Ćwiczenia nr 1
1. Obliczyć:
a)
,
7
4
45
.
0
b)
)
3
/
1
(
16
−
, c)
3
3
, d)
,
5
2
π
+
e
e)
20
log
25
cos
12
sin
0
0
+
,
f)
!
24
10
5
ln
0
ctg
−
, g)
,
2
25
.
0
8
4
⋅
h)
,
3
2
3
2
2
−
+
+
i)
i
5
3 +
, j)
i
i
5
4
2
16
+
+
.
2.
Wyznaczyć wartość numeryczną liczb:
a)
o
e
1
sin
z dokładnością do 25 cyfr po przecinku,
b)
6
π
z dokładnością do 30 miejsc po przecinku.
3.
Wyznaczyć czynniki pierwsze następujących liczb: 1278, 2345, 234.
4.
Znaleźć największy wspólny dzielnik następujących liczb: 20, 540, 444.
5.
Znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność następujących liczb: 20, 62, 300. Sprawdzić czy
jest to ich iloczyn.
6.
Wyznaczyć dziesiątą liczbę pierwszą.
7.
Sprawdzić, czy następujące liczby są liczbami pierwszymi: 457, 4571, 20077, 200771.
8.
Ile jest liczb pierwszych w przedziale (0, 50)?
9.
Na ile sposobów, z klasy liczącej 25 uczniów, moŜna wybrać ośmioosobową delegację?
Korzystając z odpowiedniej palety:
10.
Obliczyć sumę liczb postaci
2
/
1 n
gdzie
n
zmienia się od 1 do 10
oraz dla
n
zmieniającego się
od 1
do nieskończoności.
11.
Obliczyć iloczyn liczb postaci
,
)
2
(
1
1
2
−
−
n
gdzie
n
zmienia się od 1 do 5.
12.
Obliczyć pochodną wielomianu
.
1
7
)
1
(
)
(
3
5
+
+
+
+
=
x
x
b
ax
x
w
13.
Obliczyć następujące całki:
∫
+
−
,
)
3
2
(
2
dx
e
x
x
x
∫
,
)
(log
2
dx
x
x
.
4
2
2
dx
e
e
x
x
∫
+
+
14.
Obliczyć:
.
)
1
(
1
2
/
3
2
dx
x
x
∫
∞
∞
−
+
+
N[x] – wartość numeryczna wyraŜenia x
Sqrt[x]- pierwiastek kwadratowy z x
Log[x] - lnx
Log[b, x] - logarytm o podstawie b z x
Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x] - funkcje trygonometryczne
Sec[x] – secans x (1/cosx)
Csc[x] - cosecans x (1/sinx)
Abs[x] - wartość bezwzględna z liczby x
n! - silnia liczby n
Binomial[n,k] - symbol Newtona
GCD[x1,x2,..., xn] - największy wspólny dzielnik
LCM[x1,x2,..., xn] - najmniejszy wspólna wielokrotność
FactorInteger[x] - rozkład na czynniki liczby x
Prime[k] - k-ta liczba pierwsza
PrimePi[x] - ilość liczb pierwszych z przedziału (0,x]
PrimeQ[x] - podaje, czy liczba x jest liczbą pierwszą
% - ostatni uzyskany wynik
%% - przedostatni wynik
%n - wynik zapisany w komórce Out[n]
Ćwiczenia nr 1
15.
Uprościć wyraŜenia:
a)
2
2
2
y
xy
x
+
−
, b)
.
3
3
2
2
y
x
y
xy
x
+
+
−
16.
Sprowadzić do wspólnego mianownika:
a)
,
1
1
2
1
−
+
−
x
x
b)
.
1
5
1
2
1
2
2
−
+
+
+
−
x
x
x
x
x
17.
RozłoŜyć na ułamki proste wyraŜenia otrzymane w zadaniu 16.
18.
Zapisać wyraŜenie
x
10
– 1 w postaci iloczynu czynników.
19.
Wprowadzić wyraŜenie:
)
3
(
)
2
(
)
1
)(
2
(
2
2
x
x
x
x
+
+
+
−
, a następnie:
a)
wykonać potęgowanie i mnoŜenie,
b)
sprowadzić do wspólnego mianownika wyraŜenie otrzymane w punkcie a),
c)
rozłoŜyć na ułamki proste wyraŜenie otrzymane w punkcie b).
20.
Wprowadzić wyraŜenie: (
x
+ 2
y
)
10
i wykonać potęgowanie. Ile wyrazów ma otrzymany
wielomian?
21.
Jaka jest najwyŜsza potęga ziemnej
x
, jaki współczynnik znajduje się przy
x
30
w następującym wyraŜeniu:
10
20
7
)
1
(
)
4
2
(
)
1
(
+
+
−
x
x
x
.
22.
Do wyraŜenie
2
)
cos
(sin
x
x +
zastosować polecenie
Expand
oraz
TrigExpand.
Porównać otrzymane wyniki.
23.
Udowodnić, Ŝe:
1
)
2
(sin
2
ctg
tg
−
=
+
x
x
x
.
Expand [wyraŜenie] - wylicza iloczyny i potęgi, zapisując wynik jako sumę
Factor[wyraŜenie] - zapisuje wyraŜenie w postaci iloczynu czynników
Together[wyraŜenie] - sprowadza do wspólnego mianownika
Apart[wyraŜenie] - rozkłada na ułamki proste
Cancel[wyraŜenie] - upraszcza ułamek
Simplify[wyraŜenie]- upraszczanie wyraŜenie
FullSimpify[wyraŜenie]- upraszczanie wyraŜenie
Coefficient[wielomian, zmienna] - podaje współczynnik przy zmiennej
Exponent[wielomian, zmienna] - podaje stopień wielomianu ze względu na zmienną
Part[wyrazenie, n] - n-ty składnik wyraŜenia
Collect[expr, zmienna]- grupuje współczynniki ze względu na zmienną
Length[wielomian] - podaje ilość składników
Ćwiczenia nr 2
1.
Co otrzymamy wprowadzając w pakiecie „Mathematica” następujące polecenia:
a) x
2
+ y
2
/.{x->2+a,y->3}
b) 1+f[x]+f[y]/.x->3
c) x = 10; x = x x; Log[x, 10]
d) a = 2; b = 3; {a^2b, a^(2b), a b, ab}
e) a = 2; {a(2), a^2a, a2}
f) x = 6; {x + 1, x – 2, x}/.x->3
g) x = π/2; Cos[x = x + π]; Sin[x]
h) x = π/6.; Cos[t = x]; Sin[t]
2.
Zdefiniować funkcję
.
sin
sin
1
)
(
x
x
x
f
+
=
Obliczyć
)
2
/
(
π
f
i
).
(
π
f
3.
Zdefiniować funkcję
.
)
(
1
)
(
x
x
f
x
g
+
=
Obliczyć
)
4
/
(
π
g
z dokładnością 100 cyfr po przecinku.
4.
Zdefiniować funkcję
.
1
ln
)
(
x
x
x
f
+
=
Obliczyć z dokładnością 50 cyfr po przecinku
)
2
(
f
i
).
(e
f
Obliczyć
).
(
lim
x
f
x
∞
→
5.
Zdefiniować funkcję
.
1
2
1
)
(
+
+
=
x
x
f
Wyznaczyć
)
(x
f ′
i
∫
.
)
( dx
x
f
6.
Funkcja
1
1
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f
nie jest określona dla x = 1. Jaką wartość naleŜy nadać tej funkcji
w punkcie x = 1, aby była ciągła?
7.
Obliczyć następujące granice:
a)
,
lim
100
99
100
n
n
n
n
−
+
∞
→
b)
,
1
2
3
8
lim
3
1
+
+
+
∞
→
n
n
n
c)
,
)
1
(
)
2
(
lim
20
3
3
20
+
+
∞
→
n
n
n
d)
,
2
3
1
3
lim
6
n
n
n
n
+
+
∞
→
e)
,
1
1
lim
2
3
2
3
1
−
−
+
−
+
−
→
x
x
x
x
x
x
x
f)
,
3
sin
5
sin
lim
0
x
x
x→
g)
,
cos
1
lim
2
0
x
x
x
−
→
h)
,
1
lim
2
0
tgx
e
x
x
−
→
i)
.
)
1
(
)
1
(
lim
2
1
−
−
→
x
x
tg
x
8.
Dla podanych funkcji obliczyć wskazane pochodne:
a)
,
)
(
2
x
e
x
f
=
),
(
'
x
f
b)
,
arccos
)
,
(
x
y
y
x
f
=
),
,
(
y
x
f
x
′
),
,
(
y
x
f
y
′
c)
,
)
,
,
(
x
y
z
x
z
y
x
f
−
=
),
,
,
(
z
y
x
f
x
′
),
,
,
(
z
y
x
f
y
′
),
,
,
(
z
y
x
f
z
′
d)
,
arctan
)
,
(
xy
y
x
f
=
),
,
(
y
x
f
xx
′′
),
,
(
y
x
f
yy
′′
),
,
(
y
x
f
xy
′′
e)
,
)
,
(
y
xe
y
x
f
−
=
,
4
5
y
x
f
∂
∂
∂
f)
),
2
ln(
)
,
,
(
2
z
y
x
z
y
x
f
−
+
=
.
2
2
5
y
x
z
f
∂
∂
∂
∂
Ćwiczenia nr 2
9.
Sprawdź, czy funkcja f spełnia równanie Laplace’a:
+
′′
)
,
(
y
x
f
xx
,
0
)
,
(
=
′′
y
x
f
yy
jeŜeli:
a)
,
)
,
(
2
2
y
x
x
y
x
f
+
=
b)
).
log(
)
,
(
2
2
y
x
y
x
f
+
=
10.
Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:
a)
,
1
1
)
(
2
x
x
f
−
=
b)
.
)
(
/
1
x
xe
x
g
=
11.
Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
a)
,
36
15
2
)
(
2
3
x
x
x
x
f
+
−
=
b)
.
4
)
(
2
+
=
x
x
x
g
12.
Wyznaczyć punkty przegięcia podanych funkcji:
a)
,
ln
)
(
x
x
x
f
=
b)
.
)
(
2
x
e
x
g
−
=
13.
Zbadać przebieg zmienności funkcji
,
1
)
10
(
)
(
2
2
+
+
=
x
x
x
x
f
według schematu:
a)
ustalić dziedzinę,
b)
wyznaczyć miejsca zerowe,
c)
sprawdzić czy podana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta,
d)
obliczyć granice na krańcach dziedziny,
e)
znaleźć asymptoty,
f)
wyznaczyć ekstrema funkcji oraz ustalić przedziały monotoniczności,
g)
wyznaczyć punkty przegięcia, ustalić przedziały wypukłości,
h)
sporządzić wykres.
x = wartość - przypisanie wartości zmiennej x
x = y = wartość - przypisanie wartości zmiennym x, y
x=. lub Clear[x] - skasowanie wcześniejszych przypisań
wyraŜenie/.x->wartość - podstawienie w wyraŜeniu w miejsce zmiennej x podanej
wartości
wyraŜenie/.{x ->wartx, y ->warty} - wykonanie dwóch podstawień jednocześnie
Limit[wyrazenie,x->x0] - granica wyraŜenia przy x dąŜącym do x0
Limit[wyrazenie,x->x0,Direction->-1] - z prawej strony
Limit[wyrazenie,x->x0,Direction->1] - z lewej strony
D[f, x] – pochodna cząstkowa funkcji względem x
D[f,{x, n}] - pochodna cząstkowa rzędu n po x
Solve[równanie,zmienna] - rozwiązanie równania bądź układu równań
Plot[f,{x, a, b}] - wykres funkcji f(x) w przedziale[a, b]
Ćwiczenia nr 3
1.
Utworzyć macierz
m o elementach
1
1
+
+
=
j
i
m
ij
dla
,
3
,
2
,
1
=
i
,
3
,
2
,
1
=
j
a następnie:
a)
przedstawić ją w postaci macierzowej,
b)
dodać do niej macierz jednostkową,
c)
obliczyć wyznacznik macierzy
,
ij
m
d)
wyznaczyć macierz transponowaną do macierzy
,
ij
m
e)
znaleźć macierz odwrotną (sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku).
2.
Obliczyć:
a)
+
−
4
0
1
2
2
1
2
3
1
b)
−
⋅
−
y
y
y
y
x
x
x
x
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
3.
Rozwiązać podane równanie macierzowe (sprawdzić poprawność odpowiedzi):
=
⋅
3
0
0
6
2
0
6
4
1
3
0
0
3
2
0
3
2
1
X
4.
Rozwiązać równanie macierzowe:
,
3
2
B
A
X
⋅
=
⋅
gdzie
,
1
1
3
0
1
2
1
1
1
−
−
=
A
],
2
[
j
i
B
+
=
,
2
,
1
,
0
=
i
.
1
,
0
,
1
−
=
j
5.
Dla danej macierzy
−
−
−
−
−
=
1
3
3
1
5
3
1
3
1
A
wyznaczyć wartości własne, wektory własne oraz
sprawdzić, czy wektory własne są liniowo niezaleŜne.
6.
Rozwiązać podane układy równań:
a)
=
+
−
=
+
15
6
3
2
5
y
x
y
x
b)
=
+
+
−
−
−
−
=
−
+
+
−
−
=
+
−
−
+
=
−
−
+
+
=
−
+
+
4
6
3
5
5
4
3
7
2
5
5
2
5
3
2
6
9
2
3
2
4
t
s
z
y
x
t
s
z
y
x
t
s
z
y
x
t
s
z
y
x
s
z
y
x
c)
=
+
+
=
+
+
−
=
+
−
18
5
2
5
4
3
7
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
d)
=
+
+
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
+
0
6
4
1
2
1
7
8
4
0
3
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
z
y
x
Table[f[i,j],{i,m},{j,n}] – tworzy macierz typu m x n, o elementach równych
f[i,j]
IdentityMatrix[n] – generuje macierz jednostkową typu n x n
Det[A] – oblicza wyznacznik macierzy A
Transpose[A] – transponuje macierz A
Inverse[A] – znajduje macierz odwrotna do macierzy A
A.B – mnoŜenie macierzy
MatrixPower[A, n] – oblicz n – tą potęgę macierzy A
Eigenvalues[A] – wyznacza wartości własne macierzy A
Eigenvectors[A] - wyznacza wektory własne macierzy A
LinaerSolve[A, b]- podaje rozwiązanie układu równań postaci A x = b
Ćwiczenia nr 4
1.
Rozwiązać podane równania (skorzystać z polecenia
Solve
) oraz podać interpretację
geometryczną, uŜywając funkcji
Plot:
a)
,
0
9
10
2
4
=
+
−
x
x
b)
,
0
6
3
2
=
−
−
−
x
x
c)
,
0
3
=
+ x
x
d)
,
2
1
1
3
=
−
−
+
x
x
e)
,
5
5
5
25
1
x
x
x
=
+
−
+
f)
.
3
cos
sin
3
=
+
x
x
2.
Rozwiązać podane układy równań (skorzystać z polecenia
Solve
) oraz podać interpretację
geometryczną:
a)
=
+
=
+
,
2
3
2
,
1
y
x
y
x
(do narysowania wykresu uŜyć funkcji
Plot
)
b)
=
+
=
+
.
