Zmienna losowa
Zad 1. Na zbiorze zdarze
ń
elementarnych
}
,
,
,
,
{
5
4
3
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
=
Ω
zdefiniowano zmienn
ą
losow
ą
w nast
ę
puj
ą
cy sposób:,
X(
ω
1
)=0, X(
ω
2
)=X(
ω
3
)= X(
ω
4
)=1, X(
ω
5
)=2
, zdarzenia elementarne s
ą
jednakowo
prawdopodobne. Prosz
ę
: a) wyznaczy
ć
rozkład tak zdefiniowanej zmiennej losowej, (okre
ś
li
ć
funkcj
ę
prawdopodobie
ń
stwa); b) poda
ć
parametry rozkładu; c) wyznaczy
ć
i przedstawi
ć
graficznie dystrybuant
ę
tej zmiennej losowej.
Zad 2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej:
x
i
-2
-1
0
1
2
F(x
i
)
0,10
0,25
0,65
0,85
1
Prosz
ę
poda
ć
parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz wyznaczy
ć
dominant
ę
i median
ę
.
Zad 3. Prawdopodobie
ń
stwo zatrzymania dostawy półproduktów na granicy pa
ń
stwa wynosi 0,1.
Dostawy s
ą
organizowane oddzielnie do ka
Ŝ
dego z czterech zakładów przedsi
ę
biorstwa.
a) Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e dwa zakłady nie utrzymaj
ą
ci
ą
gło
ś
ci produkcji z powodu braku
dostaw półproduktu? b) Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e co najwy
Ŝ
ej dwa zakłady stan
ą
?
Zad 4. Po terenie miasta je
ź
dzi 1000 samochodów. Prawdopodobie
ń
stwo wezwania pogotowia
technicznego w ci
ą
gu doby przez samochód wynosi 0,002. Obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e:
a) w ci
ą
gu pewnej doby pogotowie nie b
ę
dzie wzywane ani razu; b) w ci
ą
gu pewnej doby pogotowie
b
ę
dzie wzywane co najwy
Ŝ
ej raz; c) jakiej liczby wezwa
ń
mo
Ŝ
na oczekiwa
ć
?
Zad 5. Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta z 8 stopniami swobody. Prosz
ę
wyznaczy
ć
nast
ę
puj
ą
ce
prawdopodobie
ń
stwa:
P(|t| <1,4); P(t <1,4);
P(t >3,36).
Zad 6. Zmienna losowa
2
χ
ma rozkład Chi-kwadrat z 5 stopniami swobody. Prosz
ę
wyznaczy
ć
nast
ę
puj
ą
ce prawdopodobie
ń
stwa:
)
07
,
11
(
2
<
χ
P
;
)
07
,
11
15
,
1
(
2
<
<
χ
P
.
Zad 7. Zmienna losowa X ma rozkład
N(m;
σ
)
. Prosz
ę
obliczy
ć
:
)
(
σ
σ
+
<
<
−
m
X
m
P
;
)
2
2
(
σ
σ
+
<
<
−
m
X
m
P
;
)
3
3
(
σ
σ
+
<
<
−
m
X
m
P
.
Jak zmieni
ą
si
ę
powy
Ŝ
sze prawdopodobie
ń
stwa, je
ś
li zmienna losowa X, b
ę
dzie miała rozkład N(20; 8)?
Zad 8.
Ś
rednia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładaj
ą
c,
Ŝ
e waga ma
rozkład normalny obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e: a) losowo wybrany produkt wa
Ŝ
y nie wi
ę
cej ni
Ŝ
21,2
kg; b) losowo wybrany produkt wa
Ŝ
y wi
ę
cej ni
Ŝ
20 kg; c) waga losowo wybranego produktu ró
Ŝ
ni si
ę
od
ś
redniej najwy
Ŝ
ej o jedno odchylenie standardowe.
Zad 9. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o warto
ś
ci oczekiwanej równej zero. Wyznaczy
ć
odchylenie standardowe tej zmiennej, je
ś
li wiadomo,
Ŝ
e przyjmuje ona warto
ś
ci nie wi
ę
ksze ni
Ŝ
3
z prawdopodobie
ń
stwem równym 0,95.
Zad 10. Zmienna losowa Y ma rozkład normalny D(Y)=30. Znale
źć
E(Y) wiedz
ą
c,
Ŝ
e P(Y<80)=0,6915.
Zad 11.
Pr
ę
dko
ść
samochodów na pewnym odcinku autostrady ma rozkład normalny o parametrach
(100; 10) km/h. a) Jaki procent przeje
Ŝ
d
Ŝ
aj
ą
cych samochodów przekracza dopuszczaln
ą
pr
ę
dko
ść
wynosz
ą
c
ą
110km/h? b) Jak
ą
minimaln
ą
pr
ę
dko
ść
osi
ą
ga 25% samochodów jad
ą
cych najszybciej?
Zad 12. Zmienna losowa ma rozkład N(10; 1). Podaj dominant
ę
, median
ę
i kwartyle tej zmiennej losowej.
Zad 13. Zmienna losowa X ma rozkład N(18; 2,1). Zmienna losowa Y ma rozkład normalny, pierwszy
i trzeci kwartyl wynosz
ą
16,6 i 23,4. Porównaj oba rozkłady pod wzgl
ę
dem poło
Ŝ
enia, zró
Ŝ
nicowania i
asymetrii.
Zad 14. X~N(27;8), Y~N(31; 6). Oblicz prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e: a) suma tych zmiennych losowych nie
przekroczy 50; b) zmienna losowa Z=X-Y-3 przyjmie warto
ść
nie mniejsz
ą
ni
Ŝ
13.
Zad 15. Zmienna losowa X ma rozkład N(18; 6), za
ś
Y~N(19; 4). Oblicz prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e
zmienna losowa X przyjmie mniejsz
ą
warto
ść
ni
Ŝ
zmienna losowa Y.
Twierdzenia graniczne
Zad 16. Prawdopodobie
ń
stwo zatrzymania dostawy półproduktów na granicy pa
ń
stwa wynosi 0,1.
Dostawy s
ą
organizowane oddzielnie do ka
Ŝ
dego ze stu zakładów przedsi
ę
biorstwa.
(
Zad.3.)
Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e co najwy
Ŝ
ej cztery zakłady stan
ą
?
(d: 0,0237; n: 0,0228)
Zad 17. Co dziesi
ą
ty klient pewnego biura podró
Ŝ
y, składa reklamacj
ę
. Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e: a) spo
ś
ród 4 klientów, wszyscy zgłosz
ą
reklamacj
ę
? b) spo
ś
ród 400 klientów, co najmniej 31 jednak
nie wi
ę
cej ni
Ŝ
połowa klientów zgłosi reklamacj
ę
?
Zad 18. Na podstawie bada
ń
przeprowadzonych przez firm
ę
ubezpieczeniow
ą
stwierdzono,
Ŝ
e w ci
ą
gu
roku co dziesi
ą
ty samochód zostaje skradziony. Jakie b
ę
dzie prawdopodobie
ń
stwo
Ŝ
e: a) w
ś
ród 6
ubezpieczonych samochodów
Ŝ
aden nie b
ę
dzie skradziony?; b) spo
ś
ród 400 ubezpieczonych
samochodów co najmniej 50 zostanie skradzionych? Z jakiego twierdzenia granicznego nale
Ŝ
y
skorzysta
ć
?
Zad 19. W laboratorium fotograficznym wykonuj
ą
cym odbitki czarno-białe stwierdzono,
Ŝ
e zwykle 10%
zdj
ęć
nie spełni okre
ś
lonych norm. Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e na 144 odbitki od 10% do 20% nie
b
ę
dzie spełnia
ć
normy?
Zad 20.Zmienna losowa X ma rozkład N(m,
σ
), jaki rozkład maj
ą
zmienne losowe: Y=
n
X
n
i
i
∑
=
1
,
∑
=
=
n
i
i
n
X
Z
1
Zad 21. Waga batonika [w g] ma rozkład normalny (50; 2). Batoniki pakowane s
ą
w kartony po 100 szt.
a) Prosz
ę
obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e karton z batonikami b
ę
dzie wa
Ŝ
ył wi
ę
cej ni
Ŝ
5kg (5000g);
b) Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e karton b
ę
dzie wa
Ŝ
ył dokładnie 5kg.
Zad 22. Dzienny utarg [w tys. zł] pewnego sklepu ma rozkład N(3; 0,2).
a) Prosz
ę
poda
ć
parametry rozkładu miesi
ę
cznego utargu, je
ś
li sklep pracuje przez 25 dni w miesi
ą
cu.
b) Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e miesi
ę
czny utarg b
ę
dzie wy
Ŝ
szy ni
Ŝ
65 tys. zł
.
Zad 23. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne? miesi
ę
czny utarg o którym mowa w zad. 22
wyniesie a) 65 tys. zł; b) 75 tys. zł.
