Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

1

________________________________________________________________

Witek

Odpowiedzi.

AD1.

Musimy sprawdzić dla jakich mianownik nie ma miejsc zerowych.
Jeżeli

, to w mianowniku mamy 4 i jest OK. Jeżeli

to mamy w

mianowniku funkcję dwukwadratową. Podstawiając

mamy trójmian

i musimy sprawdzić kiedy

dla

(bo takie wartości

przyjmuje

).

Zauważmy, że

, zatem gdyby współczynnik przy był ujemny,

to funkcja musiałaby mieć nieujemny pierwiastek i byłoby źle. Zatem musi
być

Zauważmy ponadto, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną
równą

W połączeniu z warunkiem

oznacza to, że

dla

o ile

tylko

(funkcja rośnie na prawo od -3, jeżeli więc

, to taka sama

nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb dodatnich).

Odpowiedź:

AD2.

Sprawdźmy najpierw kiedy mianownik nie ma miejsc zerowych (aby dziedziną

był zbiór )

Miejsca zerowe funkcji to dokładnie miejsca zerowe licznika. Aby funkcja
miała dwa różne miejsca zerowe musi być

.

Odpowiedź:

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

2

________________________________________________________________

Witek

AD3.

Wyrażenie w mianowniku nie może być równe zero, sprawdźmy kiedy tak

jest.

Odpowiedź:

AD4.

Musimy ustalić dla jakich wartości parametru równanie

ma rozwiązania. Liczymy.

Zauważmy teraz, że jeżeli

, to mamy równanie

, które

oczywiście ma rozwiązania. Jeżeli natomiast

, to mamy równanie

kwadratowe, więc wystarczy sprawdzić, kiedy

.

Odpowiedź:

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

3

________________________________________________________________

Witek

AD5.

a.

Musimy uzasadnić, że równanie

(z niewiadomą ) ma zawsze rozwiązanie. Liczymy (wyliczamy )

Dalej,

, co oznacza, że równanie to ma zawsze dwa różne

rozwiązania. W szczególności jedno z nich jest niezerowe (musimy takie
znaleźć, bo 0 nie należy do dziedziny funkcji ).

b.

Musimy znaleźć dwie wartości i , dla których

. Można

spróbować zgadnąć, ale można też skorzystać z poprzedniego podpunktu.
Uzasadniliśmy w nim, że każdą wartość funkcja przyjmuje w 2 punktach
(w zasadzie mogłoby się zdarzyć, że jednym z pierwiastków otrzymanego
równania kwadratowego jest 0 i wtedy mamy tylko jednego -a, a nie dwa,
ale łatwo sprawdzić, że

nigdy nie jest pierwiastkiem).

Jeżeli chcemy mieć konkretny przykład, to biorąc np.

mamy

,

czyli

AD6.

Skorzystamy ze wzoru

Liczymy

Odpowiedź:

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

4

________________________________________________________________

Witek

AD7.

Dziedziną funkcji będą wszystkie liczby, dla których mianownik nie jest równy

0. Liczymy

Widać zatem, że do dziedziny nie należą liczby

Odpowiedź:

AD8.

Musimy wykazać, że równanie (z niewiadomą )

ma rozwiązanie dla dowolnego

. Liczymy

Jeżeli

, to równanie to ma rozwiązanie

. Jeżeli natomiast

, to

jest to zwykłe równanie kwadratowe z parametrem.
Ponieważ

, to równanie to ma zawsze dwa rozwiązania.

Nie jest to jednak jeszcze koniec – musimy sprawdzić, że te rozwiązania to nie
jest para

. To jednak łatwo wynika ze wzorów Viète’a:

Tak więc zbiorem rozwiązań tego równania nie może być para

, co

pokazuje, że każda liczba rzeczywista jest wartością danej funkcji.

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

5

________________________________________________________________

Witek

AD9.

Na mocy nierówności:

Wystarczy pokazać, zbiór rozwiązań nierówności

zawiera wszystkie liczby dodatnie. Liczymy

Aby rozłożyć licznik szukamy jego miejsc zerowych. Łatwo znaleźć
pierwiastek

. Dzielimy licznik przez

. My zrobimy to grupując

wyrazy

Rozkładamy trójmian w nawiasie,

,

lub

. Możemy

więc zapisać naszą nierówność w postaci

Ta nierówność jest oczywiście spełniona przez każdą liczbę dodatnią (bo
każdy składnik jest nieujemny).

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

6

________________________________________________________________

Witek

AD10.

Ułamek jest tym większy, im mniejszy ma mianownik. Aby znaleźć

najmniejszą wartość mianownika, zapisujemy go w postaci kanonicznej.

Zatem najmniejszą wartość otrzymamy dla

i jest ona równa

.

Odpowiedź:

AD11.

Odpowiedź:

AD12.

a.

Liczymy

b.

Musimy uzasadnić nierówności

Mnożąc przez mianowniki skorzystaliśmy z tego, że są one dodatnie.
Otrzymane nierówności są oczywiście prawdziwe, co dowodzi tezy (bo są
równoważne nierównościom, które mieliśmy udowodnić).

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

7

________________________________________________________________

Witek

AD13.

To co mamy sprawdzić, to dla jakich wartości mianownik nie ma miejsc
zerowych.

Sprawdźmy najpierw co się dzieje jeżeli mianownik jest liniowy. Jeżeli
to mamy w mianowniku 1 i jest OK. Jeżeli

, to mamy

i

nie

należy do dziedziny danej funkcji.

Jeżeli

to mamy w mianowniku funkcję kwadratową i aby nie miała

ona pierwiastków musimy mieć

.

Odpowiedź:

AD14.

Wyrażenia w mianownikach nie mogą być równe 0, czyli

i

.

Odpowiedź:

AD15.

Ponieważ

mianownik jest niezerowy dla

oraz

Odpowiedź:

AD16.

Liczymy (sprowadzamy do wspólnego mianownika).

Odpowiedź:

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

8

________________________________________________________________

Witek

AD17.

a.

Aby usasadnić, że funkcja jest nieparzysta musimy sprawdzić, że zachodzi

równość

. Liczymy

b.

Musimy pokazać, że jeżeli

to

. Liczymy

W ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że mianownik jest dodatni,
i

.

c.

Zobaczmy co dokładnie mamy wykazać

Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnego

, zatem

dla

dowolnego

.

AD18.

Licznik rozłożymy ze wzoru

Natomiast mianownik rozkładamy licząc pierwiastki

Mamy zatem

Odpowiedź:

Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.

9

________________________________________________________________

Witek

AD19.

Rozłożymy licznik i mianownik na czynniki. Najpierw licznik: szukamy
pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo znaleźć
pierwiastek

. Dzielimy zatem wielomian przez

– my zrobimy to

grupując wyrazy.

No i dalej nie ma co liczyć, bo wyrażenie w nawiasie to mianownik
wyjściowego ułamka.

Odpowiedź: