POLITECHNIKA WROCŁAWSKA ZAKŁAD AUTOMATYKI i STEROWANIA w ENERGETYCE		Wydział Elektryczny Rok studiów: Rok Akademicki : Termin:
Metody Numeryczne
Data wykonania ćwiczenia:	Temat: Całkowanie funkcji
Data oddania sprawozdania:
Prowadzący:

1. Cel i zakres ćwiczenia

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z procesem całkowania w środowisku programistycznym MatLab. Do scałkowania zadanego równania (zadanie 2.6) zostały wykorzystane 3 różne metody –prostokątów, trapezów, Simpsona. Sprawdzenie oraz porównanie wyników uzyskanych przez program dokonano przez analityczne rozwiązanie zadanego równania.

1. Przebieg ćwiczenia

W pierwszej części ćwiczenia zadane równanie należało rozwiązać analitycznie w celu późniejszego porównania i sprawdzenia poprawności działania algorytmów. Następnie używając polecenia quad i trapz należało odpowiednio rozwiązać równanie metodą prostokątów oraz trapezów. W przypadku tej drugiej metody bardzo ważnym czynnikiem wpływającym na poprawność uzyskanych wyników okazał się krok całkowania. W końcowej części ćwiczenia należało napisać algorytm do obliczeń metodą Simpsona.

$$S = \int_{0}^{0.025}{\left( sin(100\pi t \right) - e^{\frac{- t}{0.002}})dt}$$

T = 0.001

Rozwiązanie analityczne:

$$\int_{0}^{0.025}{\operatorname{(sin}\left( 100\pi t \right) - e^{\frac{- t}{0.002}})dt = \int_{0}^{0.025}{\sin\left( 100\pi t \right)dt - \int_{0}^{0.025}e^{\frac{- t}{0.002}}}dt = \left\lbrack \frac{- cos(100\pi t)}{100\pi} \right\rbrack\frac{0.025}{0} - \left\lbrack 0.002e^{- 500t} \right\rbrack\ \frac{0.025}{0} = \ \left( \left( \frac{- cos(100\pi 0.025)}{100\pi} \right) - \left( \frac{- cos(0)}{100\pi} \right) \right) - \left( \left( 0.002e^{- 500*0.025} \right) - \left( 0.002e^{0} \right) \right) = 0.003183 - 0.001999 = \mathbf{0.001183}}$$

Metoda	Prostokątów	Trapezowa	Simpsona
Wyniki	Prostokatow Q = 0.0012	T=0.001	Trapez z = 0.0011
		T=0.005	Trapez z = 0.0056
		T=0.01	Trapez z = 0.0112

Czasy wykonywania poszczególnych algorytmów

Metoda	Prostokątów	Trapezów	Simpsona
Czas [s]	tq = 0.0020	tz = 3.6314e-004	ts = 0.0018

1. Wnioski

- najdokładniejszą metodą obliczeniową do rozwiązania zadanego równania całkowego okazała się metoda Simpsona

- spośród wszystkich metod najlepszą okazała się metoda trapezów ze względów na niewielką długość i skomplikowanie algorytmu, dosyć wysoką dokładność oraz znaczną szybkość obliczeń

- metody prostokątów i Simpsona działają z bardzo podobną szybkością

- metoda analityczna jest metodą bardzo pewną i dokładną, dlatego została wykorzystana do sprawdzenia pozostałych metod

- w metodzie trapezów i Simpsona bardzo duże znaczenie dla poprawności i dokładności obliczeń ma przyjęcie odpowiednich warunków początkowych