Zmienna losowa

zdarzenie losowe - wylosowanie pewnego elementu z populacji generalnej
zmienna losowa - parametr klasyfikuj cy zdarzenie.
W kontek cie pomiarów:

zdarzenie losowe – wykonanie pomiaru wielko ci fizycznej,
zmienna losowa – warto liczbowa miary wyniku pomiaru.

Zmienne losowe du#e litery X,Y, ..., a warto ci ma$e x, y, ... lub x

i

.

Zmienna losowa

skokowa

ci g a

Ka#demu zdarzeniu mo#na przypisa pewne prawdopodobie&stwo P(X=a).
Dystrybuanta F(x) jest $ cznym prawdopodobie&stwem uzyskania wyniku z
przedzia$u od

do x.

P(X<x)=P(

<X<a)=F(x)

Dystrybuanta jest niemalej c funkcj zmiennej losowej X.
Gdy x

, to F(x)=1, gdy x

, to F(x)=0.

Rozk ad prawdopodobie stwa zmiennej losowej skokowej X która mo#e
przyjmowa warto ci x

i

dla i=1 do n : P(X=x

i

)=p

i

Dla ci g$ej zmiennej losowej stosuje si) g sto prawdopodobie stwa f(x)

zmiennej losowej – pochodna dystrybuanty:

dx

x

dF

x

f

)

(

)

(

=

Rozk ad g sto ci prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci g$ej nazywamy
zale#no g)sto ci prawdopodobie&stwa f(x) od warto ci x zmiennej losowej
X.

Parametry rozk adu zmiennych losowych

Zwykle nie znamy pe$nego rozk$adu prawdopodobie&stwa lub jego

znajomo nie jest dla nas interesuj ca, dlatego wystarcza nam wiedza o kilku
jego charakterystycznych parametrach.

warto oczekiwana (nadzieja matematyczna)

wariancja

odchylenie standardowe

momenty

kwantyle (fraktyle)

Warto oczekiwana. Oznaczenia:

E(X) – obliczona z postaci analitycznej rozk$adu
µ - dla ca$ej populacji

x

- dla próby

Def.:

=

i

i

i

p

x

X

E

)

(

(zm. skokowa) lub

=

+

dx

x

xf

X

E

)

(

)

(

(zm. ci g$a)

Dla dowolnej funkcji Y=H(X) zmiennej losowej X

=

i

i

i

p

x

H

X

H

E

)

(

)}

(

{

Dla n-elementowej próby warto oczekiwana sprowadza si) do redniej
arytmetycznej.
Warto oczekiwana

µ nie jest zmienn losow , jest ni natomiast rednia

arytmetyczna z próby.
Wariancja. Oznaczenia:

D

2

(X) - obliczona z postaci analitycznej rozk$adu

2

– wariancja w populacji

2

x

S

- wariancja próby

Definicja: warto oczekiwana kwadratu ró#nicy zmiennej losowej i jej
warto ci oczekiwanej
Dla zmiennej losowej skokowej

{

}

2

2

)

(

)

(

X

E

X

E

X

D

=

co jest równowa#ne

{

}

=

i

i

p

X

E

x

X

D

2

2

)

(

)

(

lub

( )

( )

2

2

2

)

(

X

E

X

E

X

D

=

Dla sko&czonej populacji o liczebno ci n mo#na E(X) zast pi warto ci

redni i wtedy

(

)

=

2

2

2

1

)

(

x

i

S

x

x

n

X

D

Zatem wariancja jest redni kwadratów odchyle& od warto ci redniej

Dla zmiennej losowej ci g$ej

{

}

=

+

dx

x

f

X

E

x

X

D

i

)

(

)

(

)

(

2

2

Odchylenie standardowe. Oznaczenia:

– odchylenie standardowe w populacji

S

x

- odchylenie standardowe próby

Definicja: pierwiastek kwadratowy z wariancji

2

=

2

x

x

S

S

=

Odchylenie standardowe ma ten sam wymiar co X i jest przyjmowane jako
miara przypadkowej niepewno ci pomiarowej.
Kwantyle
Kwantyl rz)du q (0 q 1) stanowi warto x

q

zmiennej losowej X, dla której

dystrybuanta F(x) jest równa rz)dowi kwantyla.

F(x)

q

Najcz) ciej stosowane kwantyle:
kwartyl

dolny

q=0.25

mediana

q=0.5

kwartyl górny

q=0.75

x

q

x