ARKUSZ 7. Funkcje wymierne
1. Rozwiązać równania z niewiadomą x. Przeprowadzić dyskusję istnienia
rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów:
a)
12
1 − 9x
2
=
1 − 3x
1 + 3x
+
1 + 3x
3x − 1
,
b)
5
x
2
− 4
−
8
x
2
− 1
=
2
x
2
− 3x + 2
−
20
x
2
+ 3x + 2
,
c)
x − 2
x
= a +
b
x
,
d)
x + a
x − b
=
x − 2a
x + b
,
e)
a
x − a
+
b
x + a
=
a
2
x
2
− a
2
,
f )
x − 2a
x + 3a
= 3 −
2x
2
− 13a
2
x
2
− 9a
2
.
2. Rozwiązać nierówności:
a)
x
2
− 5
x
< x + 1,
b)
x
x
2
− 5x + 6
<
1
x − 2
,
c)
1
(x + 1)
3
>
1
x + 1
,
d)
x
2
− 5x + 3
x
2
− 1
< 1,
e) −1 <
x + 1
x − 1
<
3
x − 3
,
f ) 0 <
x
x
2
− x + 1
< 1.
3. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności
−1 <
x
2
+ mx
x
2
− x + 2
< 2,
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
4. Dla jakich wartości paramatru k w zbiorze rozwiązań danej nierówności
x
2
+ k
2
6 + x
1,
jest zawarty przedział h−1, 1i?
5. Dobrać liczby a, b tak, aby dla każdego x ∈ R \ {−1, 2} zachodziła
równość:
x
2
+ 5
x
3
− 3x − 2
=
a
x − 2
+
b
(x + 1)
2
.
6. Dane są funkcje f (x) =
x−b
3−x
oraz g(x) = −2x + 1. Dla jakich wartości
parametru b wykresy funkcji f, g mają:
14