4
4
,
4
4
2
2
2
2
y
x
y
x
3.
Rozwiązać równanie i sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku:
.
0
3
6
)
1
(
2
=
+
+
+
−
i
z
i
z
4.
Znaleźć styczną podanej funkcji
))
(
)
)(
(
(
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
+
−
′
=
oraz narysować na jednym
wykresie funkcję i jej styczną:
a)
f(x) = x + sinx w punkcie x = 0,
b)
f(x) = x sinx w punkcie x =
π
/2,
5.
Wykresy funkcji
x
y
x
y
/
1
i
cos
=
=
dla x > 0 mają nieskończenie wiele punktów
wspólnych. Jak moŜna wyznaczyć drugi z nich?
6.
Znaleźć rozwiązania równania:
.
3
1
sin
x
x =
7.
Korzystając z funkcji
FindRoot r
ozwiązać układ równań
:
=
+
−
−
+
=
.
0
1
5
2
,
log
3
2
2
x
xy
x
x
x
y
Punkt początkowy odczytać z wykresu utworzonego przy pomocy polecenia
ContourPlot.
Solve[{r1,r2,...},{x,y,...}] - rozwiązanie układu równań
FindRoot[{r1,r2,...},{x,x0},{y,y0}...]
-
numeryczne
rozwiązanie
równania
startujące z punktu {x0,y0}
Plot[f,{x, a, b}] - wykres funkcji f(x) w przedziale[a, b]
Plot[{f1, f2, ...},{x, a, b}] - wykres kilku funkcji razem
ContourPlot[f,{x,x
min
,x
max
},{y,y
min
,y
max
}] – wyrysowanie rysunku warstwicowego dla
funkcji f(x,y)
Show[wykres] - przerysowuje wykres
Show[wykres, opcja->wartość] - przerysowuje wykres ze zmienionymi opcjami
Show[wykres1, wykres2, ...]- nakłada na siebie kilka wykresów
(do narysowania wykresu uŜyć funkcji
ContourPlot
z
następującymi opcjami:
Contours->{0},ContourShading->False,
ContourStyle->Hue[0]
).
Ćwiczenia nr 5
Przykłady:
Plot[2x,{x,-5,3},PlotStyle-> {Thickness[0.03],Dashing[{0.05,0.05}],Hue[0.3]}]
Plot3D[Sin[x y],{x,1,4},{y,0,4}, Boxed->False, Mesh->False]
1. Narysuj:
•
funkcję
x
x
f
sin
)
(
=
dla
),
2
,
0
(
π
∈
x
•
funkcje
2
)
(
x
x
f
=
i
3
)
(
x
x
f
=
na jednym wykresie (uŜyć róŜnych kolorów i styli),
•
funkcję f(x, y) =
,
cos xy
•
funkcję f(x, y) =
)
sin(
3
3
y
x −
,
•
funkcję f(x, y) =
,
2
2
y
x
xye
+
−
•
krzywą określoną parametrycznie:
,
sin
,
cos
3
3
t
y
t
x
=
=
•
helisę kołową:
4
/
,
cos
,
sin
t
z
t
y
t
x
=
=
=
dla t∈<0, 20>,
•
powierzchnię spiralną:
4
/
,
cos
,
sin
t
z
t
u
y
t
u
x
=
=
=
dla t∈<0, 20> i u∈<-1,1>,
•
torus:
u
z
t
u
y
t
u
x
sin
,
sin
)
cos
3
(
,
cos
)
cos
3
(
=
+
=
+
=
dla t∈<0, 2π> i u∈<0, 2π>,
•
kulę:
u
z
u
t
y
u
t
x
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
=
=
=
dla t∈<0, 2π> i u∈<-π/2, π/2>.
UŜyj róŜnych opcji odpowiednich do danego typu wykresu.
