FUNKCJA PRZEJŚCIA
Jednym z podstawowych pojęć automatyki jest pojęcie funkcji
przejścia – przepustowość – transmitancja.
A. Element o jednym wejściu i jednym wyjściu
Jeżeli w układzie liniowym wyróżnimy sygnał wejściowy x i
wyjściowy y, to sygnały te związane będą ogólnie równaniem
różniczkowym (rys.1) :
gdzie: A
k
i B
k
— stałe współczynniki oraz n m.
Rys. 1. Sygnał wejściowy x i wyjściowy y w układzie liniowym
Dokonując transformacji całkowej
Laplace'a-Carsona
obu stron równania,
otrzymamy przy założeniu zerowych warunków początkowych
Otrzymaną funkcję
operatorową funkcją przejścia
układu liniowego i
oznaczamy przez K(p).
K(p)
=
X(p)
Y(p)
X(p)
Y(p)
=
Jeśli sygnał wejściowy
x(t)
jest skokiem jednostkowym
1(t)
, a więc jeżeli
X(t) = 1,
to z równania (1) wynika
Y(p) = K(p),
a więc
y(t) = k(t).
Można, zatem powiedzieć, że
funkcja przejścia k(t)
danego elementu
jest to funkcja określająca przebieg sygnału na wyjściu danego
elementu, wywołany doprowadzeniem na jego wejście sygnału
1(t),
przy zerowych warunkach początkowych.
Element o wielu wejściach i wyjściach
Przykładem elementu o wielu wejściach i wyjściach może być
przedstawiony na rys. 2. element o dwóch wejściach i dwóch
wyjściach. Sygnały wejściowe
x
1
, x
2
, i wyjściowe
y
1
, y
2
związane będą ogólnie przy założeniu liniowości układu i zerowych
warunków początkowych równaniami, które można zapisać
stosując oznaczenia macierzowe w postaci operatorowej.
22
21
12
11
K
K
K
K
2
1
Y
Y
=
=
X
1
X
2
Y
1
Y
1
2
1
X
X
Macierz układu równań nazywamy funkcją przejścia elementu o
dwóch wejściach i dwóch wyjściach i oznaczamy przez K, jest więc
K =
22
21
12
11
K
K
K
K
Jeżeli założymy X
2
= O,
otrzymamy
1
21
1
11
X
K
X
K
2
1
Y
Y
=
Jeżeli natomiast założymy X
1
= O, to
mamy
2
2
22
12
X
K
X
K
2
1
Y
Y
=
Otrzymane równania dają podstawę do obliczenia, dla danego obiektu
dwuwejściowego, elementów jego macierzowej funkcji przejścia. Aby więc
obliczyć elementy
K
11
i K
21
, należy znać przebiegi sygnałów wyjściowych
y
1
, y
2
wywołane zmianą sygnału wejściowego
x
1
,
przy stałej, równej zeru, wartości
sygnału
x
2
.
Jeżeli zmiana sygnału wejściowego x
1
będzie jednostkowa, czyli jeżeli
będzie
x(t) = 1,
to funkcje określające przebiegi sygnałów y
1
(t) i y
2
(t) będą wprost
transformatami odwrotnymi elementów K
11
i K
21
macierzy K .
Definicję funkcji przejścia można rozszerzyć na element o n
wejściach i m wyjściach.
n
Y
Y
1
nn
n
n
K
K
K
K
1
1
11
Xn
X
1
=
=
lub
w
skrócie
Y = KX,
Ogólnie, w przypadku elementu o n wejściach i m wyjściach będziemy mieć
zapis
Y
m
= KX
n
Sygnał wejściowy
X
n
może być zatem w ogólnym przypadku
wektorem
n
-wymiarowym,
Y
m
– wektorem
m
-wymiarowym, a
K
jest macierzą o
m
wierszach i
n
kolumnach.
