1. Na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

xi	1	3	6	8
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

Wyznaczyć

• wykres rozkładu prawdopodobieństwa

• dystrybuantę

• wykres dystrybuanty

2. Badano ile studenci II roku C geologii poświęcają czasu na przygotowanie się do zajęć ze statystyki. Otrzymano następujące wyniki w min:

10, 20, 15, 0, 15, 30, 30, 20, 10, 15, 10, 60, 0, 10, 30, 20, 120, 60, 10, 120,

proszę przedstawić wyniki na wykresie funkcji prawdopodobieństwa, wyznaczyć dystrybuantę i przedstawić ją w postaci graficznej. Policzyć funkcje przewyższenia R(x)=P(X≥x)

3. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:

xi	(-∞, -2]	(-2,0]	(0,3]	(3,4]	(4,+ ∞)
F(xi)	0	0,2	0,4	0,8	1

Wyznacz

• wykres dystrybuanty

• funkcje prawdopodobieństwa i jej wykres

• Obliczyć prawdopodobieństwo P(0≤x<3)

4. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X

Obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem zmienna losowa X w wyniku doświadcze­nia przyjmie wartość należącą do przedziału (0; 1).

5. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X

Obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem zmienna X w wyniku doświadczenia przyj­mie wartość należącą do przedziału (2; 3).

6. Dana jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

Znaleźć stałą a oraz dystrybuantę.

7. Pomiar natężenia pola magnetycznego nad pewną kopalnią można przedstawić w przybliżeniu za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

Wyznaczyć dystrybuantę F(x),

!!! w każdym zadaniu f. gęstości i dystrybuanty

proszę przedstawić w postaci graficznej!!!

Zmienna losowa dyskretna. Charakterystyki funkcyjne i liczbowe.

8. Wyznaczyć wartość przeciętną (oczekiwaną) i wariancje zmiennej losowej:

1. U₁=2X+1

2. U₂=X²

3. U₃=-X²+2

Jeżeli EX=2 D²X=1 EX⁴=34

9. Dane są rozkłady niezależnych zmiennych losowych dyskretnych:

X= 1 2 Y= 0.5 1

P(X)= 0.2 0.8 P(Y)= 0.3 0.7

Obliczyć wartość oczekiwaną iloczynu XY

10. Dane są rozkłady niezależnych zmiennych losowych dyskretnych:

X= 1 2 Y= 0.5 1

P(X)= 0.2 0.8 P(Y)= 0.3 0.7

Obliczyć wartość oczekiwaną sumy X+ Y.

11. Obliczyć drugi moment początkowy, wariancję (dwoma sposobami) odchylenie standardowe, , modę i medianę zmiennej losowej X, mając jej rozkład

X= 0.1 2 10 20

P(X)= 0.4 0.2 0.15 0.25

12. Zmienna losowa X może przyjąć tylko dwie możliwe wartości: x₁ z prawdo­podobieństwem 0.3 i x₂ z prawdopodobieństwem 0.7, przy czym x₂ > x₁. Obliczyć x₁ i x₂ wiedząc, że E[X] = 2.7, var(X) = 0.21.

13. Dla zmiennej losowej X która ma funkcję prawdopodobieństwa postaci

xi	-3	-1	3	5
pi	0.1	0.2	0.5	0.2

Wyznaczyć;
wartość oczekiwaną,medianę,kwantyl x_0,3, wariancję (dwoma sposobami), odchylenie standardowe, drugi moment początkowy, trzeci moment początkowy, trzeci moment centralny, współczynnik asymetrii C_S, współczynnik zmienności C_V, kurtozę (współczynnik skupienia) C_e

14. W wyższej szkole prywatnej uczy się 1000 studentów. Badamy zmienną losową X zdefiniowaną jako liczba podręczników przyniesionych na zajęcia przez losowo wybranego studenta w dniu 29 marca 2000 roku (przyjmujemy, że wszyscy studenci byli tego dnia w szkole). Załóżmy, że rozkład liczby podręczników wśród studentów wyglądał następująco
    

Liczba podręczników	0	1	2	3	4	5
Liczba studentów	100	300	250	200	100	50

a). obliczyć funkcje prawdopodobieństwa, dystrybuantę
b). Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, modę, medianę, kwantyl rzędu x_0.75

15. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką:

x	(-∞,1]	(1,3]	(3,6]	(6,∞)
F(x)	0	0,3	0,6	1

Wyznaczyć funkcje prawdopodobieństwa tej zmiennej, wartość oczekiwaną, wariancje, medianę, kwantyl x_0,3, odchylenie standardowe, modę.

16. Wykonując pewien eksperyment uzyskano następujące wyniki:
    3, 1, 2, 2, 6, 1, 2, 3, 3, 6, 5, 6, 6, 6, 1, 1, 2, 3, 5, 6.
    Proszę przedstawić wyniki na wykresie funkcji prawdopodobieństwa, wyznaczyć dystrybuantę, wartość oczekiwaną medianę kwantyl x_0.75. Obliczyć prawdopodobieństwo P(2< x ≤ 5),
    P(2< x <5), P(2≤ x ≤ 5), P(2≤ x < 5), P(x> 2), P(x ≥ 2), P(x < 5), P(x Ⴃ 5).

17. Zmienna losowa X ma rozkład:

xi	-1	0	2	3
pi	0.1	0.4	0.2	0.3

Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej U = 3X + 4, korzystając z odpowiednich własności wartości oczekiwanej i wariancji.

Zmienna losowa ciągła. Charakterystyki funkcyjne i liczbowe.

18. Niech dystrybuanta f ciągłej zmiennej losowej X wynosi
    
    
    
    a). Znajdź f gęstości zmiennej losowej X oraz prawdopodobieństwo P(X>0.5)
    b). Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancje.

19. Czas reakcji X na pewien typ bodźca jest ciągłą zmienną losową o dystrybuancie:




Obliczyć prawdopodobieństwo, że X znajdzie się w przedziale [1.5; 2.5] a następnie wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.

20. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie:




Wyznaczyć wartość oczekiwaną drugi moment początkowy, medianę, kwantyl rzędu 0.4 funkcję przewyższenia oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

21. Dla rozkładu o dystrybuancie




wyznacz funkcję przewyższenia wartość oczekiwaną modę i medianę.

22. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem (rozkład potęgowy):

Wyznaczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa oraz wariancję zmiennej X jeśli: b=2 , x_m=9.

23. Dana jest dystrybuanta rozkładu zmiennej T:

; (λ>0)

Wyznaczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa i wartość oczekiwaną zmiennej T.

Uwaga: (a>0)

24. Pomiar natężenia pola magnetycznego nad pewną kopalnią można przedstawić w przybliżeniu za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa:




Wyznaczyć dystrybuantę F(x), oraz policzyć


25. Dobrać tak stałą c
    
    
    była gęstością, a następnie: Obliczyć medianę, kwantyl rzędu ¼ oraz
    .

26. Zmienna losowa X ma rozkład gęstości :
    
    
    Naszkicować wykres gęstości. Wyznaczyć wartość przeciętną, modę, medianę.

27. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości




gdzie c jest stałą dodatnią. Wyznaczyć wartość stałej c a następnie wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

!!! w każdym zadaniu f. gęstości i dystrybuanty

proszę przedstawić w postaci graficznej!!!