NA EGZAMIN OBOWIĄZUJE: 

Literatura:   

W. Krysicki, L. Włodarski,      „Analiza matematyczna w zadaniach”, cz. I i II 
M. Gewert, Z. Skoczylas,        „Analiza matematyczna 1”, „Analiza matematyczna 2” 
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas,     „Algebra liniowa 1”, „Algebra liniowa 2” 
K. Jankowska, T. Jankowski, „Zbiór zadań z matematyki”,  Zadania z matematyki wyższej”,  
                                                  „Funkcje wielu zmiennych. Całki wielokrotne. Geometria 
                                                    analityczna.” 
 
Macierze i wyznaczniki  
Macierz. Rodzaje macierzy. Działania na macierzach. Własności działań. Macierz transponowana. Wyznacznik 
macierzy kwadratowej. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy. Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika. 
Własności wyznaczników. Algorytm Gaussa do obniżania stopni wyznaczników. Macierz odwrotna. Własności 
macierzy odwrotnych. 

Układy równań liniowych  

Układ równań liniowych i jego zapis macierzowy. Układ Cramera. Wzór Cramera. Rozwiązywanie układów 
równań metoda macierzy odwrotnej. Rząd macierzy. Operacje elementarne a rząd macierzy. Sprowadzanie 
macierzy do macierzy schodkowej. Rząd macierzy schodkowej. Twierdzenie Kroneckera – Capellego. Liczba 
rozwiązań układu równań liniowych. Metody rozwiązywania układów Cramera i dowolnych układów równań 
liniowych: metoda eliminacji Gaussa – Jordana i metoda kolumn jednostkowych. 

Szeregi liczbowe  

Szereg liczbowy. Zbieżność i rozbieżność. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Szeregi: harmoniczny, 
geometryczny i Dirichleta. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Szereg naprzemienny. 
Kryterium Leibnitza zbieżności szeregu. Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregu. 

Szeregi potęgowe  

Szereg potęgowy. Promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego. Szereg Taylora i Maclaurina. 
Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego. 

Funkcje wielu zmiennych  

Dziedzina i dziedzina naturalna. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i wyższych rzędów. Zastosowanie 
różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych. Ekstrema lokalne funkcji. Wartość najmniejsza i największa funkcji 
na zbiorze.  

Funkcje uwikłane  

Twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej. Pochodna pierwszego i drugiego rzędu. Ekstrema 
funkcji uwikłanej. 

 

OiO    2 / 2 

Całka podwójna  

Całka podwójna po prostokącie. Twierdzenia o liniowości, addytywności względem obszaru całkowania i zamianie 
całki podwójnej na iterowaną. Całki podwójne po obszarach normalnych i obszarach regularnych. Współrzędne 
biegunowe w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych w geometrii. 

Całka potrójna  

Całka potrójna po prostopadłościanie. Twierdzenia o liniowości, addytywności względem obszaru całkowania i 
zamianie całki potrójnej na iterowaną. Całki potrójne po obszarach normalnych i obszarach regularnych w 
przestrzeni. Współrzędne walcowe i współrzędne sferyczne w całkach potrójnych. Zastosowania całek potrójnych 
w geometrii. 

Całka krzywoliniowa  

Całka krzywoliniowa nieskierowana. Twierdzenia o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej w R

2

 i R

3

. 

Zastosowania geometryczne. 

Całka krzywoliniowa skierowana. Twierdzenia o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej w R

2

 i R

3

. 

Twierdzenie Greena. Niezależność całki o drogi całkowania. Zastosowania geometryczne. 

Całka powierzchniowa  

Całka powierzchniowa niezorientowana. Twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę 
podwójną. Zastosowania geometryczne. 

Całka powierzchniowa zorientowana. Twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę 
podwójną. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Zastosowania geometryczne. 

Równania różniczkowe  

Równanie różniczkowe. Zagadnienie początkowe. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Równania 
sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych. Równania liniowe rzędu pierwszego. Równanie 
Bernoulliego. Równanie różniczkowe zupełne. Równania liniowe o stałych współczynnikach.  

Transformata Laplace’a  

Transformata Laplace’a. Transformata odwrotna. Zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania 
zagadnień początkowych dla liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach.