru λ:

0

and

x

0

for

,

)

(

1



















x

e

x

f

Rozkład wykładniczy

Wartość oczekiwana:

wariancja:





















0

1

)

(

dx

e

x

X

E

x





2

0

2

1

)

(

























dx

e

x

X

Var

x

Rozkład wykładniczy

15





Rozkład wykładniczy



0

1

)

(

0

x

e

x

X

P











0

)

(

1

)

(

)

(

0

0

0

x

e

x

X

P

x

X

P

x

S















a
funkcja

nazywana jest krzywą
przeżywalności.

Możemy
wyznaczyć

Rozkład wykładniczy

Przykład

Niech zmienna losowa X oznacza
‘czas życia’ pralki. Zgodnie z
informacjami producenta średni
użytkowania takiej pralki to 15 lat.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że
pralka będzie mogła być używana
jedynie przez okres krótszy niż 6 lat?

Jakie jest prawdopodobieństwo, że
pralka posłuży swojemu właścicielowi
co najmniej 18 lat?

Przykład

0.0447

0.0667

P(X≤6) ≈ 0.0447·6+(0.0667-0.0447)·6/2

=

0.3342

Przykład

0.3297

1

)

6

(

15

6











e

X

P

3012

.

0

)

18

(

15

18









e

X

P

Podsumowując, dla tego modelu
pralki istnieje około 30% szansa,
że pralka będzie działa zarówno
bardzo długo jak i relatywnie
krótko w stosunku do średniego
czasu pracy tych pralek.

Przykład

Niech Y będzie zmienną losową o rozkładzie
Poissona, określającą liczbę wystąpień w
jednostce czasu

gdzie μ jest średnią liczbą wystąpień w
jednostce czasu. Wtedy, jeśli X określa czas do
pierwszego wystąpienia, wówczas ta zmienna
losowa ma rozkład wykładniczy o średniej

Poisson i wykładniczy ...

,

!

)

(

k

e

k

Y

P

u

k 















1

)

(X

E

Przykład



Przeciętnie na pewnym odcinku
autostrady odnotowuje się 8
wypadków drogowych w ciągu
dwóch dni.



Jakie jest prawdopodobieństwo, że
nie będzie żadnego wypadku w
ciągu 3 dni lub więcej?

Przykład



Średnia liczba wystąpień wypadków

samochodowych w ciągu dnia to 4. Zatem

średni czas oczekiwania na wypadek to 0.25

(dnia).



Niech Y będzie zmienną losową o rozkładzie

Poissona o średniej 4, reprezentującą liczbę

wypadków na dzień.



Wtedy X będzie zmienną losową o rozkładzie

wykładniczym i średniej reprezentującej czas

oczekiwania do wystąpienia pojedynczego

wypadku.

Przykład

P(brak wypadku przez 3 lub więcej dni) =
P(czas do pierwszego wypadku ≥ 3)

0

)

3

(

12

25

.

0

3













e

e

X

P

Rozkład normalny



Funkcja gęstości rozkładu normalnego

pełni

bardzo ważną rolę w probabilistyce i
statystyce. Nazywa się ją również funkcją
gaussowską, gdyż Carl Friedrich Gauss,
zaproponował ją jako model błędów
pomiarowych (w roku 1809).



Funkcja gęstości rozkładu normalnego jest
używana jako model zmienności takich
wielkości jak wzrost osób, IQ, czy prędkość
molekuł gazu.

Rozkład normalny



Funkcja gęstości rozkładu normalnego
zależy od dwóch parametrów, μ -
średniej oraz σ – odchylenia
standardowego (przy czym -∞< μ< ∞ i σ
> 0):

2

2

2

)

(

2

1

)

(















x

e

x

f

Rozkład normalny

μ=0

μ=4

Rozkład normalny

σ=2

σ=3

σ=1

Rozkład normalny



Krzywa jest symetryczna wokół wartości

średniej. Wartość średnia, mediana i

moda są takie same.



Nastepujące części pomiarów zmiennej

o rozkładzie normalnym znajdują się

wewnatrz przedziałów:
μ ± σ zawiera 68.72 % pomiarów
μ ± 2σ zawiera 95.45 % pomiarów
μ ± 3σ zawiera 99.73% pomiarów

Reguła trzech sigm – 68-95-
99.7

68.27%

95.45%

99.73%

Rozkład normalny

Dystrybuanta

Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa

2.28%

5.87%

50.00%

34.13%

13.59%

2.14%

Standardowy rozkład
normalny



Przypadek szczególny, gdy =0

oraz =1 określa tzw. standardową

normalną dystrybucję.



Dystrybuanta rozkładu
standardowego oznaczana jest
symbolem  a jego funkcja

gęstości .

Dystrybuanta standardowego
rozkładu normalnego – tabela.
Przykład 1



Jaka część obserwacji
standardowej zmiennej normalnej
Z przyjmuje wartości mniejsze niż
1.4?

Dystrybuanta standardowego
rozkładu normalnego – tabela.
Przykład 1



Znajdź część obserwacji ze
standardowego rozkładu
normalnego które są mniejsze niż –
2.15.

Dystrybuanta standardowego
rozkładu normalnego – tabela.
Przykład 2

Dystrybuanta standardowego
rozkładu normalnego – tabela.
Przykład 2

Standaryzacja zmiennej
losowej



Prawdopodobieństwo dla określonej realizacji
zmiennej losowej o dowolnym rozkładzie
normalnym może być wyznaczone z użyciem
rozkładu standardowego.



Wykorzystuje się tutaj następującą
właściwość:

)

,

(

~

to

,

oraz

)

,

(

~









a

b

a

N

Y

b

aX

Y

N

X

Jezeli







Standaryzacja zmiennej
losowej



Załóżmy, że X~N(,) a my chcemy znaleźć

prawdopodobieństwo, że P(x

0

<X<x

1

) dla

zadanych liczb x

0

i x

1

. Rozważmy

następującą zmienną losową:



















X

X

Z

gdzie a=1/ a b=-/. Wówczas

)

1

,

0

(

N

)

)

(

,

(

N

)

a

,

b

a

(

N

~

Z

1

























Standaryzacja obserwacji



Standaryzując pomiar, odejmij
średnią i podziel przez odchylenie
standardowe



Jeśli x jest obserwacją z rozkładu o
średnią μ i odchyleniu
standardowym σ,
standardyzowaną wartością x jest









x

z

Z-scores



Mówią nam ile krotności
odchylenia standardowego
obserwacje leżą od średniej i w
którym kierunku



Mogą być dodatnie lub ujemne



Kiedy?

Standardowy rozkład
normalny



Zatem

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(











































x

x

x

X

X

Z

P

P

x

X

P

x

F

Więc

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

0

1

1

0































x

x

X

X

x

F

x

F

x

X

x

P

Przykład



Wyniki standaryzowanego testu na
inteligencję, IQ, mają w przybliżeiu
rozkład normalny o średniej =100

oraz odchyleniu standardowym
=15.



Wybieramy losowo jedną osobę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że
uzyska ona wynik 120 < X < 130?

Przykład



Możemy wyznaczyć interesujące nas
prawdopodobieństwo dokonując
standaryzacji zmiennej losowej:

069

.

0

9082

.

0

9772

.

0

)

33

.

1

(

)

2

(

)

2

33

.

1

(

)

(

)

130

120

(

15

100

130

15

100

15

100

120









































Z

P

P

X

P

X

Rozkłady normalne –
przykład obliczeniowy



NCAA wymaga 820 punktów zdobytych w

trakcie egzaminu SAT. Rozkład liczby

punktów w 2000r był w przybliżeniu

rozkładem N(1019, 209).

Jaki procent wszystkich studentów miał

liczbę punktów SAT co najmniej 820?



X = punkty z egzaminu SAT



X należy do rozkładu N(1019, 209)



Znajdź Z (standardowe).



Z = (820 – 1019)/209 = -0.95



P(Z > -0.95) = 1 – 0.1711 = 0.8289

Rozkłady normalne –
przykład obliczeniowy



Jaki procent wszystkich studentów miał

liczbę punktów SAT między 720 a 820?



Z

2

= (720 – 1019)/209 = -1.43



P (-0.95 > Z > -1.43)
= P ( Z < -0.95 ) – P (Z < -1.43) =
= 1 – P (Z < 0.95) – { 1 – P (Z < 1.43)} =
= 1 – 0.8289 – (1 – 0.9236) =
= 0.1711 – 0.0764 = 0.0947

Zadanie domowe



Wartość średnia egzaminu
kompetencji szóstoklasistów w
rejonie Górnego Śląska wynosiła 39
punkty a odchylenie standardowe
4 punkty. Jakie wyniki uzyskało
10% najlepszych uczniów?