Mariusz Kaszubowski

Katedra Statystyki

Wydział Zarządzania i Ekonomii

Politechnika Gdańska

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zmienna losowa i jej rozkład

Statystyka matematyczna

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Podstawowe pojęcia

•

Zmienna losowa (skokowa, ciągła)

•

Rozkład prawdopodobieństwa, dystrybuanta rozkładu dla zmiennej
skokowej i ciągłej, funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej
ciągłej

•

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej skokowej i ciągłej

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład teoretyczny punktowy

• rozkład teoretyczny punktowy tworzymy dla

zmiennej skokowej

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład teoretyczny przedziałowy

• rozkład teoretyczny przedziałowy tworzymy dla

zmiennej ciągłej

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Parametry rozkładów zmiennych

losowych skokowych

•

Wartość oczekiwana

•

Wariancja

(

)

i

i

i

m

E X

x p

µ

=

=

=

⋅

∑

(

)

i

i

p

P X

x

=

=

( )

(

)

( )

( )

(

)

2

2

2

2

2

i

i

i

E X

E X

D

X

x

m

p

σ

=

−

=

=

−

⋅

∑

( )

( )

•

Odchylenie standardowe

•

Współczynnik zmienności

( )

( )

2

2

D X

D

X

σ

σ

=

=

=

( )

( )

(

)

100%

100%

D X

V X

E X

m

σ

=

⋅

=

⋅

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Parametry rozkładów zmiennych

losowych ciągłych

•

Wartość oczekiwana

•

Wariancja

( )

( )

E X

x f x dx

m

∞

−∞

=

⋅

=

∫

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2

2

2

2

2

D

X

x

m

f x dx

E X

E X

σ

∞

−∞

=

−

⋅

=

−

=

∫

•

Odchylenie standardowe

•

Współczynnik zmienności

( )

( )

2

2

D X

D

X

σ

σ

=

=

=

( )

( )

(

)

100%

100%

D X

V X

E X

m

σ

=

⋅

=

⋅

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zadanie 1

•

Dla zmiennej losowej przedstawiającej liczbę bramek strzelonych w
poszczególnych meczach piłki nożnej w lidze Ekstraklasy rundy
jesiennej 2008/2009 przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej
zmiennej oraz oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną,
wariancję oraz współczynnik zmienności).

•

Plik o nazwie „ekstraklasa runda jesienna ilość bramek w meczu”

•

Plik o nazwie „ekstraklasa runda jesienna ilość bramek w meczu”

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozwiązanie

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zadanie 2

•

Dla zmiennej losowej przedstawiającej wyniki ankiet odnośnie
miesięcznych wydatków na środki pielęgnacyjne kobiet w wieku 20-
40 lat przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej zmiennej oraz
oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną, wariancję oraz
współczynnik zmienności).

•

Plik „miesięczne wydatki kobiet na waciki”

•

Plik „miesięczne wydatki kobiet na waciki”

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozwiązanie

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkłady zmiennych losowych

•

skokowych

– zero-jedynkowy
– dwumianowy Bernoulliego
– Poissona
– hipergeometryczny

•

ciągłych

– jednostajny
– normalny Gaussa
– chi kwadrat Abbego
– Studenta

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład Bernoulliego

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zadanie 1

W pomieszczeniu sypialnym domownicy zlokalizowali 10
osobników Culex pipiens (komary). Zastosowano środek
owadobójczy o skuteczności 90%. Niech zmienną losową będzie
ilość owadów, które przeżyły po zastosowaniu w pomieszczeniu
preparatu. Określ parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz
oblicz następujące prawdopodobieństwa zdarzeń:

oblicz następujące prawdopodobieństwa zdarzeń:

a)

ż

aden owad nie przeżyje

b)

wszystkie owady przeżyją

c)

dokładnie jeden owad przeżyje

d)

co najwyżej 3 owady przeżyją

e)

co najmniej 2 owady przeżyją

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozwiązanie

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład Poissona

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Przykład

W pewnej firmie po analizie danych historycznych stwierdzono, że w
procesie produkcyjnym występują dziennie, średnio 3,84 wadliwe
produkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybranych
dniu liczba wadliwych produktów wyniesie 5?

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład geometryczny

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Przykład

Prawdopodobieństwo znalezienia wadliwego produktu wynosi 0,01.
Oblicz prawdopodobieństwo, że podczas kontroli dopiero 70-ta
sprawdzona sztuka będzie wadliwa oraz prawdopodobieństwo, że
musi być sprawdzone ponad 50 sztuk by wykryć pierwszą wadliwą
sztukę.

sztukę.

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład normalny

•

Przykłady zmiennych charakteryzujące się rozkładem normalnym

– wzrost

– waga

– poziom IQ

– temperatura ciała

– średnia roczna temperatura

– średnia roczna temperatura

•

Przykłady zmiennych, których rozkład nie jest normalny

– prędkość wiatru

– długość ciąży kobiet

– długość dzioba zięby afrykańskiej

– dobowa temperatura w okresie zimowym

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład normalny

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład normalny standardowy

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład normalny

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zadanie 2

Ciężar jajek dostarczanych do skupu ma rozkład normalny ze

ś

rednią 2 dag i wariancją 0,1. Jajko kwalifikuję się do odpowiedniej

klasy w zależności od masy co przedstawia poniższe zestawienie:

klasa S

masa <= 1,5 dag

klasa S

masa <= 1,5 dag

klasa M

1,5 dag < masa <= 2,1 dag

klasa L

2,1 dag< masa <= 2,7 dag

klasa XL

masa > 2,7 dag

Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz jaki procent jajek
dostarczonych do skupu to jajka klasy a) S, b) M, c) L, d) XL.

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozwiązanie

Statistica 8.0 – statystyka - kalkulator prawdopodobieństw

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zadanie 3

Wzrost dzieci w pewnej grupie przedszkolnej jest zmienną losową
o rozkładzie normalnym o wartości średniej 105 cm i wariancji
400. Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz na następujące
pytania.
Jaki procent dzieci to te wzroście:

a)

mniejszym niż 92 cm

b)

większym niż 120 cm

c)

większym niż 100 cm ale mniejszym niż 115 cm

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozwiązanie

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Zadanie 4

Pewne urządzenie produkuje kostki masła. Zakładamy, że masa
wyprodukowanego produktu ma rozkład normalny o średniej 250 g
i odchyleniu standardowym 5g. Prawdopodobieństwo tego, że
kostka masła przekroczy masę M wynosi 0,05 zaś będzie poniżej
masy m wynosi 0,13. Oblicz masy M, m.

M = 258,22426
m = 244,36804

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Rozkład wykładniczy

Statystyka – Mariusz Kaszubowski

Przykład

Linia produkcyjna średnio 2 razy wciągu miesiąca jest zatrzymywana z
powodu awarii. Oblicz prawdopodobieństwo, że linia produkcyjna
zostanie zatrzymana ponownie:

a)

później niż 15 miesięcy

b)

wcześniej niż 20 miesięcy

c)

zatrzymana będzie nie wcześniej niż za 10 i nie później niż za 15
miesięcy

miesięcy

Statystyka – Mariusz Kaszubowski