CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH,

TRYGONOMETRYCZNYCH I NIEWYMIERNYCH

CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH

Definicja ( funkcja wymierna właś ciwa) L x

Funkcję wymierną W ( x) ( )

=

nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest M ( x)

mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. W przeciwnym przypadku mówimy, ze funkcja wymierna jest niewłaściwa.

Uwaga.

Każdą funkcję wymierna niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Definicja ( ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju) A

1.

Funkcję wymierną postaci

∈ℕ

∈ℝ

(

, gdzie n

, a, A

, nazywamy ułamkiem prostym

x + a) n

pierwszego rodzaju.

Bx + C

2.

Funkcję wymierną postaci (

, gdzie n ∈ ℕ, b, c, B, C ∈ ℝ , oraz 2

∆ = b − 4 c < 0 , nazywamy

n

2

x + bx + c)

ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Twierdzenie ( o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Funkcja wymierna właściwa

L ( x)

( x − x ) ( x − x ) l

l

l

k

k

k

...( x − x

x + b x + c

x + b x + c

x + b x + c

r )

(

)1 (

)2

1

2

2

2

...( 2

s

r

1

2

1

1

2

2

s

s )

jest sumą k + k + ... + k ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l + l + ... + l ułamków prostych 1

2

r

1

2

s

drugiego rodzaju, przy czym

czynnikowi ( x − x

odpowiada suma k

i ) ki

i

ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:

A

A

A

1

2

ik

i

i

+

+ +

, gdzie A , A ,..., A ∈ ℝ 1 ≤ i ≤ r , x − x

(

1

i

i 2

ik

x − x )

...

i

2

( x − x ) ik

i

i

i

i

l

czynnikowi ( 2

x + b x + c

odpowiada suma l

j

j ) j

j ułamków prostych drugiego rodzaju postaci: B x + C

B x + C

B x + C

1

1

2

2

jl

jl

j

j

j

j

+

+ ...

j

j

+

, gdzie B , B ,..., B , C , C ,..., C ∈ ℝ 1 ≤ j ≤ s .

2

x + b x + c

j 1

j 2

jl

j 1

j 2

jl

j

j

j

j

(

l

2

x + b x + c

x + b x + c

j

j )2

( 2 j j) j

Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju

Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie t = x + a i następnie

 ln t + C dla α = −1



korzystamy ze wzoru:

α

α 1

∫ t dt =  t +



+ C dla α ≠ 1

−

α +1

2

Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju

Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór ( Bx + C) dx B (2 x + b) dx 

Bb 

dx

∫ (

= ∫

+  C −

 ∫

.

n

n

n

2

x

bx

c)

2

( 2 x bx c) 

2 

+ +

+ +

( 2 x + bx+ c)

Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia 2

t = x + bx + c , a drugą po sprowadzeniu 2

2









2

b

b

trójmianu

2

x + bx + c do postaci kanonicznej: ( x − p) + q =  x +  +  c −

 i podstawieniu



2 



4 

x − p = q ⋅ t za pomocą wzoru: dx

x

2 n − 3

dx

∫ (

∫

.

+ ) =

+

n

( − ) ( + ) n 1− 2( n− )1

n−

2

1

a

x

a

n

a x

a

( x + a) 1

2

2

2

(** - ograniczymy się do n=1)

CAŁKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Całkowanie funkcji postaci: sin n ⋅ cos m x

x :

1. Jeśli n lub m jest nieparzystą liczbą naturalną stosujemy „jedynkę trygonometryczną”: 2

2

sin x = 1− cos x ( lub

2

2

cos x = 1− sin x )

2. Jeśli n, m są parzystymi liczbami naturalnymi wykorzystujemy tożsamości: 1

1

2

sin x =

(1−cos2 x), 2

cos x =

(1+ cos2 x)

2

2

(*) Całkowanie funkcji postaci: sin ax ⋅ cos bx, sin ax ⋅sin bx, cos ax ⋅ cos bx : Do obliczania całek funkcji takiej postaci stosujemy następujące tożsamości trygonometryczne: 1

sin ax ⋅ cos bx = sin



( a + b) x + sin( a − b) x ,



2

1

sin ax ⋅ sin bx =

cos( a − b) x − cos( a + b) x





2

1

cos ax ⋅ cos bx =

cos( a + b) x + cos( a − b) x





2

Uwaga.

R( u, v) - funkcja wymierna dwóch zmiennych, tzn. funkcja, którą można przedstawić w postaci ilorazu wielomianów dwóch zmiennych.

Całkowanie funkcji postaci: R (sin x,cos x) : x

2

2 t

1 − t

2 dt

Podstawienie: t = tg

(podstawienie uniwersalne). Wówczas: sin x =

, cos x =

, dx =

.

2

2

2

2

1 + t

1 + t

1 + t

(*) Całkowanie funkcji postaci: R (

2

2

sin x, cos x):

2

t

1

dt

Podstawienie: t = tgx . Wówczas: 2

2

sin x =

, cos x =

, dx =

.

2

2

2

1 + t

1 + t

1 + t

3

CAŁKI FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

Całkowanie funkcji zawierają cych

2

ax + bx + c

dx

1. Całka typu ∫

.

2

ax + bx + c

Trójmian kwadratowy

2

ax + bx + c sprowadzamy do postaci kanonicznej ( − )2

a x

p

+ q .

Następnie, stosując podstawienie: a ( x − p) = qt , sprowadzamy całkę do postaci: dt

dt

2

∫

= ln t + t +1 + C, a > 0 lub ∫

= arcsin t + C, a < 0 .

2

t + 1

2

1 − t

W

x dx

n (

)

2. Całka typu ∫

, gdzie W x jest wielomianem n – tego stopnia, ma następującą n (

)

2

ax + bx + c

postać:

W

x

dx

n (

)

∫

dx= A

x

ax + bx + c + B∫

n− (

)

2

1

2

2

ax + bx + c

ax + bx + c

Wartości współczynników A , A ,..., A , B

1

2

n 1

−

otrzymujemy jako rozwiązanie układu równań, który powstaje po obustronnym zróżniczkowaniu powyższego wzoru, pomnożeniu przez 2

ax + bx + c

i porównaniu wielomianów.

ax + b

Całkowanie funkcji zawierają cych pierwiastki z

cx + d



ax

b

ax

b 

+

+

ax + b

Całki postaci ∫ W  x,

α

m

, n

d

 x





, obliczamy przez podstawienie

= t gdzie α jest

cx



+ d

cx + d 

cx + d

najmniejszą wspólną wielokrotnością stopni m, n tych pierwiastków.

4