Przykłady:
ListPlot[{1,2,3,4,5},PlotStyle→{Hue[0.3],PointSize[0.05]}]
ListPlot[{1,2,3,4,5},PlotJoined→True]
2. Utworzyć następujące listy (uŜyć polecenia
Table
) i przedstawić graficznie:
•
liczb parzystych od 2 do 50,
•
liczb postaci: i
3
, gdzie i zmienia się od 1 do 10;
•
silni liczb od 1 do 20,
•
sinusów liczb z poprzedniego podpunktu.
3.
Utworzyć wykres przedstawiający rodzinę funkcji
x
n
x
f
sin
)
(
=
dla
)
2
,
0
(
π
∈
x
i n = 1, …, 10.
UŜyć róŜnych kolorów.
4.
Narysować
rodzinę
funkcji
x
e
t
x
f
cos
)
(
⋅
=
dla
}
8
,...,
2
,
1
{
∈
t
i
.
16
,
16
>
−
∈<
x
Kolor, wzór i grubość krzywej uzaleŜnić od parametru t.
5.
Dana jest funkcja
x
xe
x
f
−
=
)
(
w przedziale <0, 2>. Narysować wykres tej funkcji oraz wykresy
stycznych
))
(
)
)(
(
(
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
+
−
′
=
, kaŜdy innym kolorem, w 9-ciu punktach o odciętych
rozłoŜonych równomiernie w tym przedziale.
Plot3D[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}] – tworzy "trójwymiarowy" wykres funkcji f
ParametricPlot[{fx, fy}, {t, t0, t1}] - utworzenie wykresu krzywej określonej
parametrycznie
ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, t0, t1}] - utworzenie wykresu krzywej
parametrycznej w przestrzeni
ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, t0, t1}, {u, u0, u1}]- utworzenie wykresu
powierzchni danej parametrycznie
Table[f, {i,1,n}]] - tworzy wektor długości n o elementach f(i)
Table[f,{i,j,n,d}] - tworzy wektor o elementach f(i) dla i zmieniającego się od
j do n z krokiem d
ListPlot[{y1, y2, ...}] - wykres punktów {1, y1}, {2, y2}, ...
ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ...}] - wykres punktów {x1, y1}, {x2, y2}, .
Ćwiczenia nr 6
1.
Narysować 10 współśrodkowych kół, kaŜde innym kolorem.
2.
Narysować:
a) „pawie oczko” składające się z sześciu okręgów, b) z sześciu kół,
c)
d)
Uwaga:
Aby narysować zamalowany prostokąt (kwadrat) naleŜy uŜyć funkcji:
3.
Narysować paletę kolorów dla funkcji
Hue[a],
(a – parametr z przedziału <0, 1>).
4.
Narysować paletę kolorów dla funkcji
RGBColor[a, b, 0.5]
(a, b – parametry z
przedziału <0, 1>).
5.
Narysować dowolny trójkąt z zaznaczonymi wierzchołkami. KaŜdy bok innym kolorem.
6.
Narysować dwa punkty
)
1
,
1
,
1
(
1
P
i
),
1
,
0
,
1
(
2
P
kaŜdy innym kolorem. Połączyć je linią.
7.
Narysować:
Show[Graphics[opcje, nazwa obiektu]]- utworzenie i wywołanie obiektu graficznego
Show[Graphics3D[opcje, nazwa obiektu]]- w 3D
Obiekty wbudowane (przykłady):
a) w dwóch wymiarach:
• Circle[{x, y}, r] - okrąg o środku w punkcie S(x, y) i promieniu r
• Disk[{x, y}, r] - kolo j.w.
• Line[{{x1,y1}, ... ,{xn, yn}}] - łamana
• Point[{x, y}] - punkt o współrzędnych (x, y)
• Polygon[{{x1,y1}, {x2, y2}, ... ,{xn, yn}}] - wielokąt o wierzchołkach
(x1,y1),...,(xn,yn)
b) w trzech wymiarach:
• Line[{{x1, y1, z1}, ...}] - trójwymiarowa łamana
• Point[{x, y, z}] - punkt
• Polygon[{{x1, y1, z1}, ...}] - wielokąt
Ćwiczenia nr 7
1. Wykonać następujące rysunki i wykresy:
a)
H
0,0
L
H
1,0
L
H
1,1
L
H
0,1
L
c)
b)
d)
π
4
π
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
H
π
4
,
è!!!!
2
2
L
y
=
sinx
y
=
cosx
Text[wyraŜenie, {x, y}] – wypisuje wyraŜenie wyśrodkowane względem punktu (x,y),
TextStyle – określa styl uŜyty do wypisywania tekstów na rysunku
(np. polecenie
TextStyle -> FontSize->16 zmieni rozmiar czcionki),
Ticks – pozwala opisać liczbami lub literami wybrane punkty na osiach, np.:
Ticks
→
998
0, "0"
<
,
9
π
4
, "
π
4
"
=
,
9
π
2
, "
π
2
"
==
, Automatic
=
,
Epilog – lista obiektów i dyrektyw tworzonych i wykorzystywanych po utworzeniu
głównego rysunku np.:
Ćwiczenia nr 8
1.
Utworzyć animację funkcji
x
i
i
x
f
cos
)
,
(
=
(i – iterator) dla
)
2
,
0
(
π
∈
x
oraz
).
10
,
1
(
∈
i
KaŜdy z rysunków wykonać innym kolorem. Zadanie rozwiązać dwoma metodami (tworząc
tablicę rysunków oraz korzystając z polecenia
Animate
).
2.
Korzystając z polecenia
MoviePlot3D
utworzyć animację funkcji
)
sin(
)
,
,
(
y
x
t
t
y
x
f
+
=
dla
).
6
,
1
(
∈
t
3.
Korzystając z polecenia
SpinShow
utworzyć animację obracającą wykres funkcji
)
cos(
)
,
(
y
x
y
x
f
=
wokół osi OZ.
4.
Tworząc tablicę rysunków wykonać animację wiatraka np.:
itd.
5. Tworząc tablicę rysunków wykonać animację ilustrującą fakt, Ŝe
,
1
1
lim
e
n
n
n
=
+
=
∞
→
np.:
pierwsza klatka animacji ostatnia klatka animacji
<<Graphics`Animation` - pakiet wspomagający animację
Animate[komenda, iterator] – animuje wyspecyfikowaną komendę graficzną
MoviePlot[f[x,t],{x,x
0
,x
1
},{t,t
0
,t
1
}]- animuje dwuwymiarowy wykres f(x, t),
t – iterator
MoviePlot3D[f[x,y,t],{x,x
0
,x
1
},{y,y
0
,y
1
},{t,t
0
,t
1
}]- animuje trójwymiarowy wykres
f(x, y, t), t – iterator
MovieParametricPlot[{f[x,t], g[x,t]},{x,x
0
,x
1
},{t,t
0
,t
1
}]- animuje krzywą podaną
w postaci parametrycznej, t – iterator
SpinShow[grafika]- animuje grafikę trójwymiarową, obracając ją wokół osi OZ
Ćwiczenia nr 9
1.
Zdefiniować funkcję
ws[n_, k_],
która wyznaczy współczynnik przy
k
b
w
n
bc
a
)
( +
(skorzystać z poleceń
Expand i Coefficient
).
2.
Zdefiniować funkcję
sum[a_, m_, n_, prec_],
wyznaczającą wartość
∑
=
n
m
k
a
k
1
z dokładnością
prec
.
3.
Zdefiniować funkcję
fib[n_]
obliczającą n – ty wyraz ciągu Fibonacciego, w którym
1
1
−
+
+
=
n
n
n
f
f
f
oraz
.
1
1
0
=
= f
f
Oblicz
.
20
f
Przedstawić graficznie 10 pierwszych
wyrazów tego ciągu. Wyrazy z nieparzystym indeksem zaznaczyć czerwonym kolorem.
4.
Wiadomo, Ŝe
.
