FUNKCJE

1. Podstawowe określenia

(1.1) Definicja

Funkcją określoną na zbiorze
o wartościach w zbiorze
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi
dokładnie jednego elementu
. Funkcję taką oznaczamy np.:

Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).

(1.2) Definicja

Niech
. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez
, a zbiór
nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponadto zbiór
nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy
.

Uwaga. Rzut prostokątny wykresu funkcji na oś Ox jest dziedziną tej funkcji, zaś rzut prostokątny tego wykresu na oś Oy jest zbiorem jej wartości.

(1.3) Definicja

Funkcje
są równe, co zapisujemy

.

(1.4) Definicja

Wykresem funkcji
nazywamy zbiór
.

Uwaga. Podzbiór płaszczyzny xOy jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x, gdy każda prosta pionowa przecina go co najwyżej w jednym punkcie.

(1.5) Definicja (funkcja "na")

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, (co zapisujemy
)

, tzn.
.

Geometrycznie: funkcja
jest "na", gdy rzut prostokątny jej wykresu

na oś Oy pokrywa się ze zbiorem Y.

2. Funkcje okresowe, parzyste i nieparzyste, ograniczone,

monotoniczne

(2.1) Definicja

Funkcja
jest okresowa, jeżeli

Literę T nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f, to nazywamy go jej okresem podstawowym.

(2.2) Definicja

Funkcja
jest parzysta, jeżeli

Obrazowo: funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu.

(2.3) Definicja

Funkcja
jest nieparzysta, jeżeli

Obrazowo: funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.

(2.4) Definicja

Funkcja
jest ograniczona z dołu na zbiorze
, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.

(2.5) Definicja

Funkcja
jest ograniczona z góry na zbiorze
, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.

(2.6) Definicja

Funkcja
jest ograniczona na zbiorze
, jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.

(2.7) Definicja

Funkcja f jest rosnąca (niemalejąca) na zbiorze
, jeżeli

.

.

(2.8) Definicja

Funkcja f jest malejąca (nierosnąca) na zbiorze
, jeżeli

.

.

(2.9) Definicja

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca w tym zbiorze. Przy czym funkcje rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznymi, a funkcje nierosnące i niemalejące - słabo monotonicznymi.

3. Złożenia funkcji (superpozycja funkcji)

(3.1) Definicja

Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym
oraz niech
,
. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję
określoną wzorem:

przy czym, funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g - funkcją zewnętrzną funkcji
.

Złożenie dwóch funkcji jest możliwe, gdy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej * dziedzinie funkcji zewnętrznej.

Uwaga. Analogicznie określa się złożenie większej liczby funkcji. Składanie funkcji nie jest przemienne.

(3.1) Fakt (o składaniu funkcji monotonicznych)

Złożenie funkcji ściśle rosnących (malejących) jest funkcją rosnącą.

Złożenie funkcji ściśle rosnącej (malejącej) z funkcją ściśle malejącą (rosnącą) jest funkcją malejącą. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

4. Funkcje odwrotne

(4.1) Definicja

Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze
, jeżeli:

.

Uwaga. Przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji wygodnie jest korzystać

z definicji równoważnej:

.

(4.2) Fakt (warunek wystarczający różnowartościowości funkcji)

Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na danym zbiorze, to jest w tym zbiorze różnowartościowa.

Uwaga. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

(4.3) Definicja

Niech
będzie różnowartościowa na dziedzinie X. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję
określoną przez warunek:

gdzie
.

Uwaga. Wykres funkcji odwrotnej
otrzymujemy z wykresu funkcji

odbijając go symetrycznie względem prostej y = x.

(4.4) Fakt (o składaniu funkcji prostej i odwrotnej)

Niech funkcja
będzie różnowartościowa. Wtedy

oraz
.

5. Funkcje cyklometryczne (kołowe)

(5.1) Definicja

Funkcją arkus sinus nazywamy funkcję
odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału
.

.

Funkcją arkus cosinus nazywamy funkcję

odwrotną do funkcji cosinus obciętej do przedziału
.

.

Funkcją arkus tangens nazywamy funkcję

odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału
.

.

Funkcją arkus kotangens nazywamy funkcję

odwrotną do funkcji kotangens obciętej do przedziału
.

.

6. Inne rodzaje funkcji

(6.1) Definicja

Wartością bezwzględną nazywamy funkcję

(6.2) Definicja (funkcje hiperboliczne)

Funkcję sh (sinus hiperboliczny) określamy wzorem:

, gdzie
.

Funkcję ch (cosinus hiperboliczny) określamy wzorem:

, gdzie
.

Funkcję th (tangens hiperboliczny) określamy wzorem:

, gdzie
.

Funkcję cth (cotangens hiperboliczny) określamy wzorem:

, gdzie
.

(6.3) Definicja

Funkcją część całkowita nazywamy funkcję
określoną wzorem

(
, gdzie
).

Część całkowita liczby x jest to największa liczba całkowita nie większą niż x.

(6.4) Definicja

Funkcją signum nazywamy funkcję
określoną wzorem:

(6.5) Definicja

Funkcją Dirichleta nazywamy funkcję
określoną wzorem:

(6.6) Definicja (funkcja Riemanna)

5