Wykład 3

Zmienna losowa ciągła.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X określa funkcję ƒ(x) nazywana funkcją gęstości, która jest nie ujemna ( ƒ(x)≥ 0 ), a pole pomiędzy wykresem tej funkcji a osią OX równa się 1.

Rozkład zmiennej losowej o gęstości w postaci :

c dla x∋ < a: b 〉

ƒ(x) =  nazywa się rozkładem jednostajnym

0 dla x∋ <a ; b 〉

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym wyraża się wzorem:

O x ≤ a

F(x) =  c(x - a) a > x ≤ b

x > b

Wśród rozkładów ciągłych duże znaczenie maja rozkłady:

• normalny

• lognormalny

• Pareto

ROZKŁAD NORMALNY

Rozkłady empiryczne wielu obserwowanych zmiennych są zbliżone swoim kształtem do rozkładu normalnego. Rozkład ten jest stosowany między innymi w mechanice, teorii błędów obserwacji, badań zjawisk ekonomicznych.

O zmiennej losowej X mówimy, że ma rozkład normalny N( μ ; δ ) nazywamy również rozkładem Gaussa Laplaee'a i jeżeli funkcja gęstości tego rozkładu ma postać:

1 ( x - μ )²

ƒ(x) = δ √ 2 Π exp( - 2 δ² )

dla x∋R gdzie μ - wartość oczekiwana, średnia a δ- to odchylenie standardowe.

Kształt rozkładu normalnego jest całkowicie określony przez dwa parametry μ oraz δ

Reguła trzech sigm

1. Prawdopodobieństwo jest w przedziale

P( μ - δ < x < μ + δ ) = 0,68

2.

P( μ - 2 δ < x < μ + 2 δ )

3.

P( μ - 3 δ < x < μ + 3 δ )