!
1
0
e
k
k
=
∑
∞
=
Przedstawić w postaci graficznej błąd
∑
=
−
=
n
k
n
k
e
0
!
1
δ
dla
n = 5, 6 …, 12. Zdefiniować funkcję
blad[n_]
, która wyliczy opisany wyŜej błąd dla
dowolnego n.
5.
Równania parametryczne
at
x
cos
=
i
,
sin bt
y =
gdzie a i b są stałymi, opisują rodzinę
krzywych znanych jako krzywe Lissajou. Zdefiniować funkcję
lissajou[a_, b_]
,
która pozwoli na wykonywanie wykresów tych krzywych dla dowolnych wartości
parametrów a i b.
6.
Zdefiniować funkcję
w[n_]
, która narysuje n-kąt foremny. Boki wielokąta powinny mieć
róŜne kolory.
7.
Zdefiniować funkcję
oczko[n_]
w wyniku, której otrzymamy następujący rysunek (kaŜda
linia ma inny kolor):
oczko[10]
-10
-5
5
10
-10
-5
5
10
Expand[wyr] - wylicza iloczyny i potęgi zapisując wynik jako sumę
Coefficient[wielomian, zmienna] - podaje współczynnik przy zmiennej
Ćwiczenia nr 10
1.
Napisać procedurę
arytm[a1_,r_,n_]
w wyniku, której otrzymamy n – ty wyraz ciągu
arytmetycznego oraz sumę n wyrazów tego ciągu (
n
a
a
S
r
n
a
a
n
n
n
2
,
)
1
(
1
1
+
=
−
+
=
) np.:
arytm[2,3,10]
10 - ty wyraz tego ciągu to 29,
a suma 10 pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 155
2.
Napisać procedurę
styczna[f_, x0_]
w wyniku, której otrzymamy wykres
przedstawiający
funkcję
f(x)
oraz
styczną
do
tej
funkcji
w
punkcie
x0
))
(
)
)(
(
(
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
+
−
′
=
i równanie tej stycznej np.:
3.
Napisać procedurę
dlugoscluku[f_, {x_, x1_, x2_}]
w wyniku, której
otrzymamy długość łuku krzywej f(x) w przedziale (x1, x2) (
∫
+
=
b
a
dx
x
f
L
2
))
(
'
(
1
) oraz
następujący rysunek:
DlugoscLuku[Sin[x],{x, -Pi/4, Pi/4}]
Dlugosc luku wynosi 2.11619
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0.5
1
Ćwiczenia nr 11
1. Napisać procedury w wyniku, których otrzymamy:
a)
1.6
1.8
2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.6
1.8
2
-1
-0.5
0
0.5
1
Uwaga:
Skorzystać ze wzorów:
∫
=
b
a
dx
x
f
V
2
))
{
(
π
,
∫
+
=
b
a
dx
x
f
x
f
P
2
))
(
'
(
1
)
(
2
π
c)
<<Graphics`FilledPlot`
FilledPlot[funkcja, {zakres}, opcje] - wypełnia określonym kolorem przestrzeń
miedzy wykresem funkcji jednej zmiennej rzeczywistej a osią OX
<<Graphics`Graphics`
BarChart[lista] - wykres listy danych w postaci słupkowej
PieChart[lista] - wykres listy danych w postaci kołowej
<<Graphics`SurfaceOfRevolution`
SurfaceOfRevolution[f, zakres, opcje]
-
kreśli powierzchnię obrotową otrzymaną
przez orót krzywej f (obrót wokół osi OZ) dla x z danego przedziału
RevolutionAxis->{1,0,0} – obrót wokół osi OX
RevolutionAxis->{0,1,0} - obrót wokół osi OY
Uwaga:
Napisy na wykresie kołowym otrzymujemy korzystając z opcji
PieLabels,
np.:
PieChart[{12, 21, 18}, PieLabels -> {12,
21, 18}]
b)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole wynosi
1
3