Zmienna losowa

Zad 1. Na zbiorze zdarze

ń

elementarnych

}

,

,

,

,

{

5

4

3

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

=

Ω

zdefiniowano zmienn

ą

losow

ą

w nast

ę

puj

ą

cy sposób:,

X(

ω

1

)=0, X(

ω

2

)=X(

ω

3

)= X(

ω

4

)=1, X(

ω

5

)=2

, zdarzenia elementarne s

ą

jednakowo

prawdopodobne. Prosz

ę

: a) wyznaczy

ć

rozkład tak zdefiniowanej zmiennej losowej, (okre

ś

li

ć

funkcj

ę

prawdopodobie

ń

stwa); b) poda

ć

parametry rozkładu; c) wyznaczy

ć

i przedstawi

ć

graficznie dystrybuant

ę

tej zmiennej losowej.

Zad 2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej:

x

i

-2

-1

0

1

2

F(x

i

)

0,10

0,25

0,65

0,85

1

Prosz

ę

poda

ć

parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz wyznaczy

ć

dominant

ę

i median

ę

.

Zad 3. Prawdopodobie

ń

stwo zatrzymania dostawy półproduktów na granicy pa

ń

stwa wynosi 0,1.

Dostawy s

ą

organizowane oddzielnie do ka

ż

dego z czterech zakładów przedsi

ę

biorstwa.

a) Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e dwa zakłady nie utrzymaj

ą

ci

ą

gło

ś

ci produkcji z powodu braku

dostaw półproduktu? b) Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e co najwy

ż

ej dwa zakłady stan

ą

?

Zad 4. Po terenie miasta je

ź

dzi 1000 samochodów. Prawdopodobie

ń

stwo wezwania pogotowia

technicznego w ci

ą

gu doby przez samochód wynosi 0,002. Obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e:

a) w ci

ą

gu pewnej doby pogotowie nie b

ę

dzie wzywane ani razu; b) w ci

ą

gu pewnej doby pogotowie

b

ę

dzie wzywane co najwy

ż

ej raz; c) jakiej liczby wezwa

ń

mo

ż

na oczekiwa

ć

?

Zad 5. Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta z 8 stopniami swobody. Prosz

ę

wyznaczy

ć

nast

ę

puj

ą

ce

prawdopodobie

ń

stwa:

P(|t| <1,4); P(t <1,4);

P(t >3,36).

Zad 6. Zmienna losowa

2

χ

ma rozkład Chi-kwadrat z 5 stopniami swobody. Prosz

ę

wyznaczy

ć

nast

ę

puj

ą

ce prawdopodobie

ń

stwa:

)

07

,

11

(

2

<

χ

P

;

)

07

,

11

15

,

1

(

2

<

<

χ

P

.

Zad 7. Zmienna losowa X ma rozkład

N(m;

σ

)

. Prosz

ę

obliczy

ć

:

)

(

σ

σ

+

<

<

−

m

X

m

P

;

)

2

2

(

σ

σ

+

<

<

−

m

X

m

P

;

)

3

3

(

σ

σ

+

<

<

−

m

X

m

P

.

Jak zmieni

ą

si

ę

powy

ż

sze prawdopodobie

ń

stwa, je

ś

li zmienna losowa X, b

ę

dzie miała rozkład N(20; 8)?

Zad 8.

Ś

rednia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładaj

ą

c,

ż

e waga ma

rozkład normalny obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e: a) losowo wybrany produkt wa

ż

y nie wi

ę

cej ni

ż

21,2

kg; b) losowo wybrany produkt wa

ż

y wi

ę

cej ni

ż

20 kg; c) waga losowo wybranego produktu ró

ż

ni si

ę

od

ś

redniej najwy

ż

ej o jedno odchylenie standardowe.

Zad 9. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o warto

ś

ci oczekiwanej równej zero. Wyznaczy

ć

odchylenie standardowe tej zmiennej, je

ś

li wiadomo,

ż

e przyjmuje ona warto

ś

ci nie wi

ę

ksze ni

ż

3

z prawdopodobie

ń

stwem równym 0,95.

Zad 10. Zmienna losowa Y ma rozkład normalny D(Y)=30. Znale

źć

E(Y) wiedz

ą

c,

ż

e P(Y<80)=0,6915.

Zad 11.

Pr

ę

dko

ść

samochodów na pewnym odcinku autostrady ma rozkład normalny o parametrach

(100; 10) km/h. a) Jaki procent przeje

ż

d

ż

aj

ą

cych samochodów przekracza dopuszczaln

ą

pr

ę

dko

ść

wynosz

ą

c

ą

110km/h? b) Jak

ą

minimaln

ą

pr

ę

dko

ść

osi

ą

ga 25% samochodów jad

ą

cych najszybciej?

Zad 12. Zmienna losowa ma rozkład N(10; 1). Podaj dominant

ę

, median

ę

i kwartyle tej zmiennej losowej.

Zad 13. Zmienna losowa X ma rozkład N(18; 2,1). Zmienna losowa Y ma rozkład normalny, pierwszy
i trzeci kwartyl wynosz

ą

16,6 i 23,4. Porównaj oba rozkłady pod wzgl

ę

dem poło

ż

enia, zró

ż

nicowania i

asymetrii.

Zad 14. X~N(27;8), Y~N(31; 6). Oblicz prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e: a) suma tych zmiennych losowych nie

przekroczy 50; b) zmienna losowa Z=X-Y-3 przyjmie warto

ść

nie mniejsz

ą

ni

ż

13.

Zad 15. Zmienna losowa X ma rozkład N(18; 6), za

ś

Y~N(19; 4). Oblicz prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e

zmienna losowa X przyjmie mniejsz

ą

warto

ść

ni

ż

zmienna losowa Y.

Twierdzenia graniczne

Zad 16. Prawdopodobie

ń

stwo zatrzymania dostawy półproduktów na granicy pa

ń

stwa wynosi 0,1.

Dostawy s

ą

organizowane oddzielnie do ka

ż

dego ze stu zakładów przedsi

ę

biorstwa.

(

Zad.3.)

Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e co najwy

ż

ej cztery zakłady stan

ą

?

(d: 0,0237; n: 0,0228)

Zad 17. Co dziesi

ą

ty klient pewnego biura podró

ż

y, składa reklamacj

ę

. Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e: a) spo

ś

ród 4 klientów, wszyscy zgłosz

ą

reklamacj

ę

? b) spo

ś

ród 400 klientów, co najmniej 31 jednak

nie wi

ę

cej ni

ż

połowa klientów zgłosi reklamacj

ę

?

Zad 18. Na podstawie bada

ń

przeprowadzonych przez firm

ę

ubezpieczeniow

ą

stwierdzono,

ż

e w ci

ą

gu

roku co dziesi

ą

ty samochód zostaje skradziony. Jakie b

ę

dzie prawdopodobie

ń

stwo

ż

e: a) w

ś

ród 6

ubezpieczonych samochodów

ż

aden nie b

ę

dzie skradziony?; b) spo

ś

ród 400 ubezpieczonych

samochodów co najmniej 50 zostanie skradzionych? Z jakiego twierdzenia granicznego nale

ż

y

skorzysta

ć

?

Zad 19. W laboratorium fotograficznym wykonuj

ą

cym odbitki czarno-białe stwierdzono,

ż

e zwykle 10%

zdj

ęć

nie spełni okre

ś

lonych norm. Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e na 144 odbitki od 10% do 20% nie

b

ę

dzie spełnia

ć

normy?

Zad 20.Zmienna losowa X ma rozkład N(m,

σ

), jaki rozkład maj

ą

zmienne losowe: Y=

n

X

n

i

i

∑

=

1

,

∑

=

=

n

i

i

n

X

Z

1

Zad 21. Waga batonika [w g] ma rozkład normalny (50; 2). Batoniki pakowane s

ą

w kartony po 100 szt.

a) Prosz

ę

obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e karton z batonikami b

ę

dzie wa

ż

ył wi

ę

cej ni

ż

5kg (5000g);

b) Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e karton b

ę

dzie wa

ż

ył dokładnie 5kg.

Zad 22. Dzienny utarg [w tys. zł] pewnego sklepu ma rozkład N(3; 0,2).
a) Prosz

ę

poda

ć

parametry rozkładu miesi

ę

cznego utargu, je

ś

li sklep pracuje przez 25 dni w miesi

ą

cu.

b) Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e miesi

ę

czny utarg b

ę

dzie wy

ż

szy ni

ż

65 tys. zł

.

Zad 23. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne? miesi

ę

czny utarg o którym mowa w zad. 22

wyniesie a) 65 tys. zł; b) 75 tys. zł.

Zad 24. Zmienna losowa X ma nieznany rozkład o parametrach E(X)=30; D(X)=0,4. Prosz

ę

: a) poda

ć

parametry rozkładu zmiennej losowej Y b

ę

d

ą

cej sum

ą

400 niezale

ż

nych zmiennych losowych o

identycznych rozkładach jak zmienna losowa X. b) obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo tego,

ż

e zmienna

losowa Y przekroczy warto

ść

20 000. Czy mo

ż

na si

ę

było spodziewa

ć

takiego wyniku?

Zad 25. Zmienna losowa Y jest sum

ą

100 niezale

ż

nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o

parametrach E(X)=4; D(X)=0,3. Prosz

ę

obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e 400<Y<415. Ile wynosi

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e zmienna losowa Y przyjmie warto

ść

dokładnie 415?

Rozkłady statystyk z prób

Zad 26. Rozkład wydajno

ś

ci pracowników w pewnej firmie jest normalny o z warto

ś

ci

ą

oczekiwan

ą

3,5 szt./h i wariancj

ą

0,04 (szt./h)

2

. Prosz

ę

obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo wylosowania, spo

ś

ród

pracowników tego zakładu, a) 17 elementowej próby losowej o

ś

redniej ni

ż

szej ni

ż

3,7; b)* 17

elementowej próby losowej o wariancji ni

ż

szej ni

ż

0,066

Zad 27. Rozkład wydajno

ś

ci pracowników w pewnej firmie jest normalny z warto

ś

ci

ą

oczekiwan

ą

3,5 szt./h. Prosz

ę

obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e w 17 elementowej próbie losowej pobranej spo

ś

ród

pracowników tego zakładu

ś

rednia wyniesie wi

ę

cej ni

ż

3,7 szt./h. Wariancja z próby wynosi 0,04 (szt./h)

2

.

Zad 28. Prosz

ę

obliczy

ć

powy

ż

sze prawdopodobie

ń

stwo (zad. 27), zakładaj

ą

c,

ż

e rozkład jest nieznany a

próba jest 144 elementowa.

Zad 29. W pewnym banku 25% wniosków kredytowych jest rozpatrywanych negatywnie. Prosz

ę

obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo wylosowania spo

ś

ród wniosków kredytowych 1024 elementowej próby, w której

frakcja odrzuconych wniosków b

ę

dzie wi

ę

ksza ni

ż

0,2.

Zad 30. Rozkłady warto

ś

ci rocznych wydatków na gazety w

ś

ród pracowników działu ksi

ę

gowo

ś

ci

i administracyjnego s

ą

nast

ę

puj

ą

ce: X

1

~N(190; 35) zł; X

2

~N(180; 25) zł. Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e w 150 elementowej próbie wylosowanej spo

ś

ród działu ksi

ę

gowo

ś

ci

ś

rednia warto

ść

wydatków na

gazety b

ę

dzie o co najwy

ż

ej 12 zł wi

ę

ksza ni

ż

w 100 elementowej próbie pracowników działu

administracyjnego. B) Oblicz powy

ż

sze prawdopodobie

ń

stwo zakładaj

ą

c,

ż

e odchylenia standardowe

pochodz

ą

z prób.

Zad 31.* Rozkłady warto

ś

ci rocznych wydatków na gazety w

ś

ród pracowników działu ksi

ę

gowo

ś

ci

i administracyjnego s

ą

nast

ę

puj

ą

ce: X

1

~N(190; 35) zł; X

2

~N(180; 25) zł. Jakie jest prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e w 16 elementowej próbie wylosowanej z działu ksi

ę

gowo

ś

ci wariancja wydatków na gazety b

ę

dzie

o co najmniej 2,5 razy wi

ę

ksza ni

ż

w 20 elementowej próbie pracowników działu administracyjnego.

Zad 32. Frakcja klientów instytucjonalnych zainteresowanych now

ą

usług

ą

bankow

ą

wynosi 0,24, za

ś

w

ś

ród klientów indywidualnych jedynie 15% jest ni

ą

zainteresowanych. Prosz

ę

obliczy

ć

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e frakcja klientów zainteresowanych now

ą

usług

ą

w próbie wylosowanej spo

ś

ród

1000 klientów instytucjonalnych b

ę

dzie wi

ę

ksza o co najmniej 0,1 od frakcji klientów zainteresowanych

now

ą

usług

ą

w

ś

ród losowo wybranych 1200 klientów indywidualnych.