1
Drgania elektromagnetyczne
i prądy zmienne
przeł
ą
cznik do pozycji (a)
)
1
(
/ L
Rt
e
R
I
−
−
= ε
Obwód RL
Obwód RC
)
1
(
/ RC
t
e
C
Q
−
−
=
ε
C
Q
R
dt
dQ
+
=
ε
dt
dI
L
IR
ε
+
=
przeł
ą
cznik do pozycji (b)
L
Rt
e
R
I
/
−
=
ε
RC
t
e
C
Q
/
−
=
ε
dt
dI
L
IR
+
=
0
C
Q
R
dt
dQ
+
=
0
L
R
U
U
+
=
ε
C
R
U
U
+
=
ε
?
=
=
dt
dQ
I
?
=
=
dt
dI
L
U
L
Wł
ą
czanie i wyłaczanie napi
ę
cia (szeregowe RC i RL)
2
Drgania w obwodzie LC
C
Q
W
E
2
2
=
2
2
Li
W
B
=
Opis ilo
ś
ciowy
0
=
+
C
L
U
U
(prawo Kirchhoffa)
0
=
+
C
Q
dt
dI
L
0
1
2
2
=
+
Q
LC
dt
Q
d
równanie drga
ń
w obwodzie LC
W obwodzie LC mamy do czynienia z oscylacjami (drganiami)
ładunku
(
pr
ą
du
).
Zmienia si
ę
zarówno warto
ść
jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i pr
ą
du
w obwodzie.
Równanie opisuj
ą
ce oscylacje ładunku ma identyczn
ą
posta
ć
jak równanie drga
ń
swobodnych masy zawieszonej na spr
ęż
ynie,
ładunek
Q
→
przesuni
ę
cie
x
;
pojemno
ść
C
→
odwrotno
ść
współczynnika spr
ęż
ysto
ś
ci
1/k;
pr
ą
d
I = d Q /dt
→
pr
ę
dko
ść
v = dx/dt;
indukcyjno
ść
L
→
masa
m
.
t
Q
Q
0
0
cos
ω
=
t
ω
I
t
ω
ω
Q
t
d
dQ
I
0
0
0
0
0
sin
sin
−
=
−
=
=
LC
1
0
=
ω
cz
ę
sto
ść
drga
ń
0
2
0
2
2
=
+
Q
dt
Q
d
ω
3
Napi
ę
cia chwilowe na i pr
ą
d
w obwodzie:
t
C
Q
U
o
C
ω
cos
0
=
t
Q
Q
0
0
cos
ω
=
LC
1
0
=
ω
W obwodzie LC ładunek na kondensatorze, nat
ęż
enie pr
ą
du i napi
ę
cie zmieniaj
ą
si
ę
sinusoidalnie tak jak dla drga
ń
harmonicznych.
Mi
ę
dzy napi
ę
ciem i nat
ęż
eniem pr
ą
du istnieje ró
ż
nica faz, równa
π
/2.
)
2
/
cos(
sin
0
0
0
0
π
+
=
−
=
t
ω
I
t
ω
I
I
Ka
ż
dy obwód ma pewien opór R (np. opór drutu z którego nawini
ę
to cewk
ę
).
Obecno
ść
oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielaj
ą
cego si
ę
ciepła.
Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do
drga
ń
tłumionych spr
ęż
yny, przy czym współczynnik tłumienia
β
= R/2L.
0
=
+
+
IR
C
Q
dt
dI
L
0
2
2
0
2
2
=
+
+
Q
dt
dQ
dt
Q
d
ω
β
0
2
2
=
+
+
LC
Q
dt
dQ
L
R
dt
Q
d
t
e
Q
Q
t
ω
β
cos
0
−
=
2
2
0
β
ω
ω
−
=
małe
tłumienie
t
e
C
Q
U
t
c
ω
β
cos
0
−
=
Drgania w obwodzie RC
4
0
cos
I
I
t
ω
=
0
0
cos
cos
R
U
R I
RI
t
U
t
ω
ω
= ⋅ =
=
=
0
i t
R
U
R I e
R I
ω
= ⋅
= ⋅
R
U
R I
= ⋅
0
cos
R
U
U
t
ω
=
0
0
U
I
R
= ⋅
Zapis czasowy
0
i t
C
U
U e
ω
=
Re{
}
C
U
U
=
0
0
[cos
sin
]
i t
I
I e
I
t
i
t
ω
ω
ω
=
=
+
Zapis w postaci zespolonej
Re{ }
I
I
=
Pr
ą
d zmienny (drgania wymuszone)
- opornik
ϕ = 0
t
T
I
U
R
T/2
R – rezystancja
0
cos
I
I
t
ω
=
0
0
1
1
cos(
/ 2)
cos(
/ 2)
C
U
I dt
I
t
C
C
U
t
ω π
ω
ω π
=
=
−
=
=
−
∫
(
/2)
0
0
1
1
i
t
i t
C
C
U
I e
i
I e
iX
I
C
C
ω π
ω
ω
ω
−
=
⋅
= −
⋅
=
⋅
C
C
U
iX
I
=
⋅
0
cos(
/ 2)
C
U
U
t
ω π
=
−
0
0
1
|
|
C
C
U
I
X
gdzie X
C
ω
= ⋅
= −
Zapis czasowy
(
/ 2)
0
i
t
C
U
U e
ω π
−
=
Re{
}
C
U
U
=
0
i t
I
I e
ω
=
Zapis w postaci zespolonej
Re{ }
I
I
=
Pr
ą
d zmienny (drgania wymuszone)
- kondensator
X
c
– reaktancja
kondensatora
ϕ = −π/2
t
T
I
U
C
T/2
5
0
cos
I
I
t
ω
=
0
0
cos(
/ 2)
cos(
/ 2)
L
dI
U
L
L I
t
dt
U
t
ω
ω π
ω π
=
=
+
=
=
+
(
/2)
0
0
i
t
i t
L
L
U
L I e
i L I e
iX
I
ω π
ω
ω
ω
+
=
⋅
=
⋅
=
⋅
L
L
U
iX
I
=
⋅
0
cos(
/ 2)
L
U
U
t
ω π
=
+
0
0
|
|
L
L
U
I
X
gdzie X
L
ω
= ⋅
=
Zapis czasowy
(
/ 2)
0
i
t
L
U
U e
ω π
+
=
Re{
}
L
U
U
=
0
i t
I
I e
ω
=
Zapis w postaci zespolonej
Re{ }
I
I
=
Pr
ą
d zmienny (drgania wymuszone)
- cewka
ϕ = +π/2
t
T
I
T/2
X
L
– reaktancja
cewki
Drgania w obwodzie RLC mo
ż
na podtrzyma
ć
je
ż
eli obwód b
ę
dziemy zasila
ć
zmienn
ą
SEM ze
ź
ródła zewn
ę
trznego wł
ą
czonego do obwodu.
0
cos(
)
dI
Q
L
RI
U
ω
t
dt
C
ϕ
+
+ =
+
0
cos
I
I
t
ω
=
0
?
I
=
?
ϕ
=
Analogia do mechanicznych drga
ń
wymuszonych:
0
cos(
)
U
U
t
ω ϕ
=
+
Pr
ą
d zmienny (drgania wymuszone)
- RLC
2
0
2
d
d
1
sin(
)
d
d
I
R
I
I
U
t
t
L
t
CL
L
ω
ω ϕ
+
+
= −
+
6
0
cos
I
I
t
ω
=
[
]
(
)
(
)
R
C
L
C
L
C
L
U
U
U
U
R iX
iX
I
R i X
X
I
Z I
=
+
+
=
+
+
⋅ =
+
+
⋅ = ⋅
Zapis czasowy pr
ą
du
0
i t
I
I e
ω
=
Zapis w postaci zespolonej
Re{ }
I
I
=
Pr
ą
d zmienny (drgania wymuszone)
- RLC
0
Re{ }
cos(
)
U
U
U
t
ω ϕ
=
=
+
(
)
0
0
|
|
i
i t
i
t
U
Z I
Z e I e
U e
ϕ
ω
ω ϕ
+
= ⋅ =
=
2
2
0
0
1
U
I
R
L
C
ω
ω
=
+
−
R
C
L
tg
ω
ω
ϕ
1
−
=
Przebieg czasowy
napi
ę
cia:
ϕ
t
T
I
U
T/2
wykres wektorowy
2
2
0
0
Im{ }
|
|
: |
|
tg
Re{ }
Z
X
U
I
Z
gdzie
Z
R
X
oraz
Z
R
ϕ
= ⋅
=
+
=
=
(
)
|
|
i
C
L
Z
R i X
X
R iX
Z e
ϕ
= +
+
= +
=
X– reaktancja
R –rezystancja
Z - impedancja
trójk
ą
t impedancji
0
cos
I
I
t
ω
=
Zapis czasowy pr
ą
du
0
i t
I
I e
ω
=
Zapis w postaci zespolonej
Re{ }
I
I
=
Pr
ą
d zmienny (drgania wymuszone)
– RLC (podsumowanie)
0
Re{ }
cos(
)
U
U
U
t
ω ϕ
=
=
+
(
)
0
0
|
|
i
i t
i
t
U
Z I
Z e I e
U e
ϕ
ω
ω ϕ
+
= ⋅ =
=
2
2
0
0
0
1
|
|
U
I
Z
I
R
L
C
ω
ω
= ⋅
=
+
−
1
L
X
C
tg
R
R
ω
ω
φ
−
=
=
Przebieg czasowy napi
ę
cia:
ϕ
t
T
I
U
T/2
wykres wektorowy
X– reaktancja
R –rezystancja
Z - impedancja
trójk
ą
t impedancji
7
Rezonans (RLC)
Drgania ładunku, pr
ą
du i napi
ę
cia w obwodzie odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
zasilania
ω
(cz
ę
sto
ś
ci
ą
wymuszaj
ą
c
ą
).
