PODSTAWY MATEMATYKI 

OBLICZENIOWEJ

Wykład 1

Prof. dr hab. Yuriy 

Povstenko

Pułkownik Czerwiński:
Kiedy was atakuje śmigłowiec,     
sin α = 2
Kiedy was atakuje myśliwiec,       
sin α = 3
Kiedy was atakuje bombowiec,     
sin α = 5

Błędy numeryczne

  



...

!

1

2

1

1

...

!

5

1

!

3

1

sin

1

2

1

5

3



















n

n

x

n

x

x

x

x

50000000

.

0

6

sin

















0966

.

592

8

6

sin













 





Zagadnienia stabilne i niestabilne



 

 

 

 



0

20

19

...

3

2

1













x

x

x

x

x

0

!

20

...

210

19

20









x

x





0

!

20

...

2

210

19

23

20















x

x

0000

00000

.

4

0000

00000

.

3

0000

00000

.

2

0000

00000

.

1

4

3

2

1









x

x

x

x

0249

91725

.

8

7603

00726

.

8

7234

99969

.

6

6944

00000

.

6

9928

99999

.

4

9

8

7

6

5











x

x

x

x

x

Zagadnienia stabilne i niestabilne

8101

84690

.

20

0347

94033

.

1

9400

50243

.

19

4894

81262

.

2

7466

73073

.

16

0070

51883

.

2

8137

99235

.

13

9728

65232

.

1

3881

79363

.

11

0904

64350

.

0

6145

09526

.

10

20

19

,

18

17

,

16

15

,

14

13

,

12

11

,

10























x

i

x

i

x

i

x

i

x

i

x

Wzory rekurencyjne

Ciąg 

arytmetycz

ny

Ciąg 

geometrycz

ny

r

a

a

a

a

n

n







1

1

q

g

g

b

g

n

n







1

1

Liczby 

Fibonacciego

 

      

1

1









n

n

n

F

F

F

Leonardo 

Fibonacci

(1170-1250)

Wzory rekurencyjne

1

,

1

2

1





F

F

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

Liczby Fibonacciego

Kocha – nie kocha?

Kocha!

Wielomiany 
Czebyszewa

Wzory 

rekurencyjne

Пафнутий Львович 
Чебышёв

Pafnuty Czebyszew 

(1821 -1894 )

 

 

 

x

T

x

T

x

x

T

n

n

n

1

1

2









 

 

x

x

T

x

T





1

0

,

1

Wielomiany 

Legendre’a

Wzory 

rekurencyjne

Adrien-Marie 

Legendre  (1752-

1833)

 

 

x

x

P

x

P





1

0

,

1

 

 

 

x

P

n

n

x

P

x

n

n

x

P

n

n

n

1

1

1

1

1

2















Wielomiany Laguerre’a

Wzory rekurencyjne

Edmond 

Laguerre (1834-

1886)

 

 

1

,

1

1

0









x

x

L

x

L

 

 

 

x

L

n

n

x

L

n

x

n

x

L

n

n

n

1

1

1

1

1

2

















Wielomiany 

Hermitte’a

Wzory 

rekurencyjne

Charles 

Hermite  

(1822-1901)

 

 

x

x

H

x

H

2

,

1

1

0





 

 

 

x

H

n

x

H

x

x

H

n

n

n

1

1

2

2









Zastosowanie wzorów rekurencyjnych 

do obliczania całek





dx

x

I

n

n







1

1

2

C

x

I





tg

arc

1





n

n

n

I

n

n

x

x

n

I

2

1

2

1

2

1

2

1











Zastosowanie wzorów rekurencyjnych 

do obliczania całek





2

/

0

sin



dx

x

I

n

n

2

1







n

n

I

n

n

I

2

2

2

2

1

2







n

n

I

n

n

I

1

2

1

2

1

2

2









n

n

I

n

n

I

2

0





I

1

1



I

Zastosowanie wzorów rekurencyjnych 

do obliczania całek

1

2

1

2

1







n

n

I

n

I





2

/

0

sin

cos



dx

nx

x

I

n

n

2

1

1



I

Zastosowanie wzorów rekurencyjnych 

do obliczania całek

1

2

1





n

n

I

I





2

/

0

cos

cos



dx

nx

x

I

n

n

4

1





I

Zastosowanie wzorów rekurencyjnych 

do obliczania całek

1

2







n

n

I

n

I

4

1

1





I





1

0

ln dx

x

x

I

n

n

 

1

2

!

1







n

n

n

n

I

Stabilność i niestabilność wzorów 

rekurencyjnych







1

0

1

dx

e

x

I

x

n

n

e

I

1

1



...

,

3

,

2

,

1

1









n

I

n

I

n

n

Stabilność i niestabilność wzorów 

rekurencyjnych

127120

.

0

6



I

110160

.

0

7



I

118720

.

0

8



I



9

I

– 
0.0684800

 

145480

.

0

170904

.

0

207274

.

0

264242

.

0

367879

.

0

5

4

3

2

1











I

I

I

I

I

Stabilność i niestabilność wzorów 

rekurencyjnych

.....

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

1









n

I

n

I

n

n

2

,

3

,

4

,

5

.....,

,

1

1









n

n

I

I

n

n

Stabilność i niestabilność wzorów 

rekurencyjnych

0

.

0

20



I

0500000

.

0

19



I

0500000

.

0

18



I

0527778

.

0

17



I

0557190

.

0

16



I

0627322

.

0

14



I

0669477

.

0

13



I

0838771

.

0

10



I

0916123

.

0

9



I

0590176

.

0

15



I

0717733

.

0

12



I

0773523

.

0

11



I

Zasada sprzężenia zwrotnego (zasada 

iteracji)

Jednostka wejścia 
Jednostka wyjścia 
Jednostka kontroli
Linia sprzężenia 
zwrotnego

Metoda iteracyjna znalezienia wartości 

pierwiastka kwadratowego znana już w 

starożytnym Babilonie



















n

n

n

x

a

x

x

2

1

1

...

,

2

,

1

,

0



n

Iterowanie równania logistycznego

Model Verhulsta rozwoju populacji

Pierre 

François 

Verhulst 

(1804-1849)

Belgijski matematyk.
W 1838 opublikował 
równanie logistyczne 
(równanie rozwoju 
populacji). 

Chaos 
zwycięża
każdy 
komputer 

Iteracje krytyczne – kiedy kalkulatory

zaczynają dawać różne wyniki

Dwa różne 
sposoby  
obliczania 
wartości tej 
samej funkcji 
kwadratowej 
na tym samym 
kalkulatorze 
nie są 
równoważne.

Dziękuj

ę 

bardzo