**. Pomiar gęstości prawdopodobieństwa

( )

x

f

x

(hipoteza ergodycznośći)

.........................................................

x1

X2

Xn

t

t

t

( )

x

x

t
x

m

m

t

=

∞

∈

∀

,

0

Stacjonarny proces jest procesem ergodycznym jeżeli średnia policzona po zbiorze realizacji
jest taka sama dla wszystkich czasów rzeczywistych i dodatkowo jest równa średniej liczonej
po czasie dla wszystkich realizacji. Dla ergodycznych procesów stochastycznych, gęstość
prawdopodobieństwa i dystrybuantę prawdopodobieństwa można łatwo obliczyć według
następujących schematów.

Obliczenie gęstości prawdopodobieństwa:

( )

x

f

x

∆

t

1

∆

t

2

∆

t

3

∆

t

4

∆

t

5

∆

t

6

t

X(t)

X

X+ X

∆

T

( )

?

x

∆

T

x

∆

T

t

∆

x

f

k

i

T

x

∆

x

=

=

∑

∞

→

→

,

lim

lim

1

0

Czas obserwacji procesu (horyzont czasowy pomiaru) powinien być wystarczająco długi.
Oznacza to przy używaniu powyższego wzoru dla danego

x

, zakończenie obliczeń gdy

wydłużanie czasu obserwacji nie powoduje zmian

( )

x

f

x

.

Obliczenie dystrybuanty:

( )

x

F

x

∆τ

1

∆τ

2

∆τ

3

t

X(t)

X

( )

T

∆

x

F

k

i

T

x

∑

∞

→

=

1

lim

τ

rozkład gaussowski:

( )

(

)

2

2

2

1

x

x

m

x

x

x

e

x

f

σ

σ

π

−

−

=

rozkład dwumianowy

rozkład jednorodny (równomierny)

**. Pomiar gęstości widmowej

( )

ω

j

Φ

xx

Bezpośrednie wyliczenie gęstości widmowej własnej lub wzajemnej jest trudne. Łatwiej
Jest najpierw wyliczyć odpowiednie funkcje korelacji a następnie obliczyć ich transformaty
Fouriera.

Obliczenie funkcji korelacji w oparciu o dane pomiarowe:

( )

( ) ( )

( ) (

)

( )

k∆

k∆

n∆

x

n∆

x

K

N

t

d

t

x

t

x

T

R

T

xx

xx

K

N

0

n

0

R

1

1

1

=

+

⋅

−

+

≅

+

⋅

=

∑

∫

−

=

τ

τ

max

,....

2

,

1

,

0

k

k

=

( )

( )

τ

τ

−

=

xx

xx

R

R

( )

( )

τ

τ

−

≠

xx

xy

R

R

X(t)

t

∆

t

warunki poprawnych obliczeń dla sygnałów ciągłych:

( )

(

)

0

lim

max

=

=

=

∞

→

τ

τ

τ

xx

R

?

?

T

Horyzont czasowy powinien być tak długi aby wydłużanie czasu obliczeń nie powodowało
zmian wartości otrzymywanych funkcji korelacji. Maksymalna wartość przesunięcia
czasowego, powinna być tak duża aby obejmowała czas w którym występuje funkcja
korelacji.

warunki poprawnych obliczeń dla sygnałów próbkowanych z krokiem próbkowania

t

∆ :

max

?

t

∆

?

k

?

N

=

=

=

d

g

g

d

I

T

∆t

∆t

k

T

g

d

ω

ω

ω

π

τ

ω

π

τ

ω

ω

+

=

=

≤

=

⇒

=

≥

1

2

2

max

max

max

Obliczenie na podstawie

( )

( )

τ

τ

xy

xx

R

R

,

funkcji

( )

( )

ω

ω

j

Φ

Φ

xy

xx

,

-metoda trapezów

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

τ

τ

ω

τ

τ

τ

ω

τ

τ

τ

ω

τ

ω

d

R

j

d

R

d

e

R

j

Φ

xy

xy

j

xy

xy

sin

cos

∫

∫

∫

+∞

∞

−

+∞

∞

−

−

+∞

∞

−

−

=

=

wprowadzamy funkcje

i

T

:

T

i

K

i

t

t

i- i

∆

t

i+ i

∆

t

i

( )

( )























∆

+

≥

∆

+

<

<

∆

−













∆

+

+

∆

−

=

∆

−

≤

<

=

0

1

2

2

0

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

t

t

t

t

K

K

p

t

K

T

τ

τ

τ

τ

τ

τ

( )

( )

∑

=

≅

n

i

i

xy

T

R

1

τ

τ

( )

( )

( )

( )

( )

∑ ∫

∑ ∫

∫ ∑

∫ ∑

∫

=

+∞

∞

−

=

+∞

∞

−

+∞

∞

−

=

+∞

∞

−

=

+∞

∞

−

−















−















=













−













≅

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

j

xy

xy

d

T

j

d

T

d

T

j

d

T

d

e

R

j

Φ

1

1

1

1

sin

cos

sin

cos

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

ω

ωτ

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

∑

∫

∫

∑

∫

∫

=

∆

+

∆

−

∆

−

=

∆

+

∆

−

∆

−















+

−















+

≅

n

i

t

t

i

t

i

n

i

t

t

i

t

i

xy

d

t

p

d

K

j

d

t

p

d

K

j

Φ

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

1

0

1

0

sin

sin

cos

cos

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

ω

( )

(

)

( ) ( )

∑

=













∆

∆

≅

n

i

i

i

i

i

i

i

xy

t

t

t

K

j

Φ

1

sin

sin

Re

ω

ω

ω

ω

ω

( )

(

)

( ) ( )

∑

=













∆

∆

+

−

−

≅

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

xy

t

t

t

K

K

t

sign

j

Φ

1

cos

cos

)

(

Im

ω

ω

ω

ω

ω

ω