Zad 24. Zmienna losowa X ma nieznany rozkład o parametrach E(X)=30; D(X)=0,4. Prosz
ę
: a) poda
ć
parametry rozkładu zmiennej losowej Y b
ę
d
ą
cej sum
ą
400 niezale
Ŝ
nych zmiennych losowych o
identycznych rozkładach jak zmienna losowa X. b) obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo tego,
Ŝ
e zmienna
losowa Y przekroczy warto
ść
20 000. Czy mo
Ŝ
na si
ę
było spodziewa
ć
takiego wyniku?
Zad 25. Zmienna losowa Y jest sum
ą
100 niezale
Ŝ
nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o
parametrach E(X)=4; D(X)=0,3. Prosz
ę
obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e 400<Y<415. Ile wynosi
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e zmienna losowa Y przyjmie warto
ść
dokładnie 415?
Rozkłady statystyk z prób
Zad 26. Rozkład wydajno
ś
ci pracowników w pewnej firmie jest normalny o z warto
ś
ci
ą
oczekiwan
ą
3,5 szt./h i wariancj
ą
0,04 (szt./h)
2
. Prosz
ę
obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo wylosowania, spo
ś
ród
pracowników tego zakładu, a) 17 elementowej próby losowej o
ś
redniej ni
Ŝ
szej ni
Ŝ
3,7; b)* 17
elementowej próby losowej o wariancji ni
Ŝ
szej ni
Ŝ
0,066
Zad 27. Rozkład wydajno
ś
ci pracowników w pewnej firmie jest normalny z warto
ś
ci
ą
oczekiwan
ą
3,5 szt./h. Prosz
ę
obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e w 17 elementowej próbie losowej pobranej spo
ś
ród
pracowników tego zakładu
ś
rednia wyniesie wi
ę
cej ni
Ŝ
3,7 szt./h. Wariancja z próby wynosi 0,04 (szt./h)
2
.
Zad 28. Prosz
ę
obliczy
ć
powy
Ŝ
sze prawdopodobie
ń
stwo (zad. 27), zakładaj
ą
c,
Ŝ
e rozkład jest nieznany a
próba jest 144 elementowa.
Zad 29. W pewnym banku 25% wniosków kredytowych jest rozpatrywanych negatywnie. Prosz
ę
obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo wylosowania spo
ś
ród wniosków kredytowych 1024 elementowej próby, w której
frakcja odrzuconych wniosków b
ę
dzie wi
ę
ksza ni
Ŝ
0,2.
Zad 30. Rozkłady warto
ś
ci rocznych wydatków na gazety w
ś
ród pracowników działu ksi
ę
gowo
ś
ci
i administracyjnego s
ą
nast
ę
puj
ą
ce: X
1
~N(190; 35) zł; X
2
~N(180; 25) zł. Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e w 150 elementowej próbie wylosowanej spo
ś
ród działu ksi
ę
gowo
ś
ci
ś
rednia warto
ść
wydatków na
gazety b
ę
dzie o co najwy
Ŝ
ej 12 zł wi
ę
ksza ni
Ŝ
w 100 elementowej próbie pracowników działu
administracyjnego. B) Oblicz powy
Ŝ
sze prawdopodobie
ń
stwo zakładaj
ą
c,
Ŝ
e odchylenia standardowe
pochodz
ą
z prób.
Zad 31.* Rozkłady warto
ś
ci rocznych wydatków na gazety w
ś
ród pracowników działu ksi
ę
gowo
ś
ci
i administracyjnego s
ą
nast
ę
puj
ą
ce: X
1
~N(190; 35) zł; X
2
~N(180; 25) zł. Jakie jest prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e w 16 elementowej próbie wylosowanej z działu ksi
ę
gowo
ś
ci wariancja wydatków na gazety b
ę
dzie
o co najmniej 2,5 razy wi
ę
ksza ni
Ŝ
w 20 elementowej próbie pracowników działu administracyjnego.
Zad 32. Frakcja klientów instytucjonalnych zainteresowanych now
ą
usług
ą
bankow
ą
wynosi 0,24, za
ś
w
ś
ród klientów indywidualnych jedynie 15% jest ni
ą
zainteresowanych. Prosz
ę
obliczy
ć
prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e frakcja klientów zainteresowanych now
ą
usług
ą
w próbie wylosowanej spo
ś
ród
1000 klientów instytucjonalnych b
ę
dzie wi
ę
ksza o co najmniej 0,1 od frakcji klientów zainteresowanych
now
ą
usług
ą
w
ś
ród losowo wybranych 1200 klientów indywidualnych.