FUNKCJE UWIKŁANE
FUNKCJE UWIKŁANE
FUNKCJE UWIKŁANE 2 / 12
Definicja 1 (funkcje uwikłane)
Funkcją uwikłaną określoną w przedziale I równaniem
0
)
,
(
=
y
x
F
(*)
nazywamy kaŜdą funkcję
)
( x
f
y
=
spełniającą równość
0
))
(
,
(
=
x
f
x
F
dla wszystkich x z przedziału I.
Mówimy równieŜ, Ŝe funkcja
)
( x
f
y
=
jest uwikłana równaniem (*).
FUNKCJE UWIKŁANE 3 / 12
Przykład 1
Naszkicować wykresy funkcji uwikłanych określonych równaniami:
a)
4
2
2
=
+
y
x
,
b)
0
2
2
=
−
y
x
.
FUNKCJE UWIKŁANE 4 / 12
Twierdzenie 1
(o istnieniu i ró
Ŝ
niczkowalno
ś
ci funkcji uwikłanej)
Je
Ŝ
eli funkcja
)
,
(
y
x
F
ma ci
ą
głe pochodne cz
ą
stkowe rz
ę
du
pierwszego w pewnym otoczeniu punktu
)
,
(
0
0
y
x
oraz spełnia
warunki
0
)
,
(
0
0
=
y
x
F
i
0
)
,
(
0
0
≠
∂
∂
y
x
y
F
,
to w pewnym otoczeniu O punktu
0
x
istnieje jednoznacznie
okre
ś
lona funkcja uwikłana
)
( x
f
y
=
spełniaj
ą
ca warunki:
a)
0
0
)
(
y
x
f
=
,
b)
))
(
,
(
))
(
,
(
)
(
x
f
x
y
F
x
f
x
x
F
x
f
∂
∂
∂
∂
−
=
′
dla ka
Ŝ
dego
O
x
∈
.
FUNKCJE UWIKŁANE 5 / 12
Uwaga 1
Je
Ŝ
eli ponadto funkcja F ma ci
ą
głe pochodne rz
ę
du drugiego
w pewnym otoczeniu punktu
)
,
(
0
0
y
x
, to funkcja uwikłana
)
( x
f
y
=
jest dwukrotnie ró
Ŝ
niczkowalna w pewnym otoczeniu
punktu
0
x i jej druga pochodna wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem
3
2
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
y
x
yy
y
x
xy
y
xx
F
F
F
F
F
F
F
F
x
f
+
−
−
=
′′
.
FUNKCJE UWIKŁANE 6 / 12
Przykład 2
Zbada
ć
, czy podane równania okre
ś
laj
ą
jednoznacznie ci
ą
gł
ą
funkcj
ę
uwikłan
ą
w pewnych otoczeniach wskazanych punktów.
a)
y
x
cos
=
,
)
0
,
1
(
=
A
,
=
3
,
2
1
π
B
;
b)
1
3
3
3
2
2
3
=
−
+
−
y
xy
y
x
x
,
)
2
,
3
(
=
A
,
)
1
,
0
(
−
=
B
.
Przykład 3
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych
)
( x
f
y
=
określonych przez równania:
a)
0
1
2
2
=
+
+
−
y
y
x
, b)
0
sin
2
=
+
−
x
y
y
,
c)
0
arctg
2
=
−
−
x
e
y
y
, d)
y
y
x
ln
+
=
.
FUNKCJE UWIKŁANE 7 / 12
Przykład 4
Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi
równaniami we wskazanych punktach tych krzywych:
a)
(
)
0
3
2
=
+
−
+
=
−
y
x
xy
y
x
,
)
1
,
1
(
−
=
A
;
b)
1
ln
2
2
=
+
+
xy
y
x
,
)
0
,
1
(
=
A
.
FUNKCJE UWIKŁANE 8 / 12
Twierdzenie 2
(o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego
w pewnym otoczeniu punktu
)
,
(
0
0
y
x
oraz niech spełnia warunki:
1.
0
)
,
(
0
0
=
y
x
F
,
2.
0
)
,
(
0
0
=
∂
∂
y
x
x
F
,
0
)
,
(
0
0
≠
∂
∂
y
x
y
F
,
3.
0
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
2
2
≠
∂
∂
∂
∂
−
=
y
x
y
F
y
x
x
F
A
.
Wtedy funkcja uwikłana
)
( x
f
y
=
określona równaniem
0
)
,
(
=
y
x
F
ma w punkcie
0
x ekstremum lokalne właściwe
i jest to: minimum, gdy
0
>
A
albo maksimum, gdy
0
<
A
.
FUNKCJE UWIKŁANE 9 / 12
Uwaga 2
Równość
0
)
,
(
0
0
=
∂
∂
y
x
x
F
jest warunkiem koniecznym,
a nierówność
0
)
,
(
0
0
2
2
≠
∂
∂
y
x
x
F
warunkiem wystarczającym
istnienia ekstremum funkcji uwikłanej.
FUNKCJE UWIKŁANE 10 / 12
A
LGORYTM ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW LOKALNYCH
FUNKCJI UWIKŁANEJ
1.
Punkty, w których funkcja uwikłana moŜe mieć ekstrema lokalne
znajdujemy korzystając z warunku koniecznego istnienia
ekstremum, tj. rozwiązując układ równań:
=
∂
∂
=
0
)
,
(
0
)
,
(
y
x
x
F
y
x
F
Dla otrzymanych punktów sprawdzamy, czy spełniony jest warunek
0
)
,
(
0
0
≠
∂
∂
y
x
y
F
.
FUNKCJE UWIKŁANE 11 / 12
2. W otrzymanych punktach sprawdzamy warunek wystarczający
istnienia ekstremum funkcji, tj. badamy, czy zachodzi nierówność
0
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
2
2
≠
∂
∂
∂
∂
−
=
y
x
y
F
y
x
x
F
A
.
Na podstawie znaku A ustalamy rodzaj ekstremum.
FUNKCJE UWIKŁANE 12 / 12
Przykład 5
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych
)
( x
f
y
=
określonych równaniami:
a)
0
8
3
3
=
−
+
xy
y
x
, b)
0
4
2
2
2
=
+
−
−
+
y
x
xy
y
x
,
c)
(
)
)
(
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
−
=
+
, c)
2
4
2
x
y
y
=
−
.