Całkowanie funkcji wymiernych Twierdzenie Gaussa
Niech
W ∈ R[ X ]
W ( x)
n
n 1
= a
+
−
an ≠
−
+ +
+
n x
an x
a x a
1
1
0 ,
0
Ka dy taki wielomian mo emy zapisa , jako iloczyn jednomianów i nierozkładalnych dwumianów: W ( x) = a ( x − x ) k ⋅ ⋅ x − x
⋅ x 2
1
1
1
+ p x
1
+ q
⋅ ⋅ x 2
1
+ p x + q
n
(
) k
m
(
) r
(
s
s ) sr
m
gdzie: k , ∈
2
p
q
i = ,
1 ,
j = ,
1 ,
j − 4 j <
i rj
N ,
0 ,
m ,
s
k
2
1 +
+ k + 1 + +
=
m
( r
rs ) n
Uwaga
Zatem, stosuj c iloczyn uogólniony, wzór z tezy twierdzenia Gaussa zapisujemy: W ( x)
m
s
=
2
j
i
a
x x
x
p x q
n ⋅ ∏ ( −
) k
i
⋅∏( + j + ) r
j
i=1
j=1
Wniosek (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste) 1)
P, W ∈ [
R X ]
A
∃ , B , C ∈ R
ki
lj
lj
stopie P < stopie W
P( x)
k
k
k
1
2
m
A
A
A
1
2
W ( x) =
i
+
i
+ +
mi
+
i
i
i
i=1 ( x − x 1 ) i=1 ( x − x 2 ) i=1 ( x − xm ) r 1
2
s
B 1 x C 1
B 2 x C 2
B x C
j
+
r
j
j
+
r
j
sj
+
+
+
+ +
sj
=
j
j
j
2
2
2
j =1 ( x + p x
1 + q 1 )
j =1 ( x + p x
2
+ q 2)
j =1 ( x + p x q s
+ s )
m
kl
s
rt
A
B x C
li
tj
+
=
+
tj
i
j
2
l =1 i=1 ( x − xl ) t =1 j =1 ( x + p x q t
+ t )
1
Natomiast, je li stopie P ≥ stopie W , to nasz iloraz przedstawiamy jako: P( x)
R x
=
+
W ( x) Q( x) ( )
W ( x) , gdzie stopie R < stopie W
Ułamki proste: A
I rodzaju: ( x − ) k a , które całkujemy w sposób nast puj cy: A ⋅ ln x − a
k = 1
A
dx =
− k+1
( x − a) k
A ⋅ ( x − a) k > 1
− k +1
Bx + C
II rodzaju: (
, gdzie całk z tego wyra enia obliczamy w taki sposób: x 2 + px + ) k
q
Bx + C
B
2 x + p
Bp
dx
B
Bp
(
dx =
dx + C −
= ⋅ I + C −
⋅ I
2
x + px + q) k 2 ( 2
x + px + q) k 2
( 2 x + px + q) k 1
2
2
2
ln 2
x + px + q
k = 1
I
k
1 =
( x + px+ q)−1
2
k > 1
1− k
x + p 2 = t
2
dx
1
dx
q − p
I 2 =
4
((
2 k
2 k
k
x + p 2 )2 +
p
q
4 ) =
−
( p
q
4 ) ⋅
−
( x + p 2) =
=
2
dx
=
1 +
dt
2
q − p 2
q − p 4
4
2
1
q − p
=
4
1
dt
(
1
q
2
1
2
2
1
4 ) ⋅
dt
−
k
p
( t 2) =
+
k
( p
q
4 )
⋅
k
k
−
−
( + t 2)
gdzie dt( =
+
obliczamy ze wzoru rekurencyjnego podanego dwie strony wcze niej.
t 2
1
) I
k
k
2
2 x −1
(
x
x) dx =
+ 2
3
Funkcj podcałkow rozkładamy na ułamki proste 2 x −1
A
B
Cx + D
Ex + F
2
x ( 2
x + ) = +
+
+
2
2
2
1
x
x
x +1
( x ) =
+ 2
2
1
Ax( x + )2
2
1 + B( x + )2
2
1 + ( Cx + D)( 2
x + ) 2
1 x + ( Ex + F ) 2
=
x
2
x ( x + )2
2
1
2 x −1 ≡ Ax( x + )2
2
1 + B( x + )2
2
1 + ( Cx + D)( x 2 + ) 1 x 2 + ( Ex + F ) x (= x
∀ ∈ R)
Porównujemy teraz współczynniki stoj ce przy zmiennych w tej samej pot dze: x 5 : 0 = A + C
x 4 : 0 = B + D
x 3 : 0 = 2 A + C + E
x 2 : 0 = 2 B + D + F
x 1 : 2 = A
x 0 : −1 = B
Z tego układu równa wyliczamy:
A = 2
D = 1
B = 1
−
E = 2
−
C = 2
−
F = 1
czyli
2 x −1
2
1
− 2 x +1 − 2 x +1
1
(
=
−
+
+
= 2⋅ln + −
2
ln
+1 +
+
x + ) dx
x 2
3
x x 2
x 2 +1
( x 2 + ) dx
x
2
( x ) arctgx
1
x
1
dx
x 2
+
+
= ln
+ 1 + 1 +
+
2
2
2
2
2 +
x +1
( x 2 + )
arctgx I
C
1
x +1 x x +1
dx
2 n − 3
x
I
I
I
n =
n
+
2 =
(
obliczamy ze wzoru
1
−
(podanego
x + )2
2
1
2 n − 2
(2 n − 2)(1+ x ) n 1
2
−
wcze niej).
Zatem
2 x −1
x 2
1
1
1
x
(
= ln
+ +
+
+
+
+ =
x + x) dx
arctgx
arctgx
2
3
x 2 +1 x x 2 +1
2
2(1+ 2 ) C
x
x 2
1
2 + x
= ln
+ +
+ 3 arctgx + C
x 2 +1 x 2 x 2 + 2 2
opracował Paweł Sztur
3