FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

1. Podstawowe określenia

2. Właściwości funkcji

3. Rodzaje funkcji

PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Definicja  1. Mówimy,  że  w  zbiorze  liczb  X  jest  określona  pewna 

funkcja  f, (funkcja  jednej  zmiennej),  jeżeli  każdej  liczbie  x 

ze  zbioru  X  jest  przyporządkowana  według  pewnego 

przepisu  jedna  i  tylko  jedna  wartość innej  zmiennej  y 

z pewnego zbioru Y. 

y = f(x)

gdzie:

x  - argument funkcji lub zmienna niezależna,

y  - wartość funkcji, zmienna zależna,

X  - dziedzina funkcji lub pole określoności lub 

obszar oznaczoności ,

Y   - zbiór wartości, przeciwdziedzina lub zakres funkcji.

Definicja 2. Wykresem  funkcji y  = f(x)  nazywamy  zbiór  wszystkich 

punktów  P(x,y),  których  współrzędne  x  i  y  spełniają

równanie y = f(x). 

PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Definicja 3. Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w przedziale, 

jeżeli  dla  każdej  pary  różnych  wartości  x

1

≠ x

2

z  tego 

przedziału  odpowiadające  im  wartości  funkcji  są różne 

f(x

1

) 

≠ f(x

2

) .

Definicja 4. Niech h: X 

→ U  i  f: U → Y. Funkcję F: X → Y taką, że 

dla każdej wartości argumentu x mamy:

F(x) = f [ h(x) ]

nazywamy funkcją złożoną z funkcji h i f lub superpozycją

tych funkcji.

PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Definicja 5. Funkcję h nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f (ozn. f

-1

), 

jeżeli dla każdej wartości argumentu x mamy:

f [ h(x) ] = x .

Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej y = x.

y

=

WŁAŚCIWOŚCI FUNKCJI

1.

Funkcje ograniczone i nieograniczone

Definicja 6. Funkcję f nazywamy :

-

ograniczon w zbiorze X 

⇔ ∃

M

∀

x

∈X

If(x)I 

≤ M, 

-

ograniczoną z dołu w zbiorze X

⇔ ∃

M

∀

x

∈X

M 

≤ f(x),

-

ograniczoną z góry w zbiorze X 

⇔ ∃

M

∀

x

∈X

f(x) 

≤ M.

Funkcję,  która  nie  jest  ograniczona  (z  góry,  z  dołu)  w  zbiorze 

X,  nazywamy  funkcją nieograniczoną (z  dołu,  z  góry  w  tym 

zbiorze.

2.

Funkcje monotoniczne

Definicja 7. Funkcję f nazywamy:

-

rosnącą w zbiorze X 

⇔ ∀ x

1

, x

2

∈X x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) < f(x

2

) 

-

malejącą w zbiorze X 

⇔ ∀ x

1

, x

2

∈X x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) > f(x

2

)

-

stała w zbiorze X 

⇔ ∀ x

1

, x

2

∈X f(x

1

) = f(x

2

)

WŁAŚCIWOŚCI FUNKCJI

3.

Funkcje parzyste i nieparzyste

4.

Funkcje okresowe

Definicja 9. Funkcję f nazywamy okresową, wtedy i tylko wtedy, gdy

∃

T

≠0

∀

x

∈X

f(x +T) = f(x)

Definicja 8. Funkcję f nazywamy:

-

parzystą

⇔ ∀

x

∈X

f(-x) = f(x),

-

nieparzystą

⇔ ∀

x

∈X

f(-x) = -f(x).

RODZAJE FUNKCJI

1.

Funkcje potęgowe i wielomiany

Definicja 11. Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci:

y = x

n

gdzie n jest liczbą naturalną.

Właściwości funkcji potęgowej:

-

jeżeli  n  – liczba  parzysta,  to  funkcja  potęgowa  jest  parzysta  i  jej 

wykres jest symetryczny względem osi y,

-

jeżeli n –liczba nieparzysta, to funkcja potęgowa jest nieparzysta 

i  początek  układu  współrzędnych  O  jest  środkiem  symetrii 

wykresu funkcji.

Definicja 12. Funkcję potęgową pomnożoną przez stały współczynnik, 

czyli funkcję:

y = a x

n

gdzie a jest pewną stałą, nazywamy jednomianem.

RODZAJE FUNKCJI

Definicja  13. Wielomianem nazywamy  sumę funkcji  potęgowych 

pomnożonych 

przez 

stałe 

współczynniki. 

Wielomian 

piszemy w postaci:

y = W(x) = a

n

x

n

+ a

n-1

x

n-1

+...+ a

1

x + a

0

gdzie a

0

, a

1

,…,a

n

są stałymi współczynnikami.

Przykłady:

Najprostszym wielomianem jest funkcja liniowa

y = ax + b

Wykresem  funkcji  liniowej  jest  linia  prosta  tworząca  z  osią x 

kąt 

ϕ, którego tangens równa się współczynnikowi a (współczynnikowi 

kątowemu).

RODZAJE FUNKCJI

Wielomian stopnia drugiego

y = ax

2

+ bx + c

gdzie a 

≠ 0, nazywamy trójmianem kwadratowym.

Wykresem jest parabola o osi równoległej do osi y i wierzchołku 

S(-b/2a,  -

∆/4a)

gdzie 

∆ = b

2

– 4ac.