Definicja operatora różniczkowania
Definicja operatora całkowania
Przykłady sygnałów występujących w
U
kładach
S
terowania
A
utomatycznego
Impuls prostokątny
1 dla | t | < ½
x(t) = Π (t) = { ½ dla |t| = ½
0 dla |t| > ½
x(t) = 1 E
x
=1
Symbol specjalny x(t) oznacza
unormowany symetryczny impuls
prostokątny
o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie.
Zarówno wartość średnia tego sygnału, czas jego trwania, jak i energia sa
jednostkowe
X(t
)
t
1/2
-1/2
1
Za pomocą tego symbolu można zapisać impuls prostokątny o dowolnej
wysokości a, dowolnej szerokości b i przesunięty w czasie o dowolną wartość c
x(t) = a Π = (
t-c
/
b
)
x(t) = a E
x
= a
2
b
X(t
)
t
c
0
a
b
Impuls trójkątny
(t)
1 – t dla | t |
1
x(t) =
(t) = { 0 dla | t | > 1
x(t) = ½ , E
x
= ⅔
Symbol specjalny
(t) oznacza unormowany symetryczny impuls trójkątny o
czasie trwania równym 2 i wartości w zerze równej 1. Zapis
(t/T ) oznacza
symetryczny impuls trójkątny o czasie trwania 2T.
X(t)
1
1
-1
t
0
Mnożąc dany sygnał przez x(t) = u((t −
c)/b) można „wyciąć” jego dowolny
fragment.
Zapis u(t/T ) oznacza symetryczny impuls
prostokątny o czasie trwania T.
Impuls
kosinusoidalny
x(t) = X
0
cos ω
0
t Π ( t/ π ω
0-1
)
x = 2 X
0
/ π E
x
= π X
20
/ 2 ω
0
Sygnał ten jest symetrycznym impulsem obejmującym pół
okresu sygnału kosinusoidalnego o amplitudzie X
0
i
pulsacji ω
0
.
X(t
)
t
Impuls radiowy
Sygnał ten ma postać y(t) = x(t) cos(ω
0
t + 'φ
0
,
gdzie x(t) jest dowolnym sygnałem impulsowym
.
Sygnały takie są wykorzystywane m.in. w
systemach radiokomunikacyjnych i
radiolokacyjnych. Stad pochodzi ich nazwa. Sygnał
x(t) jest nazywany obwiednia
impulsu y(t), a funkcja cos(ω
0
t + 'φ
0
) – jego
wypełnieniem. Czas trwania impulsu T jest z reguły
wielokrotnie dłuższy od okresu wypełnienia T0 = 2
π /ω
0
.
•Sygnał skokowy (skok jednostkowy)
0 dla t
< 0,
1(t)
= ½ dla t = 0,
1 dla t
> 0,
P
0
P
0
1
1/2
0
t=0
t
Przykład: nagłe przyłożenie siły
Przykłady prostych nieokreślonych sygnałów
analogowych o ograniczonej mocy
• Sygnał stały
x(t) = 1 dla - ∞
< t < ∞
x(t) = 1, P
x
= 1
0
t
x(t
)
1
Sygnał wykładniczy narastający
x(t) = (1 - e
-at
) 1(t), α> O,
(x) = ½ P
x
= ½
Sygnał impulsowy
x = x
0
1(t),
x
0
– stała 1(t) – funkcja zwana impulsem jednostkowym
1(t) = 0 dla t ≠ 0
1(t) → ∞ dla t = 0
Sygnał harmoniczny
x(t) = x
0
sin ωt,
lub x
0
–
stała , ω – pulsacja (częstość kołowa
sygnału)
x(t) = x
0
cos ωt,
do obliczeń wprowadza się uogólnioną postać sygnału harmonicznego
(harmonicznego w postaci zespolonej)
x(t) = x
0
e
iωt
, i = √-1
x
0
e
iωt
= x
0
(cos ωt + i sin ωt)
Sygnał potęgowy
x(t) = x
0
t
n
,
n = 1,2,3,….n