Analogicznie jak dla mechanicznych drga
ń
wymuszonych
amplituda tych drga
ń
zale
ż
y od
ω
i osi
ą
ga maksimum dla
pewnej charakterystycznej warto
ś
ci tej cz
ę
sto
ś
ci.
Warunek rezonansu dla małego
oporu
R
czyli dla małego tłumienia
LC
1
0
=
=
ω
ω
Nat
ęż
enie pr
ą
du osi
ą
ga warto
ść
maksymaln
ą
R
U
I
0
0
=
Nat
ęż
enie pr
ą
du w obwodzie jest takie,
jak gdyby był w nim tylko opór
R
.
2
2
0
0
1
−
+
=
C
L
R
U
I
ω
ω
Moc w obwodzie pr
ą
du zmiennego
[
][
]
0
0
( )
( ) ( )
cos
cos(
)
p t
U t I t
I
t U
t
ω
ω ϕ
=
=
+
2
0 0
0 0
1
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin 2
sin )
2
p(t) U I
ω
t (
ω
t
ω
t
) U I (
ω
t
ω
t
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
−
=
−
0
0
0
1
( )
cos
2
T
U I
P
P t dt
T
φ
=
=
∫
Moc czynna
to średnia moc tracona w obwodzie,
tj. moc, którą odbiornik pobiera ze źródła i
zamienia na pracę lub ciepło.
moc chwilowa:
0 0
0 0
cos
(1 cos 2
)
sin
sin 2
2
2
U I
U I
p(t)
ω
t
ω
t
ϕ
ϕ
=
+
−
0 0
sin
2
U I
Q
ϕ
=
Moc bierna to
moc, która nie zamienia się w
odbiornikach w inny rodzaj mocy (pulsuje między
źródłem a odbiornikiem).
(1 cos 2
)
sin 2
p(t)
P
ω
t
Q
ω
t
=
+
−
8
Moc w obwodzie pr
ą
du zmiennego
Moc czynna
zale
ż
y od przesuni
ę
cia fazowego
pomi
ę
dzy napi
ę
ciem i pr
ą
dem.
ś
rednia moc
tracona na
oporze R
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
(
cos
)
2
T
T
R
I R
P
I Rdt
RI
t dt
P
T
T
ω
=
=
=
=
∫
∫
•Cała moc wydziela si
ę
na oporze R
(jest to moc czynna)
, na kondensatorze i cewce
nie ma strat mocy. Gdy w obwodzie znajduje si
ę
tylko pojemno
ść
lub indukcyjno
ść
(nie
ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe
π
/2, a poniewa
ż
cos(
π
/2) = 0 to
ś
rednia moc jest równa zeru.
2
0 0
0
cos
2
2
U I
RI
P
ϕ
=
=
Moc czynna:
2
0 0
0
sin
2
2
U I
XI
Q
ϕ
=
=
Moc bierna:
cos
|
|
R
Z
ϕ
=
2
0 0
0
0
0
(|
|
)
cos
2
2
|
|
2
U I
Z I I
I R
R
P
Z
ϕ
=
=
=
moc
ś
rednia
wydzielana w
całym obwodzie
sin
|
|
X
Z
ϕ
=
2
2
sk
sk
U
P
I
R
R
=
=
dla pr
ą
du stałego
dla pr
ą
du zmiennego
warto
ść
skuteczna
nat
ęż
enia pr
ą
du
zmiennego
0
2
R
sk
I
I
=
0
2
R
sk
U
U
=
warto
ść
skuteczna
napi
ę
cia
zmiennego
Mierniki pr
ą
du zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytuj
ą
wła
ś
nie warto
ś
ci skuteczne.
2
2
0
0
2
2
R
R
I R
U
P
R
=
=
Warto
ść
skuteczna pr
ą
du zmiennego (lub jego napi
ę
cia)
jest tak
ą
warto
ś
ci
ą
pr
ą
du (napi
ę
cia) stałego, która w ci
ą
gu czasu równego okresowi pr
ą
du
zmiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał pr
ą
du zmiennego.
0
0
R
I
I
=
cos
sk
sk
P
U I
ϕ
=
Moc czynna:
sin
sk
sk
Q
U I
ϕ
=
Moc bierna: