Miary zmienności

Wartości średnie nie dają wyczerpującej charakterystyki struktury 
zbiorowości. Przede wszystkim nie informują o stopniu zmienności 
(dyspersji) badanej cechy. Dyspersją nazywamy zróżnicowanie jednostek 
zbiorowości ze względu na wartość badanej cechy. Siłę dyspersji 
oceniamy za pomocą pozycyjnych i klasycznych miar zmienności. Do 
miar klasycznych zaliczamy: odchylenie przeciętne, wariancję, odchylenie 
standardowe oraz współczynnik zmienności (w zależności od techniki 
obliczania może być również pozycyjną miarą dyspersji)

Odchylenie przeciętne określa, o ile wszystkie jednostki danej 
zbiorowości różnią się średnio ze względu na wartość zmiennej od średniej 
arytmetycznej tej zmiennej. Odchylenie przeciętne jest średnią 
arytmetyczną bezwzględnych wartość (modułów) odchyleń 
wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Oblicza się je wg 
wzoru:

dla szeregu wyliczającego:

∑

=

−

=

N

i

i

x

x

N

d

1

1

dla szeregu rozdzielczego punktowego:

i

k

i

i

n

x

x

N

d

⋅

−

=

∑

=

1

1

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

i

k

i

i

n

x

x

N

d

⋅

−

=

∑

=

1

0

1

Ćwiczenie 5
Oblicz odchylenie przeciętne dla podanego szeregu

Tab. Nauczyciele szkół średnich w miejscowości Z wg stażu pracy

Staż pracy

(w latach)

Liczba 

nauczyciel

i

i

n

Obliczenie pomocnicze

0

i

x

i

i

n

x

0

i

i

n

x

0

i

i

i

n

n

x

⋅

0

0-5

5-10

10-15
15-20
20-25

4
7

10
15

8

2,5
7,5

12,5
17,5
22,5

10,0
52,5

125,0
262,5
180,0

13,6

8,6
3,6
1,4
6,4

54,4
60,2
36,0
21,0
51,2

25-30
30-35

4
2

27,5
32,5

110,0

65,0

11,4
16,4

45,6
32,8

Ogółem

50

x

805,0

x

301,2

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.45.

Najpierw należy obliczyć średni staż pracy:

lat

x

1

,

16

50

805

=

=

Wynik podstawiamy do wzoru:

lat

d

6

2

,

301

50

1

=

⋅

=

Otrzymany wynik oznacza, że przeciętne zróżnicowanie badanej 
zbiorowości nauczycieli ze względu na staż pracy wynosi 

±

 6 lat.

Wariancja jest to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń 
poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej 
zbiorowości. 

Dla szeregu wyliczającego oblicza się ją wg wzoru:

∑

=

−

=

N

i

i

x

x

N

s

1

2

2

)

(

1

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

i

N

i

i

n

x

x

N

s

∑

=

−

=

1

2

2

)

(

1

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

i

N

i

i

n

x

x

N

s

∑

=

−

=

1

2

0

2

)

(

1

Ćwiczenie 6
Oblicz wariancję z podanego szeregu.

Tab. Zgony niemowląt na wsi wg wieku w Polsce w 1977 r.

Wiek

zmarłych

(dni)

i

i

x

x

1

0

−

Liczba 

zmarłyc

h

i

n

Obliczenie pomocnicze

0

i

x

i

i

n

x

0

x

x

i

−

2

0











 −

x

x

i

i

i

n

x

x

2

0











 −

0-6

3 186

3,0

9 558

-3,6

12,96

41 290,56

7-13

14-20
21-27
28-29

623
336
243

74

10,0
17,0
24,0
28,5

6 230
5 712
5 832
2 109

3,4

10,4
17,4
21,9

11,56

108,16
302,76
479,61

7 201,88

36 341,76
73 570,68
35 491,14

Ogółem

4 462

x

29 441

x

x

193 896,02

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.47.

Najpierw należy obliczyć średnią arytmetyczną:

dnia

x

6

,

6

4462

29441

=

=

Następnie podstawiamy do wzoru:

2

2

5

,

43

4462

02

,

193896

dni

s

=

=

Wariancja, jako suma kwadratów dzielona przez liczbę dodatnią jest 
zawsze wielkością dodatnią i mianowaną. Mianem wariancji jest kwadrat 
jednostki fizycznej, w jakiej mierzona jest badana cecha. 

Im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana tym wyższa jest wartość
wariancji

Wariancja obliczona na podstawie szeregów rozdzielczych przedziałowych 
jest wielkością zawyżoną. Powoduje to fakt, że do obliczeń wykorzystuje 
się środki przedziałów klasowych, a nie średnie arytmetyczne z 
poszczególnych klas.

Wariancja jest wielkością kwadratową. Aby uzyskać miarę zróżnicowania o 
postaci liniowej (o mianie zgodnym z mianem badanej cechy), wyciągamy 
pierwiastek kwadratowy. W wyniku pierwiastkowania otrzymujemy tzw. 
odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z 
wariancji.

2

s

s

=

Odchylenie standardowe określa o ile wszystkie jednostki danej 
zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej badanej 
zmiennej. Dla poszczególnych rodzajów szeregów korzystamy z 
odpowiednich wzorów na wariancję, a następnie wyciągamy pierwiastek 
kwadratowy z wariancji.

Możemy je wykorzystać do konstrukcji typowego obszaru zmienności 
badanej cechy. W obszarze tym mieści się około 2/3 wszystkich jednostek 
badanej zbiorowości statystycznej. Typowy obszar zmienności określa 
wzór:

http://notatek.pl/miary-zmiennosci?notatka