RODZAJE FUNKCJI

2.

Funkcje wymierne

Definicja 14. Funkcję

y= P(x) / Q(x)

gdzie  P(x),  Q(x)  są wielomianami,  nazywamy  funkcją wymierną.

Dziedziną funkcji  wymiernej  są wszystkie  liczby  rzeczywiste  które  nie 

są pierwiastkami mianownika Q(x). 

RODZAJE FUNKCJI

Definicja 15. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję

y= a

x

gdzie  a  jest  pewną

stałą

dodatnią

różną

od  1. 

Stałą a nazywamy podstawą funkcji wykładniczej.

3.

Funkcje wykładnicze

RODZAJE FUNKCJI

Definicja  16. Funkcją odwrotną do  funkcji  wykładniczej  y  =  a

x 

jest 

funkcja logarytmiczna w postaci:

y= log

a

x

4.

Funkcje logarytmiczne

gdzie x > 0, a jest pewną stałą dodatnią różną od 1. 

Wykres funkcji logarytmicznej nazywamy krzywą logarytmiczną.

RODZAJE FUNKCJI

5.

Funkcje trygonometryczne

Niech  dany  będzie  okrąg  o  promieniu  R  o  środku  O  w  początku 

układu  współrzędnych  oraz  punkt  M(x,y)  leżący  na  tym  okręgu. 

Oznaczmy przez 

α miarę kąta utworzonego przez odc. OM z osią x. 

Cztery 

podstawowe 

funkcje 

trygonometryczne

określamy 

następująco:

cos

α

α

α

α = x / R

sin

α

α

α

α = y / R

tg

α

α

α

α = y / x

ctg

α

α

α

α = x / y

Funkcje sin

α i cosα określone są dla wszystkich wartości α.

Funkcja tg

α określona dla wszystkich wartości α, z wyjątkiem α = (2k + 1)π, 

gdzie k liczba całkowita.

Funkcja  tg

α określona  dla  wszystkich  wartości  α,  z  wyjątkiem  α =  k  π, 

gdzie k jest liczbą całkowitą.

RODZAJE FUNKCJI

6.

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Rozważmy okrąg o promieniu R = 1 położony powyżej osi x i styczny 

w  początku  układu  współrzędnych.  Każdej  odciętej  x  w  przedziale 

-1 

≤ x  ≤ 1  opowiada  na  dolnej  połowie  okręgu  jeden  punkt  A, 

któremu  z  kolei  odpowiada  jeden  określony  kąt 

∠OSA.  Kąt  ten 

obliczany w mierze łukowej i oznaczamy przez y, jest funkcją odciętej 

x. Funkcję tę nazywamy arcussinusem zmiennej x i oznaczamy

y = arcsinx,

-1 

≤ x ≤ 1

RODZAJE FUNKCJI

Rozważmy  w  układzie  współrzędnych  oprócz  okręgu  prostą s 

przechodzącą przez  jego  środek  i  równoległą do  osi  x.  Rozważmy 

kąt  między  prostą s  a  odcinkiem  SA  i  oznaczmy  go  przez  y.  Każdej 

odciętej    x  z  przedziału    -1 

≤ x  ≤ 1odpowiada  na  dolnym  półokręgu 

określony punkt A, któremu z kolei odpowiada jeden określony kąt y. 

Kąt ten obliczany w mierze łukowej jest funkcją odciętej x. Funkcję tę

nazywamy arcuscosinusem zmiennej x i oznaczamy 

y = arccosx,    -1 

≤ x ≤ 1

RODZAJE FUNKCJI

y

1

-1

0

x

π

Rozważmy  odcinek  SE    (SE’),  gdzie  E  to  punkt  na  dodatniej  części 

osi  x,    (E’ na  ujemnej  części  osi  x),  oraz  kąt  utworzony  przez  ten 

odcinek  i  oś y.  Oznaczmy  go  przez  y  (y’).  Każdej  wartości  x

∈R 

odpowiada określony punkt E (dla x<0 – E’), a temu punktowi z kolei 

odpowiada  jeden  kąt  y  = 

∠OSE ( dla x<0 – y’). W ten sposób kąt y 

jest funkcją zmiennej x, określoną w zbiorze R; funkcję tę nazywamy 

arcustangensem zmiennej x i oznaczamy

y = arctgx, 

x

∈R

RODZAJE FUNKCJI

y

1

-1

0

x

π

Oznaczmy przez y kąt między prostą s a odcinkiem SE.  Kąt ten jest 

funkcją zmiennej x

∈R; nazywamy ją arcuscotangensem zmiennej x 

i oznaczamy 

y = arcctgx, 

x

∈R

Zadania



















<

−

<

<

−

≤

≤

−

−

<

+

=

x

x

tgx

x

x

x

x

arctg

x

f

π

π

π

π

π

π

π

;

1

2

;

2

2

;

cos

2

);

2

(

)

(

y

1

-1

0

x

π

Narysuj wykres funkcji



















<

−

−

≤

<

+

≤

<

−

+

−

<

=

x

x

x

x

x

x

x

g

x

2

3

;

3

2

2

2

3

0

);

2

1

(

log

0

2

;

)

2

1

(

1

2

;

5

)

(

2

1