CALKOWAN I E

FUN KCJI

WYM

I E RN YCH

D E FIN ICJA .
F unkcja wymierna

t o ilo r a z d w´o c h wie lo m ia n ´o w.

Ulamek prosty

t o fu n kc ja wym ie r n a p o s t a c i

m

(kx+l)

n

lu b

rx+s

(ax

2

+bx+c)

n

,

g d z ie

a, b, c, m, k, l, r, s ∈ R, n ∈ N, k = 0 , ∆ = b

2

− 4 ac < 0 .

ME TOD A CA *L K OW A N IA .
1.

U *la m e k p r o s t y

m

(kx+l)

n

c a *lku je m y p o d s t a wia j¸a c z a

kx + l n o w¸a z m ie n n ¸a .

P R ZY K *L A D 1 .

1

2x+7

dx =

2x+7=t
2dx=dt dx=

1
2

dt

=

1

t

·

1
2

dt =

1
2

ln |t| + C =

1
2

ln |2 x + 7 | + C

P R ZY K *L A D 2 .

1

(2x+7)

3

dx =

2x+7=t
2dx=dt dx=

1
2

dt

=

1
2

1

t

3

dt =

1
2

t

−3

dt =

1
2

·

1

−2

t

−2

+C =

−1

4(2x+7)

2

+ C

2.

Tr ´o jm ia n kwa d r a t o wy m o ˙zn a z a p is a ´c w p o s t a c i ka n o n ic z n e j:

ax

2

+ bx + c = a( x − p)

2

+ q, g d z ie

p =

−b

2a

, q =

−∆

4a

.

U *la m e k p r o s t y

rx+s

(ax

2

+bx+c)

n

c a *lku je m y p o d s t a wia j¸a c

x − p =

q
a

t. U z ys ka n e p o

p o d s t a wie n iu c a *lki o b lic z a m y n a s t ¸e p u j¸a c o : w c a *lc e

t

(t

2

+1)

n

dt p o d s t a wia m y z a

t

2

+ 1

n o w¸a z m ie n n ¸a , c a *lka

I

n

=

1

(t

2

+1)

n

dt d la

n = 1

je s t r ´o wn a a r c t g x,

n a t o m ia s t d la

n > 1

o b lic z a m y j¸a s t o s u j¸a c wz ´o r r e ku r e n c yjn y.

P R ZY K *L A D .

x

4x

2

+8x+13

dx =

x

4(x+1)

2

+9

dx =

x+1=

√

9
4

t

t=

2
3

(x+1)

x+1=

3
2

t

dx=

3
2

dt

=

3
2

t−1

9t

2

+9

dt

=

3
2

·

1
9

t

t

2

+1

dt −

1
9

1

t

2

+1

dt =

3
2

·

1
9

·

1
2

2t

t

2

+1

dt −

1
9

1

t

2

+1

dt

=

1

12

ln |t

2

+ 1 | −

1
9

a r c t g t + C =

1

12

ln

4
9

( x + 1 )

2

+ 1

−

1
9

a r c t g

2
3

( x + 1 ) + C

Oczywi´scie calkuj¸ac

t

t

2

+1

zamiast ”dopasowuj¸ac” by licznik byl pochodn¸a mianownika

mo˙zna podstawi´

c za t

2

+ 1 now¸a zmienn¸a.

ME TOD A CA *L K OW A N IA FU N K CJI W Y MIE R N Y CH .
Fu n kc j¸e wym ie r n ¸a

L(x)

M (x)

r o z k*la d a m y n a s u m ¸e wie lo m ia n u i p e wn e j lic z b y u *la m k´o w

p r o s t yc h ( i s t o s u je m y wz ´o r : c a *lka s u m y je s t r ´o wn a s u m ie c a *le k) :

1 . Je ˙ze li s t o p ie ´n

L( x) n ie je s t m n ie js z y o d s t o p n ia

M ( x) , t o d z ie lim y lic z n ik

p r z e z m ia n o wn ik

L(x)

M (x)

= W ( x) +

L

1

(x)

M (x)

, u z ys ku j¸a c wie lo m ia n

W ( x) i n o w¸a

fu n kc j¸e wym ie r n ¸a , w kt ´o r e j s t o p ie ´n wie lo m ia n u

L

1

( x)

je s t m n ie js z y o d

s t o p n ia m ia n o wn ika .

2 . Je ˙ze li s t o p ie ´n

L( x)

je s t m n ie js z y o d s t o p n ia

M ( x) , t o z a p is u je m y m ia -

n o wn ik ja ko ilo c z yn c z yn n ik´o w p o s t a c i kx + l lu b

ax

2

+ bx + c ( t u :

∆

= b

2

−4 ac < 0 ) . N a s t ¸e p n ie r o z k*la d a m y

L(x)

M (x)

n a s u m ¸e u *la m k´o w p r o s t yc h .

K a ˙zd e m u c z yn n iko wi ( kx + l)

n

o d p o wia d a s u m a

D

1

(kx+l)

1

+ · · · +

D

n

(kx+l)

n

.

K a ˙zd e m u c z yn n iko wi ( ax

2

+ bx + c)

m

o d p o wia d a s u m a

R

1

x+S

1

(ax

2

+bx+c)

1

+ · · · +

R

m

x+S

m

(ax

2

+bx+c)

m

.

1

CALKOWAN I E

P E WN YCH

FUN KCJI

N I E WYM

I E RN YCH

TY P :

dx

√

ax

2

+bx+c

ME TOD A : Za p is u je m y t r ´o jm ia n kwa d r a t o wy w p o s t a c i ka n o n ic z n e j:
ax

2

+ bx + c = a( x − p)

2

+ q i p o d s t a wia m y x − p =

t

√

|a|

o t r z ym u j¸a c c a *lk¸e

p o s t a c i ( 1 7 ) lu b ( 1 8 ) .

TY P :

W

n

(x)

√

ax

2

+bx+c

dx, g d z ie

W

n

( x)

t o wie lo m ia n s t o p n ia n.

ME TOD A : Ca *lka t a d a s i¸e z a p is a ´c :

W

n

( x)

√

ax

2

+ bx + c

dx = Q

n−1

( x)

√

ax

2

+ bx + c + K

dx

√

ax

2

+ bx + c

,

g d z ie Q

n−1

( x) t o p e wie n wie lo m ia n s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d

n −1 . A b y z n a le ´z ´c

t e n wie lo m ia n i s t a *l¸a K wys t a r c z y z r ´o ˙zn ic z ko wa ´c p o wy˙zs z e r ´o wn a n ie , a n a s t ¸e p n ie
p o m n o ˙zy´c p r z e z

√

ax

2

+ bx + c.

P r z e z

W ( x

1

, . . . , x

n

) o z n a c z m y wyr a ˙ze n ie p o ws t a *le z

x

1

, . . . , x

n

o r a z s t a *lyc h

z a p o m o c ¸a s ko ´n c z o n e j lic z b y o p e r a c ji d o d a wa n ia , o d e jm o wa n ia , m n o ˙ze n ia i d z ie -
le n ia .

TY P :

W

s1

ax+b
cx+d

, . . . ,

sn

ax+b
cx+d

dx

ME TOD A : P o d s t a wia m y

ax+b
cx+d

= t

s

, g d z ie s t o n a jm n ie js z a ws p ´o ln a wie lo kr o t n o ´s ´c

lic z b

s

1

, . . . , s

n

.

CALKOWAN I E

P E WN YCH

FUN KCJI

T

RYGON OM

E T

RYCZN YCH

TY P :

W ( s in x, c o s x) dx

ME TOD A : P o d s t a wia m y: t = t g

x
2

( t a k z wa n e ” p o d s t a wie n ie u n iwe r s a ln e ” ) .

W t e d y dx =

2

1+t

2

dt, s in x =

2t

1+t

2

, c o s x =

1−t

2

1+t

2

.

TY P :

W ( s in x, c o s x) dx, g d y W( − s in x, c o s x) = −W( s in x, c o s x)

ME TOD A : P o d s t a wia m y: c o s x = t.

TY P :

W ( s in x, c o s x) dx, g d y W ( s in x, − c o s x) = −W( s in x, c o s x)

ME TOD A : P o d s t a wia m y: s in x = t.

TY P :

W ( s in x, c o s x) dx, g d y W( − s in x, − c o s x) = W( s in x, c o s x)

ME TOD A : P o d s t a wia m y: t = t g x.
W t e d y dx =

1

1+t

2

dt, s in

2

x =

t

2

1+t

2

, c o s

2

x =

1

1+t

2

.

TY P : Ca *lki ilo c z yn ´o w p o s t a c i: s in kx s in lx, c o s kx c o s lx, s in kx c o s lx.

ME TOD A : S t o s u je m y wz o r y z a m ie n ia j¸a c e ilo c z yn n a s u m ¸e :

s in α s in β =

1
2

c o s ( α − β) − c o s ( α + β)

c o s α c o s β =

1
2

c o s ( α − β) + c o s ( α + β)

s in α c o s β =

1
2

s in ( α − β) + s in ( α + β) .