Zmienna losowa
zdarzenie losowe - wylosowanie pewnego elementu z populacji generalnej
zmienna losowa - parametr klasyfikuj cy zdarzenie.
W kontek cie pomiarów:
zdarzenie losowe – wykonanie pomiaru wielko ci fizycznej,
zmienna losowa – warto liczbowa miary wyniku pomiaru.
Zmienne losowe du#e litery X,Y, ..., a warto ci ma$e x, y, ... lub x
i
.
Zmienna losowa
skokowa
ci g a
Ka#demu zdarzeniu mo#na przypisa pewne prawdopodobie&stwo P(X=a).
Dystrybuanta F(x) jest $ cznym prawdopodobie&stwem uzyskania wyniku z
przedzia$u od
do x.
P(X<x)=P(
<X<a)=F(x)
Dystrybuanta jest niemalej c funkcj zmiennej losowej X.
Gdy x
, to F(x)=1, gdy x
, to F(x)=0.
Rozk ad prawdopodobie stwa zmiennej losowej skokowej X która mo#e
przyjmowa warto ci x
i
dla i=1 do n : P(X=x
i
)=p
i
Dla ci g$ej zmiennej losowej stosuje si) g sto prawdopodobie stwa f(x)
zmiennej losowej – pochodna dystrybuanty:
dx
x
dF
x
f
)
(
)
(
=
Rozk ad g sto ci prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci g$ej nazywamy
zale#no g)sto ci prawdopodobie&stwa f(x) od warto ci x zmiennej losowej
X.
Parametry rozk adu zmiennych losowych
Zwykle nie znamy pe$nego rozk$adu prawdopodobie&stwa lub jego
znajomo nie jest dla nas interesuj ca, dlatego wystarcza nam wiedza o kilku
jego charakterystycznych parametrach.
warto oczekiwana (nadzieja matematyczna)
wariancja
odchylenie standardowe
momenty
kwantyle (fraktyle)
Warto oczekiwana. Oznaczenia:
E(X) – obliczona z postaci analitycznej rozk$adu
µ - dla ca$ej populacji
x
- dla próby
Def.:
=
i
i
i
p
x
X
E
)
(
(zm. skokowa) lub
=
+
dx
x
xf
X
E
)
(
)
(
(zm. ci g$a)
Dla dowolnej funkcji Y=H(X) zmiennej losowej X
=
i
i
i
p
x
H
X
H
E
)
(
)}
(
{
