1
R
C
B
A
lj
lj
ki
∈
∃
,
,
Całkowanie funkcji wymiernych
Twierdzenie Gaussa
Niech
[ ]
X
R
W
∈
( )
0
1
1
1
a
x
a
x
a
x
a
x
W
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
,
0
≠
n
a
Ka dy taki wielomian mo emy zapisa , jako iloczyn jednomianów i nierozkładalnych dwumianów:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
s
m
r
s
s
r
k
m
k
n
q
x
p
x
q
x
p
x
x
x
x
x
a
x
W
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
−
=
2
1
1
2
1
1
1
gdzie:
N
r
k
j
i
∈
,
,
0
4
2
<
−
j
j
q
p
,
m
i
,
,
1
=
,
s
j
,
,
1
=
(
)
n
r
r
k
k
s
m
=
+
+
+
+
+
1
1
2
Uwaga
Zatem, stosuj c iloczyn uogólniony, wzór z tezy twierdzenia Gaussa zapisujemy:
( )
(
)
(
)
∏
∏
=
=
+
+
⋅
−
⋅
=
s
j
r
j
j
m
i
k
i
n
j
i
q
x
p
x
x
x
a
x
W
1
2
1
Wniosek (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
1)
stopie P < stopie W
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
−
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
−
=
s
t
r
j
j
t
t
tj
tj
m
l
k
i
i
l
li
r
j
j
s
s
sj
sj
r
j
j
j
j
r
j
j
j
j
k
i
i
m
mi
k
i
i
i
k
i
i
i
t
l
s
m
q
x
p
x
C
x
B
x
x
A
q
x
p
x
C
x
B
q
x
p
x
C
x
B
q
x
p
x
C
x
B
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
W
x
P
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
[ ]
X
R
W
P
∈
,
2
2)
Natomiast, je li
stopie P
≥
stopie W
, to nasz iloraz przedstawiamy jako:
( )
( )
( )
( )
( )
x
W
x
R
x
Q
x
W
x
P
+
=
, gdzie
stopie R < stopie W
Ułamki proste:
I
rodzaju:
(
)
k
a
x
A
−
, które całkujemy w sposób nast puj cy:
(
)
(
)
>
+
−
−
⋅
=
−
⋅
=
−
+
−
1
1
1
ln
1
k
k
a
x
A
k
a
x
A
dx
a
x
A
k
k
II
rodzaju:
(
)
k
q
px
x
C
Bx
+
+
+
2
, gdzie całk z tego wyra enia obliczamy w taki sposób:
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
I
Bp
C
I
B
q
px
x
dx
Bp
C
dx
q
px
x
p
x
B
dx
q
px
x
C
Bx
k
k
k
⋅
−
+
⋅
=
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
+
(
)
>
−
+
+
=
+
+
=
−
1
1
1
ln
1
2
2
1
k
k
q
px
x
k
q
px
x
I
k
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
⋅
−
=
+
−
⋅
−
=
=
=
−
=
−
+
=
−
+
+
⋅
−
=
−
+
+
=
−
k
k
p
k
p
k
p
p
p
p
k
p
p
k
p
k
p
p
t
dt
q
dt
t
q
q
dt
q
dx
t
q
x
q
x
dx
q
q
x
dx
I
2
4
2
4
4
4
4
2
4
2
2
4
4
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
gdzie
( )
k
k
I
t
dt
=
+
2
1
obliczamy ze wzoru rekurencyjnego podanego dwie strony wcze niej.
3
Przykład
(
)
=
+
−
dx
x
x
x
2
3
1
2
Funkcj podcałkow rozkładamy na ułamki proste
(
)
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
−
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
x
F
Ex
x
D
Cx
x
B
x
A
x
x
x
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
x
x
x
F
Ex
x
x
D
Cx
x
B
x
Ax
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
x
F
Ex
x
x
D
Cx
x
B
x
Ax
x
+
+
+
+
+
+
+
+
≡
−
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
(
)
R
x
∈
∀
=
Porównujemy teraz współczynniki stoj ce przy zmiennych w tej samej pot dze:
B
x
A
x
F
D
B
x
E
C
A
x
D
B
x
C
A
x
=
−
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
1
:
2
:
2
0
:
2
0
:
0
:
0
:
0
1
2
3
4
5
Z tego układu równa wyliczamy:
1
2
1
2
1
2
=
−
=
=
−
=
−
=
=
F
E
D
C
B
A
czyli
(
)
(
)
(
)
(
)
C
I
arctgx
x
x
x
x
x
dx
x
arctgx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
−
+
⋅
=
+
+
−
+
+
+
−
+
−
=
+
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
ln
1
1
1
1
ln
1
ln
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
(
)
+
=
2
2
2
1
x
dx
I
obliczamy ze wzoru
(
)
(
)
1
2
1
1
2
2
2
2
3
2
−
−
+
−
+
−
−
=
n
n
n
x
n
x
I
n
n
I
(podanego
wcze niej).
Zatem
(
)
(
)
C
arctgx
x
x
x
x
x
C
x
x
arctgx
arctgx
x
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
−
2
3
2
2
2
1
1
ln
1
2
2
1
1
1
1
1
ln
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
opracował Paweł Sztur